книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

434 Г л а в а 12

и углом у вершины холмика? Тщательно оговорите все допущения в вашем расчете.

12.10. Если в жидкости имеется пузырек, то его радиус кривизны г связан с избыточным давлением р внутри пузырька и свободной поверхностной энергией жидкости у известным соотношением:

р= 2 у / г .

Если применять эту формулу без оговорок к материалу, у которого поверх­ ностная энергия анизотропна (например, к пузырьку газа в кристалле при повышенной температуре), то получится, что при ориентировке, отвечающей наибольшей свободной поверхностной энергии, радиус кривизны, а значит, и размер самого пузырька будут наибольшими. Это противоречит требованию о минимуме свободной энергии, а значит, приводит к форме, существенно отличающейся от равновесной формы Вульфа. Как разрешить этот кажущий­ ся парадокс?

12.11.Поверхность кристалла отклонена на 10° от плоскости с малыми индексами. После отжига наблюдается, что эта плоскость разбивается на сту­ пеньки, у которых одна плоскость является плоскостью с малыми индексами,

аориентировка второй произвольна. Пусть свободные энергии исходной поверхности и второй из плоскостей ступеньки обе равны у, а угол между обеими плоскостями ступеньки равен 26°; определите свободную энергию плос­ кости с малыми индексами и эффективную свободную энергию той поверхно­ сти, которая разбилась на ступеньки (т. е. свободную энергию на единицу пло­ щади исходной поверхности). Принимаем, что свободная энергия произволь­ но ориентированных плоскостей ступенек не меняется, если эта плоскость меняет ориентировку.

12.12.Плоскость спайности слюды содержит ионы калия в вершинах сетки из равносторонних треугольников (т. е. как и в плотноупакованной

сетке). Расстояние между ионами К + составляет 5,2 А. Нарисуйте, как сов­ падают атомы, если на эту поверхность эпитаксиально осаждается серебро, причем плотноупакованная плоскость серебра параллельна плоскости спайности слюды, а направление (112) серебра параллельно направле­ нию плотнейшей упаковки ионов К +. Рассчитайте величину несоответствия в этом направлении. Покажите, что при таком ориентационном соотношении серебро может эпитаксиально нарастать в одной из двух двойниковых ориен­ тировок. Если осадок серебра образует изолированные островки с поверхно­ стями {111}, то нарисуйте очертания островков для обеих форм осадка.

12.13. Два г. ц. к.-кристалла повернуты по отношению друг к другу

на 1/2°'вокруг оси [112]. Параметр решетки а = 4 Â. Если граница между ними представляет собой симметричную наклонную границу, состоящую из краевых дислокаций, а угол наклона равен 1/2°, то:

а) укажите, что представляет собой плоскость границы; б) какова суммарная длина дислокаций на единицу площади этой гра­

ницы?

в) вычислите угол, при котором индивидуальные дислокации, составляю­ щие границу, становятся неразличимыми;

г) покажите, что эти дислокации устойчивы по отношению к любым сме­ щениям в плоскости скольжения.

I

ЛИТЕРАТУРА

1.Mackenzie J. К ., Moore А. J. W., Nicolas J. F., / . Phis. Solids, 23, 185 (1962).

2.Funk E. R., Udin H., Wulff J., J. Metals, 3, 1206 (1951).

3. Read W. T., Shockley W., Dislocation Models of Crystal Grain Boundaries, Phys. Rev., 78, 275 (1950).

4.Mullins W. W., Solid Surface Morphologies Governed by Capillarity, в кни­ ге: Metal Surfaces, ASM, 1962.

5.Smith C. S., Grain Shapes, в книге: Metal Interfaces, ASM, 1952.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Кристаллографические вычисления

А1.1. Координатная геометрия

Плоскость на фиг. А1.1 пересекает оси X, Y , Z соответственно в точках А, В, С. Эти оси необязательно ортогональны; х, у, z — координаты точки на плоскости, а р — перпендикуляр к этой

плоскости, проведенный из начала координат, образующий с осями координат углы а, ß, у. Из чертежа видно, что

а уравнение плоскости, параллельной данной, но проходящей через начало координат, будет

хІА + уIB + zIC = 0. (Al.5)

Кристаллографическая плоскость с миллеровскими индексами (hkl) отсекает на осях координат отрезки, пропорциональные alh, b/k, сП, поэтому из соотношения (А1.3) непосредственно следует,

(hkl) и координатными осями кристалла. Уравнение (А1.6) спра­ ведливо для всех кристаллографических систем. Оно называется уравнением нормали. В кристаллах с ортогональными осями координат всегда справедливо соотношение

cos2 а + cos2 ß + cos2 7 = 1.

Al .2. Решение сферических треугольников

Сферический треугольник — это треугольник на поверхности сферы, стороны которого образованы большими кругами (фиг. А1.2). Стороны такого треугольника измеряются центральными углами,

которые стягиваются этими дугами. Любой сферический треуголь­ ник можно решить, если известна любая тройка его сторон или углов при вершинах. Сумма трех углов сферического треугольника не может быть меньше 180°.

В каждом сферическом треугольнике выполняются следующие соотношения между его углами А, В, С и противоположными

Естественно, такие же соотношения существуют между cos b, cos с, cos В и cos С.

Если одна из сторон или углов такого треугольника представ­ ляет собой прямой угол, то эти соотношения существенно упро­ щаются и все параметры треугольника можно определить по двум известным сторонам или углам. Например, если угол С прямой, то уравнение для cos с, аналогичное уравнению (А1.8), принима­ ет вид

а уравнение для cos С, аналогичное уравнению (А1.9), имеет вид

Сферический треугольник, у которого одна из сторон или один из углов равны прямому углу, называется треугольником Непера.

Для любого треугольника Непера удобно пользоваться двумя мнемоническими правилами решения, следующими из (А1.10) — (А1.13). Эти правила иллюстрируются чертежами на фиг. А1.3, а и б. На верхних чертежах показаны пять элементов прямоуголь­ ного треугольника, пронумерованные по порядку, начиная от пря­ мого угла. На каждом из нижних чертежей те же цифры (пред-

Для того чтобы решить любой неперовский треугольник, надо знать, кроме прямого угла, еще две величины. Две известные величины и любую искомую неизвестную всегда можно сгруппиро­ вать так, чтобы либо все три находились в прилежащих участках

этой схемы — как на фиг. А1.4, я, где показано одно из возмож­ ных прилежащих расположений,— или же так, чтобы три величи­ ны (одна неизвестная и две известные) образовывали так назы­ ваемую противолежащую конфигурацию, пример которой показан на фиг. А1.4, б.

Для облегчения запоминания формул решения прямоуголь­ ных или правосторонних сферических треугольников можно вос­ пользоваться следующими правилами:

Средняя часть, обведенная кружком на каждом из рисунков фиг. А1.4, означает для прилежащего расположения среднюю величину, а для противолежащего расположения величину, про­ тиволежащую двум остальным.

В качестве примера на применение правила Непера рассмотрим треугольник, изображенный на фиг. 1.17, б, у которого угол при вершине В прямой; допустим, что нам известны только стороны Ъ = 54°44' и с = 45°. Чтобы найти а, воспользуемся схемой типа фиг. А1.5, из которой следует

sin (90° — 54°44') = cos a cos 45°

или

cos а = sin 35°167cos 45°

и окончательно

а = 35°16'.

Для кристаллографических вычислений, о которых шла речь в разд. А2.2, очень удобно пользоваться еще отношением синусов или так называемым ангармоническим отношением для плоскостей одной и той же зоны.

Рассмотрим четыре плоскости кристалла Рг, Р 2, Р 3, Р 4 и обо­

и той же кристаллографической зоне и ни одна из них не парал­ лельна другой, то отношение

(sin Ѳх 2/sin Ѳх 3)/(sin Ѳ4 2/sin Ѳ4 3)

легко вычислить по индексам этих плоскостей. В кристаллографи­ ческих вычислениях удобно пользоваться этим отношением сину­ сов, чтобы находить угол между гранями с известными индексами или остальные грани той же зоны, или же чтобы находить индексы грани по углам между ней и другими гранями той же зоны. Пусть грань Рг имеет индексы (h^l^), грань Р 2 — индексы (h2k2l2) и т. д. Воспользуемся правилом из разд. 1.3 [уравнение (1.9)] и найдем

Так как эти индексы зоны выводятся из индексов граней Рх ш Р 2, обозначим их как Ux 2, Ѵх 2 и Wx 2; по аналогии обозначим через U2 з , F2 3, W2 3 индексы оси зоны, выведенной по граням Р2 и Р 3. Если принять эти обозначения, то отношение синусов запишется в виде

На фиг. A l.6 изображена часть стереографической проекции кристалла, на которой нанесены проекции четырех граней, при­ надлежащих одной зоне, и значения углов между ними. Требуется найти индексы грани Рг по известным индексам остальных трех граней. Если обозначить индексы грани Рх как (hkl), то получим

Если индексы грани Рх (hkl), а грани Р2 (121), то, составляя ин­ дексы оси зоны по правилу, приведенному на стр. 23, имеем

Ux г = к - 21, Ѵ12 = I - h, Ц \ 2 = 2h - к