книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы
..pdf§ 2. Метод двойного разложения Фурье |
47 |
экспоненциально, это утверждение остается справедливым при всех временах.
Экспериментальное доказательство того факта, что этот член описывает реальное явление, было получено в результате наблю
дения эффектов |
эхо [23, 24]. Библиографию читатель найдет |
в статье Бэкуса |
[25]. |
Напомним, что этот член определяет основные асимптотиче ские свойства решения при больших временах. Только если g (ѵ) удовлетворяет определенным условиям аналитичности, мы можем ожидать экспоненциального спада или нарастания типа Ландау для электрического поля. Если эти условия «гладкости» но выполнены, то решение может вести себя почти произвольно
[26, 27].
То, что затухание Ландау (или экспоненциальное нарастание в случае неустойчивости) отнюдь не обычное поведение решения, можно понять без всякой математики из следующих рассуждений. Предположим, что мы численно нашли решение уравнений (1) и (2) вплоть до какого-то момента Т и что это решение указывает на экспоненциальный спад электрического поля. Используем теперь это возникшее распределение при t = Т, но с зеркально измененными всеми скоростями, в качестве начального условия для нового счета, эффективно обращающего время. В результате мы получим экспоненциальное нарастание электрического поля до t = Т. Затем нарастание прекращается и сменяется экспонен циальным спадом. Причина такого поведения, конечно, в том, что уравнение Власова в своем первоначальном виде, так же как и в линеаризованном, инвариантно по отношению к обращению времени и скорости. Таким образом, второй счет — просто обра щение первого.
Не только в аналитической теории, но и в численных расчетах второй член в (9), который представляет начальные условия, тре бует внимания. Уже отмечалось, что по абсолютной величине он сравним с первым членом. Он описывает колебания с частотой kt в фазовом пространстве. Если попытаться представить функцию распределения ее численными значениями на сетке в простран стве X, V с размером ячеек Ах и Аѵ, то эти колебания будут довольно неадекватно описаны, скажем, шестью точками на коле бание.
Чтобы описать функцию распределения в пространстве скоро стей, нам нужно распространить область по ѵ, скажем, до четырех тепловых скоростей, так что —4 ^ ѵ ^ 4. Предположим, также, что имеется N = 200 точек, попадающих в этот интервал, тогда
Аѵ = Ѵ25.
Отсюда следует, что после момента £/2я = 1/(6Аѵк) результат вычислений должен ухудшаться, поскольку колебания не могут больше правильно описываться такой сеткой.
48Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
Вчисленных расчетах, связанных с затуханием Ландау, суще ствуют очень жесткие требования на допустимые значения вол новых чисел. Если выбрать их слишком малыми, то затухание будет незаметным на интервале времени порядка 100 плазменных периодов. Если же выбрать к большим, то затухание Ландау будет очень большим, а электрическое поле будет спадать слишком быстро. Поэтому в расчетах придерживаются следующего интер вала Ѵ4 ^ к ^ 1!2.
Для к = У2 мы получаем tl2л = 8. Это означает, что после восьми периодов плазменных колебаний численное решение не будет больше представлять решение уравнения Власова. Несколько авторов [8, 9] испытали такую неудачу. Если бы в урав нении Власова перейти от координат х, ѵ к некоторым другим координатам, таким, что в этих новых координатах начальные условия не приводили бы к колебанию с нарастающей во времени частотой, то было бы гораздо легче справиться с численным интег рированием уравнения Власова.
Такое преобразование действительно существует: это преобра
зование Фурье в пространстве скоростей. |
(2я)_1/2ехр (—у2/2). |
|
Для простоты предположим, что g (ѵ) = |
||
Тогда второй член в формуле (9) преобразуется к виду |
|
|
+°° |
|
|
j g-(y)exp (iktv + iyv) dv = exp [ — ~ |
(kt + y f ^ • |
(10) |
Видно, что осцилляторное поведение полностью пропало. В ре зультате возникает гладкое распределение Гаусса с центром в точке у о = —kt. Однако если мы захотим представить этот член численно, то сразу столкнемся с другой трудностью. Можно
отобразить только конечный |
по у интервал, скажем, —умако ^ |
^ у ^ г/макоСпустя время |
t — y№aKJk мы потеряем существен |
ную долю информации об этом члене, поскольку он будет исче зать с наших вычислительных матриц. Имеется, однако, важное отличие от предыдущего случая: верно, что мы теряем информа цию об этом члене спустя некоторое время, но это не нарушает вычисление других членов. Как мы видим, в линейной теории ука занный член становится несущественным спустя какое-то время, когда мы вычисляем макроскопические величины. Поэтому можно надеяться, что пренебрежение этим членом при больших временах не будет слишком большим недостатком и в нелинейной теории. Однако нужно проявлять осторожность: если мы намереваемся рассчитывать эффекты эхо, то должны выбрать умакс достаточно большим, чтобы указанный член оставался хорошо представлен ным в течение всего времени развития эхо.
§ 2. Метод двойного разложения Фурье |
49 |
2. Представление, граничные и начальные условия
а. Представление
Чтобы изучить распространение волн в неограниченной или ограниченной плазме, удобно разложить неизвестные функции, входящие в уравнение (1), вначале в ряды Фурье по х :
f ( x , v , t ) = |
-J-00 |
fn (v, t) exp (ink0x), |
2 |
||
|
7 1 = — OO |
|
|
+0o |
( H ) |
E (x, t)= |
2 |
En (0 exp (ink0x). |
|
n = — oo |
|
Величины fn и En определяются формулами
L
f n { v , l) = — j f ( v>x , t)exp( — ik0nx)dx, k0 = -^~ ,
ü
L
En (t) = ^ - ^ E (X, t) exp ( — ik0nx) dx, n = 0, ± 1 , ± 2 . . . .
о |
|
|
Подставляя эти выражения в уравнение (1), получаем |
|
|
+°° |
|
|
dfn (v, о + ink0vfn— 2 |
Eq- ^ f n_q(v, t) = 0. |
(12) |
g = — |
со |
|
Уравнение Пуассона и второе из уравнений Максвелла теперь примут вид
-(-ОО |
— оо |
|
— іпк0Еп (t) = j f ndw, |
- - ^ - E n (t)= j vfndv. |
(13) |
— oo |
— oo |
|
Такое представление идеально для ограниченной плазмы; |
для |
|
неограниченной же плазмы оно является приближенным, посколь ку мы всегда должны устанавливать некоторое минимальное волновое число к0. Однако последнее не накладывает серьезных ограничений. Другой, менее существенный момент заключается в том, что однозначно определяются все Еп при п Ф 0, но не Е п. Последнее есть мгновенное среднее электрическое поле в плазме. В неограниченной плазме оно создается скоплением зарядов на +оо; в ограниченной плазме оно обусловлено внешними гра ничными условиями. (Пример — плазма в конденсаторе, когда имеется разность потенциала между пластинами конденсатора.)
Далее мы постоянно полагаем Е (і = 0. При таком условии наша система полностью эквивалентна уравнениям (1) и (2).
4-01236
50 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
Введем теперь преобразование Фурье по ѵ, которое определяет ся формулами
|
+°° |
|
Fn (У, t) = |
j /„ (V, t) exp (ivy) dv, |
|
+°° |
Fn (y, t ) e x y ( - i v y ) ^ . . |
|
f n ( v , t ) = j |
|
|
—00 |
|
|
Тогда уравнение Власова записывается в виде |
|
|
dJnj t 'A + nkü |
+ i y ^ E q (t )Fn_q (у, t) = 0, |
(14) |
|
— oo |
|
а уравнение Пуассона и второе из уравнений Максвелла в виде
— ink0E n ( t ) ~ F n (0, t)\ ™ i l ! = + i J L F n (0,t). |
(15) |
Преимущество двойного преобразования Фурье (и разложения Фурье — Эрмита) заключается в том, что в уравнении Пуассона пропадает интеграл с функцией распределения и остается только алгебраическая связь между Е и F.
Преобразованную функцию распределения Fn (у, і) можно представить как матрицу; тогда числа п характеризуют строки, а сделанные дискретными у — столбцы матрицы. Уравнения (15) показывают, что плотность и электрическое поле определяются вектором, который получается из столбца у = 0 матрицы F.
Для численных расчетов удобно |
ввести w = к~гу |
вместо у |
и объединить уравнение (14) и уравнение Пуассона: |
|
|
+°° |
|
|
-§fFn(w,t) + n - ! ^ F n (w,f) = y> У. j F |
q(0, t)Fn-q{w, t). |
(16) |
— со |
|
|
Таков окончательный вид системы, которая будет программиро ваться. Характеристиками уравнений (16) являются прямые линии с угловым коэффициентом 1 !п (ось времени направлена вверх):
t —1' = — (w — w').
Можно проинтегрировать вдоль этих характеристик и получить
формальное |
решение для Fn: |
|
|
Fn (w, t) = Fn (w — nt, 0) -f |
|
-}~oo |
f |
|
+ 2 |
j (w— ns)q~1Fq(0,t — s)Fn_q(w — ns, t — s)ds. |
(17) |
q= —00 0
§ 2. Метод двойного разложения Фурье |
51 |
Если |
на минуту забыть о члене с суммой, |
то видно, что форма |
Fn (w, t) |
такая же, как была в момент t = 0, |
но смещенная вдоль |
оси w. |
Если в машинной программе выбрать временной шаг |
|
At — Aw, то это смещение можно численно выполнить точно. Другими словами, удается точно проинтегрировать первые два члена уравнения (16). Остается только найти подходящую про грамму для вычисления членов суммы в уравнении (17).
Когда характеристики уравнения (16) выходят из области известных величин, первый набор значений при t + At приходится получать путем экстраполяции. При повторном шаге значения исправляются, так что ошибка обрывания становится равной
О [(Аг)2].
Заметим, что эти вычисления были проведены на ЭВМ с пол ной памятью всего в 4 000 слов, включая как программу, так и числовые массивы. Была необходима предельная экономия, так что рассматривались только программы с одной матрицей Fn (w, t0) в оперативной памяти.
Функция Fn (w, t) — обычно комплексная, так что при про граммировании уравнение (16) приходится разделять на действи тельную и мнимую части. Поскольку функция / (х, v, t) действи
тельная, то Fn должна удовлетворять условию |
|
Fn (w, t) = F*-n { — w, t). |
(18) |
Следовательно, можно исключить мнимую часть Fn, если вычис лить действительную часть Fn при положительных и отрицатель ных значениях п и w.
Тот факт, что функция / (х, v, t) является положительно опре деленной, можно представить только как очень сложное условие на характеристическую функцию (25]. По-видимому, это условие пока не использовалось в численных расчетах.
Заметим, что преобразование Фурье по всем переменным от рас пределения вероятности хорошо известно в математической ста тистике. Там его называют «характеристической функцией». Важная роль последней проистекает из того факта, что характе ристическая функция от суммы независимых случайных перемен ных равна произведению их характеристических функций.
Однако применение преобразования Фурье к вычислению функций распределения, кажется, было новшеством, когда оно впервые было сделано в 1963 г.
б. Законы сохранения
Система уравнений (1) и (2) является консервативной системой, для которой выполняются определенные законы сохранения. Наиболее важными являются законы сохранения числа частиц, импульса и энергии.
4*
52 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
Постоянство числа частиц выражается следующим равенством:
F0(0, t) = 0, |
или |
Fq(О, t) ---=1, |
(19) |
||||
которое следует из (16) при w = 0 и п = 0. |
|
получаем |
|||||
Дифференцируя (16) |
по w и считая w = 0 и п = 0, |
||||||
ввиду симметрии суммы |
следующее |
равенство: |
|
|
|||
д_ |
д |
(w, t) to=0 |
0, |
|
|
||
dt |
|
dw Fо |
|
( ) |
|||
которое выражает сохранение импульса. |
|
|
20 |
||||
Наконец, дважды дифференцируя (16) |
п о и и используя фор |
||||||
мулы (15), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
д__ |
d 2F о (w, t) |
|
|
= 0. |
( 21) |
||
dt |
|
dw2 |
„ „ + |
2 |
*■ <<] |
||
|
|
|
|||||
Первый член представляет кинетическую энергию частиц, а вто
рой — энергию |
электрического |
поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
в. Обрывание |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Суммирование в уравнениях (16) |
и (17) |
проводится |
от |
— |
|
||||||
до |
|
и возникает вопрос, какова |
будет |
ошибка, если |
сумму |
|||||||
-t- о о , |
|
|
оо |
|||||||||
обрезать. Предположим, что |
мы |
пренебрегли |
всеми |
членами |
||||||||
с |
п ^ N + 1 |
и что выполняется |
соотношение |
Fn = О (е”) |
или |
|||||||
как начальное условие, или для какого-то более позднего момента. Тогда член взаимодействия
+°°
2 -yiM O , t)Fn_q{w, t),
q—— оо
который связывает различные моды, будет содержать слагаемые порядка 8|П~Ѵ1+Іѵ|? т. е. порядка е2ѵ~п при ѵ > п. Наибольшая ошибка, которая будет получаться, возникает от первого отбро шенного члена с ѵ = N + 1; он порядка g2w+2—п_ Поскольку Fn — О (еи), то относительная ошибка по отношению к Fn будет порядка s2(-N+l- n). Видно, что эта ошибка растет при увеличении порядка п гармоники и становится О (е2) для п = N. Молчаливо предполагалось, что эти ошибки не накапливаются со временем и потому не портят оценку. Можно, однако, прямо из численных результатов увидеть, насколько все яш хорошо выполняются наши предположения. Оказывается, что в большинстве случаев достаточно рассмотреть всего несколько гармоник. Например, для устойчивых колебаний всегда легко удержать вторую гармонику ниже уровня первой гармоники на два или даже более порядка.
§ 2. Метод двойного разложения Фурье |
53 |
В случаях неустойчивости вторая гармоника была связана с пер вой гармоникой и имела скорость нарастания, в 2 раза большую, чем у первой гармоники. В результате ко времени, когда неустой чивость выравнивалась, амплитуда второй гармоники нарастала до Ѵю—Ѵ3 от амплитуды первой гармоники. Это указывает на то, что обрывание приводит к некоторой неточности.
Нам нужно ввести и другое обрывание из-за конечности интер вала по w. Как было показано выше, всегда будут члены, которые движутся к границе матрицы и затем просто теряются. Один из примеров представлен на фиг. 3. Кажется, что такая потеря инфор мации является неизбежным свойством интегрирования уравнения Власова. К счастью, обрывание не создает каких-либо численных неустойчивостей. С другой стороны, обрывание матрицы в разло
жениях Фурье — Эрмита |
приводит |
к численным |
трудностям |
|
(ср. § 3). Ошибку, которая возникает |
от такого обрывания, |
можно |
||
определить экспериментально, и мы |
остановимся на |
этом |
в § 2, |
|
п. 4. |
|
|
|
|
г. |
Граничные условия |
|
|
|
При моделировании неограниченной плазмы разложение функ ции / (X, V, t) в ряды Фурье уже обеспечивает периодические гра ничные условия. Однако решение Fn (w, t) будет комплексным. Поскольку Fn (—w, t) — Fn (w, t), то при вычислениях можно ограничиться положительными п. Такая схема применялась для изучения нелинейного поведения уединенных бегущих волн.
Если |
мы заинтересованы в снижении стоимости расчетов, |
||
то можно |
исходить |
из симметричных начальных |
условий: |
|
/ |
(X, V, 0) = / (—X, —и, 0). |
(22) |
Легко показать, что для всех более поздних времен функция распределения будет сохранять эту симметрию. В Е-пространстве условие (22) записывается в виде
Fn(w, t) = F-n ( — w, t).
Отсюда, используя условие действительности (18), получаем
Fn (w, t) — Fn(w, t), или Im Fn (w, t) = 0.
Мнимая часть F тождественно равна нулю, и мы сокращаем вдвое время на вычисления, не говоря уже об упрощении програм мирования.
Однако за это приходится расплачиваться. В силу симметрии для любой волны, которая распространяется, допустим, вправо, имеется также еще одна, которая распространяется влево. Если мы изучаем неустойчивость типа «горб на хвосте», то всегда долж но быть по горбу на каждом из двух хвостов и т. п. Электрическое
54 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
поле будет полем стоячей волны, которая будет периодически почти пропадать. Чтобы сопоставить результаты такого расчета с простыми понятиями типа захваченных частиц и т. и., необхо димо привлекать дополнительные аргументы (например, считать, что две волны слабо связаны), которые не вполне очевидны при сильной нелинейности, когда модуляция плотности велика.
В качестве |
граничного условия при w = +н?Макс выбираем |
Fn (+шмакс, t) |
= 0. Это, кажется, простейший и наилучший путь |
решения данной задачи. Все другие граничные условия, вероятно, будут порождать численные неустойчивости.
д. Начальные условия
Впринципе можно использовать любое начальное условие, которое представимо с достаточной точностью в Е-пространстве. Здесь мы перечислим конкретные начальные условия, которые успешно использовались.
Для устойчивых волн симметричное условие
/ (X, V, 0) = (2л)~1/а ехр ^ |
^ V2 ) (1 -\-А cos к0х) |
(23) |
описывает затухающую стоячую волну. Ее типичное поведение иллюстрируется фиг. 1, а—г. Используя различные значения амплитуд А и волновых чисел к0, можно изучить изменение затухания Ландау и его величину как функцию амплитуды и дли ны волны.
Чтобы изучить двухпотоковые неустойчивости, можно взять два максвелловских распределения, сдвинутых относительно друг друга:
f(x, V, 0) = (2я)-1/2(1— А) ехр[ — у (у + ^ ) 2] +
+ (2я)~1/2-^ г- ехр [ — -^-(у+ Щ— ур)2] (l + ecos&oz); |
(24) |
функция / всегда нормирована.
В этой формуле можно изменять отношение чисел частиц в двух потоках, которое равно (1 — А)/А, отношение соответствующих температур Ш и сдвиг ѵр между двумя потоками в пространстве скоростей. Скорость vs — фиктивная переменная, определяющая только координатную систему Галилея, в которой мы наблюдаем за неустойчивостью. Ее можно выбрать такой, чтобы электронная плазма в целом находилась в покое или чтобы возникающее электрическое поле соответствовало стоячей волне. Отметим, что, когда полный электронный ток отличен от нуля, он автоматически компенсируется равным и противоположным ионным током благо даря условию Е о = 0. Кроме того, использовались различные
§ 2. Метод двойного разложения Фурье |
55 |
значения vs для того, чтобы проверить инвариантность программы относительно преобразований Галилея (ср. п. 4).
На фиг. 4, а и б представлены типичные результаты. Проходит сравнительно много времени, прежде чем решение начинает нарастать точно по экспоненте. К тому же экспоненциальное нарастание не представляет подлинного интереса, поскольку оно хорошо описывается линейной теорией. Можно сэкономить время вычислений, если выбрать в качестве начального условия функцию распределения, которая соответствует линейному решению задачи. В этом случае можно избавиться от существенной части счета, отвечающего фиг. 4, и сконцентрировать свое внимание на обла сти, где электрическое поле достигает своего максимума.
3. Сводка результатов
Обсудим вначале результаты, связанные с нелинейными зату ханием устойчивых распределений. Начальное условие (23) исполь зовалось всюду. Типичные результаты представлены на фиг. 1, а— г. Графики расположены в соответствии с начальной амплитудой электрического поля, которая задана в виде Е (t = 0) = А!к0. На фиг. 1, а мы наблюдаем затухание Ландау первой гармоники, которое не меняется за время вычислений. Это полностью соот ветствует линейной теории. Увеличение начального ноля в резуль тате уменьшения кп приводит нас к фиг. 1, б. Видно, что в данном случае затухание Ландау становится очень малым; это иллюстра ция того, что в численных расчетах ограничен интервал измене ния к. Тщательный анализ фиг. 1, б показывает, однако, что декремент затухания, по-видимому, уменьшается. Это лучше видно на фиг. 1, в, где снова увеличено Е (t = 0) и явно видно уменьшение декремента затухания вблизи t = 30.
Ріа фиг. 1, г показано развитие плато у электрического поля. Последнее напоминает нам о квазилинейной теории [29—31], в которой также получается плато электрического поля. Квази линейная теория в своих предположениях сильно отличается от рассмотренных здесь численных расчетов. Вот наиболее важные
ее |
предположения: 1) непрерывный спектр |
волн, 2) у/ыр |
1 |
и |
3) у > 0, т. е. неустойчивость считается |
слабой. |
|
|
Отметим, что предложено обобщение квазилинейной теории для |
||
устойчивого случая [31].
В численных расчетах все три указанные условия не выпол няются, поэтому подробное сравнение невозможно.
Квазилинейная теория приходит к уравнению диффузии в про странстве скоростей для однородной функции распределения /0, которое обладает тем свойством, что функция/0 уплощается в окре стности фазовой скорости волны Ѵф. Для этой области фазового пространства предсказано появление при t оо горизонтального
го |
40 |
60 |
80 |
t