книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

452 П р и л о ж е н и е 2

Если і, і, к — единичные векторы в направлениях трех коорди­

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов А и В — это скаляр, равный по величине произведению абсолютных величин А и В на косинус угла между их направлениями. Скалярное произведе­ ние обозначается А-В. Таким образом,

где Ѳ — угол между векторами А и В. Поскольку cos (2я — Ѳ) =

Скалярное произведение А - В эквивалентно проекции А на направ­ ление В, умноженной на абсолютное значение В. Если и — единич­ ный вектор, то А-п — проекция вектора А на направление векто­ ра п. Если А — единичный вектор, то его проекции на оси коорди­ нат эквивалентны направляющим косинусам. Скалярное произ­ ведение вектора на самого себя всегда равно квадрату абсолютной величины этого вектора. Для ортогональных осей координат это дает

Скалярное произведение векторов дистрибутивно, т. е. произведе­ ние вектора на алгебраическую сумму векторов равно сумме про­ изведений на отдельные слагаемые.

Если і, j, k — взаимно перпендикулярные единичные векторы,

т. е. если оси координат ортогональны, то

Обратим внимание на перемену знака коэффициентов при j. Величины, на которые здесь умножаются единичные векторы i, j, k, представляют собой компоненты векторного произведения А X В по данным осям координат. Соотношение (А2.15) легко запомнить, выписав его в форме детерминанта

Выражение А-(В X С) представляет собой скаляр и называется

смешанным (векторно-скалярным) произведением. Если выписать компоненты (В X С), воспользовавшись уравнением (А2.15), а затем (А2 .8 ), то получим

Смешанное произведение А-(В X С) соответствует объему паралле­ лепипеда, построенного на векторах А, В и С. Необходимо отме­ тить, что изменение циклического порядка векторов в векторно­ скалярном произведении приведет к изменению знака этого про­ изведения. Так, например,

А-(В X С) = С .(А X В) = В-(С X А) =

= —А-(С X В) = - С (В X А) = —В-(А X С).

Выражение А X (В X С) есть вектор, который называется двой­ ным векторным произведением. Этот вектор лежит в плоскости,

содержащей векторы В и С. Выписав выражения для компонент

му последовательность перемножения необходимо указывать скобками.

А2.2. Обратная решетка

При таких операциях, как вычисление угла между двумя пло­ скостями с заданными индексами или преобразование индексов плоскости или направления при нереходе от одной элементарной ячейки к другой, часто бывает весьма удобно воспользоваться

представлением о так называемой обратной решетке. Это пред­ ставление сначала было введено для возможности суммирования рентгеновских отражений в решетке, а затем оказалось чрезвы­ чайно полезным в теории дифракции и в вопросах поведения электронов в кристаллах. Введем формальное представление об обратной решетке, а затем покажем возможности ее применения на примере вывода некоторых общих формул.

Пусть у нас есть кристаллическая решетка; выберем в ней примитивную ячейку и обозначим векторы трансляции а, Ь, с.

Определим теперь три вектора, обратных а, Ь, с, и назовем их Ь*, с*. Запишем определяющие условия:

Из этих определений видно, что вектор а* нормален к плоскости, содержащей b и с, а его величина равна обратному значению межплоскостного расстояния для плоскостей с индексами Милле­ ра (100) в реальной (прямой) решетке (фиг. А2.4). Векторы а*, Ь*, с* выбирают так, чтобы они определяли примитивную элементар­ ную ячейку решетки, которая является обратной по отношению к реальной кристаллической решетке с векторами а, Ь, с, соответ­ ствующими ребрам элементарной ячейки. Если векторы а*, Ь*, с* найдены из соотношений (А2.19), то по ним можно построить обратную решетку. Возможность применения обратной решетки определяется следующими ее свойствами:

1) Вектор обратной решетки

г* = ha* + кЪ* + lc*

числа, то определяемые ими векторы г* (hkl) представляют собой нормали к плоскостям с этими малыми индексами.

с* - с = 1, но а*• Ь —а* - с = Ь* - а = Ь* - с = с* - а = с* -Ь = 0. При­ веденные выше два свойства вектора г* (hkl) являются простыми следствиями этих определений. На фиг. А2.5 АВС — плоскость

с индексами (hkl) в прямой решетке. Вектор (alh — Ык) пред­ ставляет собой линию ВА в этой плоскости, а вектор (alh — с/а) — линию СА в той же плоскости. Если вектор г* нормален к пло­ скости АВС , то он должен быть нормален к AB и к СА, которые не являются параллельными направлениям в плоскости АВС. Скалярное произведение г* на каждый из этих двух векторов должно равняться нулю. Очевидно, это так и есть, потому что, например,

г* -(alh — Ык) = (ha* + Zcb* + Iс*) -(alh — Ык) —

= (hlh) а-а* — (к/к) Ь-Ь* = 0.

Тем самым доказано свойство (1).

Свойство 2) докажем, заметив, что расстояние между пло­ скостями с индексами (hkl) в решетке равно проекции alh на нор­ маль к этим плоскостям. Согласно 1), единичный вектор нормали к этим плоскостям равен г*/г*. Поэтому межплоскостное расстоя­ ние dhhl для этих плоскостей оказывается равным

Теперь мы можем воспользоваться свойствами основных векторов обратной решетки, чтобы доказать ряд полезных положений, которые ранее выводились более сложным способом.

Плоскость (hkl) принадлежит к зоне uvw, только если выпол­ няется условие

Но это значит, что если (hkl) принадлежит указанной зоне, то век­ тор г* (hkl) должен быть нормален к [uvw], т. е.

(ha* + кЪ* + Zc*) -(иа + i?b + wc) = 0,

или

hua* -а + *b + Iwc* -c = 0 ,

T . e.

hu + kv + Iw = 0 .

Чтобы найти индексы оси зоны, общей для двух плоскостей с ин­ дексами (/ijAjZj) и (h2k2l2), если искомая ось имеет индексы [uvw], полагаем

в одной плоскости. Обозначим соответствующие векторы обратной решетки г*, г*, г*. Если они лежат в одной плоскости, значит, объем построенного на них параллелепипеда равен нулю, т. е.

г?-(г* X г3*) = 0.

Согласно уравнению (А2.17),

КК к

Чтобы ясно представлять себе, как расположены узлы решетки и атомы в ее плоскостях, необходимо знать условие, при котором данный узел решетки, например отстоящий от начала координат на г — (иа 4 - кЬ + wс), принадлежит к данной плоскости решет­ ки (hkl).

Если г принадлежит к р-й от начала координат плоскости с ин­ дексами (hkl), то проекция г на нормаль к плоскостям решетки (hkl) должна равняться расстоянию между этими плоскостями,

Угол между двумя семействами плоскостей с миллеровскими индексами (h-Ji^) и (h2k2l2) должен равняться углу <р между двумя векторами обратной решетки

rf = /i]a*-f Zc1b*-f-ZiC* и rf = h2a* к2Ъ* -j- Z2c*.

(A2.24)

где di и d2 — соответствующие межплоскостные расстояния для данных плоскостей.

Межплоскостные расстояния в решетке можно определить из

В приложении 3 даны выражения (А2.24) и (А2.25) в разверну­ том виде для разных кристаллографических систем.

С помощью обратной решетки легко доказывается и отно­

г* X Г2 = (/іЩ*+ 7с±Ь* + /щ*) X { h 2а* + к 2Ь * + 12с*) =

= ( k i l 2 —k 2li) (b* X с*) + ( I J i z — l 2h v) (с* X a*) +

+ {hik2— h2ki) (a* X b*) = | r* 11 r| | sin 0t 2z , (A2.26)

где z — единичный вектор, параллельный оси той зоны, к которой принадлежат Рг, Р2, Р я, P t . Если г*, г*, г*, г* — векторы обрат­ ной решетки, нормальные (fe^Zj), (h2k2l2) и т. п.,

то

I rf 11 г! I sin Ѳі 2Z • а= (kJz — k2li) (Ь* x с*) • a* = Z7t 2Vr,

где Vz — объем элементарной ячейки обратной решетки. Это равенство является следствием условий

(с* X а*)-а* = (а* х Ь*)-а* == 0.

уравнения (А3.1), равняется расстоянию между плоскостями, отсекающими на кристаллографических осях отрезки nalh, nblk, ncil и (n + 1 )alh, (n + 1) b/к, (n + 1) eil, независимо от того,

совпадают ли эти плоскости с плоскими сетками кристаллической решетки. Это расстояние отсчитывается по перпендикуляру к плос­ костям. Если h, к и I — целые числа, не имеющие общего множите­ ля, то они представляют собой миллеровские индексы плоской сетки. Расстояние между соседними плоскими сетками с миллеровскими индексами (hid) в семействе этих параллельных плоскостей, образующих решетку, дается уравнением (А3.1), если решетка Бравэ примитивна, т. е. если векторы а, Ь и с определяют ячейку, которая содержит только один узел решетки. Если элементарная ячейка решетки Бравэ объемноцентрирована, гранецентрирована или базоцентрирована, то по уравнению (А3.1) может получиться удвоенное значение межплоскостного расстояния, смотря по тому, каковы значения h, к и I. Если элементарная ячейка объемноцен­ трирована, то уравнение (А3.1) дает удвоенное значение межплоскостного расстояния, когда сумма (h + к + I) представляет собой число нечетное. Например, нетрудно видеть, что расстояние между плоскостями решетки с миллеровскими индексами (1 0 0 ) в о. ц. к.- решетке равно половине значения <і100, которое получается из урав­ нения (А3.1). Поэтому правило для вычисления истинных меж­ плоскостных расстояний в о. ц. к. (/)-решетке по уравнению (А3.1) заключается в том, чтобы удваивать миллеровские индексы всякий раз, когда (h + к + I) оказывается нечетным. В гранецентрирован­ ной (F) решетке то же правило заключается в том, чтобы удвоить миллеровские индексы, если либо h, либо к, либо I являются чет­ ными, потому что межплоскостные расстояния получаются равны­ ми половине dhhl для всех плоскостей решетки, за исключением тех, у которых h, к и I нечетные. При этом нуль считается четным чис­

A3.2. Межплоскостные углы

Выше было показано, что угол между двумя плоскостями решетки равен углу между соответствующими векторами обрат­ ной решетки [см. уравнение (А2.24)]. Это приводит к следующей общей формуле для угла ф между плоскостями (hkl) и (h'k'l'):

cos ф = dhhidh'k>i' {hh'a*2-\- kk'b*2-\- ll'c*2*\- (kl' + Ik') b*c* cos ct*+