книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

точно велика плотность узлов, а ориентировка границы отвечает одной из основных плоскостей этой решетки совпадения.

Возможность классификации границ, соответствующих хоро­ шему согласованию зерен, на основе когерентной решетки являет­ ся следствием симметрии кристалла. В кристаллах низкой сим­ метрии такой подход возможен не всегда. Например, на фиг. 12.16 изображена двойниковая граница, соответствующая точному согла­ сованию решеток двух зерен в моноклинном кристалле. Ориента-

ционное соотношение между решетками можно описать в данном случае как поворот на л вокруг нормали к двойниковой плоско­ сти ОА. Однако в общем случае направление ОА иррационально и решетка из когерентных узлов не существует.

Метод определения плотности дислокаций в скрученной грани­ це можно использовать для описания границ любого типа. Любую границу между зернами можно получить, задавая некое располо­

жение дислокаций в так называемой материнской решетке. Сум- * марный вектор Бюргерса дислокаций, пересекаемых вектором R, лежащим в этой границе, равен

Векторы гх и г2 — векторы, получающиеся из R путем поворотов, равных по величине и противоположных по знаку поворотам, которые требуются, чтобы из исходной решетки получились зерна 1

В реальном кристалле нужно брать вектор В для дислокаций, возможных в данной структуре. Для малых вращений, величина

что с очевидностью следует из фиг. 12.17 *). Хотя для любой межзеренной границы можно отыскать ряд дислокаций, который даст надлежащие ориентационные соотношения, такой ряд не имеет физического смысла, если дислокации в нем не отстоят столь далеко, что структуры их ядер не перекрываются. Связать свой­ ства отдельных дислокаций со свойствами межзеренной границы удается только, если нет такого перекрытия.

12.3. Стыки границ

Стыки поверхностей раздела получаются, например, когда граница выходит на поверхность или когда внутри поликристалла три зерна соприкасаются друг с другом. Наблюдая равновесные положения поверхностей раздела на таких стыках, можно полу­ чить некоторые сведения об относительных величинах свободных энергий поверхностей или об изменении этих энергий в зависимо­ сти от ориентации поверхностей.

Равновесную конфигурацию установить легко, если энергия каждой из пересекающихся поверхностей не зависит от ориента­ ции. Каждая граница, стремясь уменьшить свою площадь, дей­ ствует на стык с некоторой силой, пока сумма сил не станет равной нулю. Когда межзеренная граница пересекает внешнюю поверх­ ность, она как бы втягивает эту поверхность, образуя канавку, пока ее собственное натяжение не уравновесится поверхностным натяжением (при условии, что температура достаточно высока для того, чтобы обеспечить подвижность атомов, необходимую для достижения равновесной конфигурации: для образования

бесконечно малое смещение стыка в направлении, параллельном границе зерен. Суммарное изменение свободной энергии, соот­ ветствующее этому отклонению от равновесия, должно равняться нулю. Если единица длины стыка смещается на dx, то площадь

*) Если Ѳвелико, то вращение нельзя описать одним вектором и уравне­

так что зерно 1 получается из исходной решетки путем поворота вокруг направления I на угол — Ѳ/2, а зерно 2 — поворотом на угол Ѳ/2. Значе­ ния В и R такие же, как для очень малых Ѳ, т. е. В и R определены , в и с х о д н о й р е ш е т к е (см., например, [17]; этот анализ впервые проделал Франк).

Ф и г. 12.18. Поперечное сечение канавки на границе зерен.

границы между зернами уменьшается на dx, а площадь поверх­ ности увеличивается на 2 dx sin Ѳ/2. Отсюда

—уь dx + 2ys dx sin Ѳ/2 = 0

или

Здесь уь — энергия границы зерен, а ys — свободная поверхност­ ная энергия. Равенство (12.22) можно получить еще и из условия баланса сил натяжений, действующих на стык со стороны рас­ сматриваемых поверхностей раздела; отсюда следует, что величины этих натяжений равны уь и ys. Отношение уь/у3 для ряда мате­ риалов найдено по измерениям углов канавок между границами зерен. В табл. 12.3 приведены некоторые из этих значений, а также значения уь, полученные из отношения Уь/ys по независимым измерениям ys.

К сожалению, предположение о том, что свободные энергии поверхностей раздела не зависят от их ориентации, в общем случае неверно. Если участок поверхности может понизить свою свободную энергию путем поворота, приводящего к другой ориен­ тации, то для предотвращения этого поворота к участку должна быть приложена пара сил. В результате в условии баланса сил у ме­ ста стыка появляются так называемые члены с вращающими момен­ тами.

Силы, которые надо было бы приложить к краям сегмента подвижной поверхности, чтобы удержать его в равновесии, опреде­ ляются условием минимума свободной энергии, т. е.

dG = 0,

где dG — изменение свободной энергии системы, отвечающее бес­ конечно малому отклонению от положения равновесия. Рассма­ тривая приращение dr поверхности длиной I (фиг. 12.19), получаем

Силу Fx надо приложить к концам данной границы, чтобы предот­ вратить сокращение ее длины, а силу Fy — чтобы предотвратить ее поворот, приводящий к ориентировке с меньшей энергией. Если, например, точка Е представляет собой стык поверхностей

сил по направлениям трех поверхностей раздела:

Y23 + Yi3cos03 + y12cos02—-^ -sin93 + -^ -sm Ѳ2 = 0.

Приведенные уравнения впервые были выведены Херрингом [21]. Возвращаясь к случаю границы зерен, пересекающей внешнюю поверхность, видим, что если имеются существенные неизвестные

Ф и г . 12.21. Стык поверхностей раздела между тремя зернами.

Каждая из поверхностей нормальна к плоскости чертежа, а — геометрия рас­

положения поверхностей; б — схема действующих сил. Знак <2Ѳ считается положительным при поворотах границ по часовой стрелке.

члены с вращающими моментами dy/dQ, то в общем случае невоз­ можно найти отношение энергии границ зерен к поверхностной энергии на основании измерения углов на одном-единственном стыке. Однако для частного случая пересечения двойниковой пластинки с внешней поверхностью г. ц. к.-кристалла можно упростить уравнения (12.27).

Упрощение становится возможным благодаря различной зна­ чимости разных членов. Энергия двойниковой границы {111}, видимо, будет малой; фактически она может быть даже меньше члена dyJdQ, обусловленного анизотропией свободной поверхност­

на фиг. 12.22. Появление холмика вместо канавки убедительно свидетельствует о наличии вращающего момента, возникающего-

поверхностная энергия для разных ориентировок различна, то равновесную форму можно определить по полярным у-диаграммам на основании теоремы Вульфа х), которую мы приведем без дока­ зательства 2)* . Равновесная форма кристалла должна представлять собой поверхность, соответствующую внутренней огибающей плоскостей, нормальных к векторам, которыми изображаются свобод­ ные поверхностные энергии на полярной у-диаграмме, и проведен­ ных через концы этих векторов («плоскости Вульфа»).

лярной диаграмме свободной поверх­ ностной энергии, которая была изображена на фиг. 12.5.

Если на полярной (векторной) у-диаграмме есть достаточно глубокие острые минимумы, то равновесная форма будет много­ гранником. Это иллюстрирует фиг. 12.23 для гипотетического случая полярной у-диаграммы г. ц. к.-металла, уже приводившей­ ся на фиг. 12.5. Если минимумы выражены не очень резко, то рав­ новесная форма может иметь закругленные участки, хотя все-таки у нее должны быть и плоские грани, отвечающие ориентациям энергетических минимумов. Вопрос о том, будет ли на равновесной форме возникать поверхность данной ориентировки, можно решать с помощью построения Херринга [27].

Рассмотрим некое направление ОА на фиг. 12.24 Точка О — центр полярной диаграммы поверхностной энергии у 3); на участке около А кривая является гладкой. Допустим, что нормальная к ОА поверхность принадлежит равновесной форме, определяемой по теореме Вульфа. Тогда она должна существовать на том участке этой равновесной формы, который касается плоскости Вульфа AB.

2)Обсуждение доказательства теоремы Вульфа см. в [26], гл. 2.

3)В построении Херринга предполагается, что у — непрерывно меняю­ щаяся функция направления в пространстве__Прим. ред.