книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы
..pdfДополнение |
4 89 |
и эксперимента в широкой полосе изменения параметров плазмы для различных установок (Т-3, Т-4, Т-6). Вместе с тем феномено логический характер модели затрудняет надежную экстраполя цию результатов на более высокие параметры плазмы.
§ 6*. Д и ф ф у з и я ч а с т и ц
Диффузионный поток частиц DS в уравнении (4) можно пред ставить в виде
DS = D I (1
|
|
|
|
(18> |
|
где |
|
|
|
|
|
Фг |
dj, еЧ~3 V»г, е |
di = 1,33, |
de= |
l , l l . |
|
1+У ^Гв ’ |
|||||
|
|
|
|
||
Член с квадратными скобками соответствует |
термодиффузии. |
||||
В «банановой» |
области (а;, е <С 1) фг. е ~ |
dif е і |
фг. е — 3/г < О |
||
и термодиффузионный член дает поток частиц по направлению градиента температуры. Коэффициент диффузии D равен
D = ^ l e . |
(19) |
Дрейфовый поток частиц геГ в том случае, когда электроны находятся в «банановом» режиме, определяется пинчеванием запертых частиц в скрещенных полях Ez и II0,
f = |
Г = 1,5 ^ еѴ2 _ І _ J L ln (я2ц), |
(20) |
|
а |
аг |
Tq ^ |
|
|
(Г = 2, W |
Er |
|
|
« i ) . |
|
|
В режиме плато запертых частиц нет и Г = 0. Ряд авторов отме чает, что пинчевание частиц приводит к дополнительным членам в уравнении (2):
<?е = <?др = 0 , 2 ^ Г е^ (г ш Г ) + 1,2Г дТ |
(21) |
|||
|
|
дх |
|
|
На периферии плазмы |
|
|
|
|
^др |
|
ПрТе (эрг) |
(22) |
|
<?Дж |
e1/2ß/<l, |
ßi=: (1/8я) Щ (Э) |
||
|
||||
Однако в центральной части шнура первый член в формуле- (21) возрастает и 0 ДР может оказаться сравнимым с (?дж.
490 Дополнение
§ 7. Н е й т р а л ы о ст а т о ч н о го га за
Ионизация атомов остаточного газа играет существенную роль в балансе частиц. В балансе энергии роль перезарядки и иони зации до сих пор была невелика, однако с ростом температуры ионов и переходом в «банановый» режим уход энергии через ней тралы может стать основным источником потерь. Если через N (ж, t) обозначить плотность нейтралов в единицах 1013 см-3, через Тп (ж, t) — температуру нейтралов в электронвольтах, то уход энергии с нейтралами и увеличение плотности за счет иониза ции могут быть описаны дополнительными членами в уравнениях
(1) — (4): |
_ |
|
& = - 5 6 N ( T , - T n) ( j / ^ оех+ і , 07 У ¥ еае) , |
||
Q e = - 60N {Тё- Т п) У Т ео*, |
(23) |
|
Р ^ Р п = 60пЫѴтеое, |
|
|
где аехЛЛ0~15 см2 — сечение |
перезарядки, ае-10~16 |
см2 — сече |
ние ионизации атомов электронами. При выводе (23) предполо жено, что Тп < Те,і.
Полная задача о нахождении функции распределения нейтра лов в плазме приводит к весьма громоздкому многомерному кине тическому уравнению. Поскольку, однако, экспериментальные данные о плотности нейтралов в вакууме отрывочны и ненадежны, естественно использовать упрощенную модель. Исходя из этих соображений, будем описывать нейтралы не в цилиндрической, а в плоской одномерной геометрии. При этом на периферии плазмы решения этих двух задач мало отличаются, а в центре плазмы, где различие существенно, при достаточно большой плотности плазмы плотность нейтралов невелика. Будем далее считать, что при перезарядке в точке ж рождается нейтральный атом с энергией, равной температуре ионов в этой точке, и с равными вероятностями вылета вперед и назад. В этом случае для определения функции
распределения нейтралов / (ж, ѵ) в |
слое — а < х < |
а будем |
|
иметь следующую задачу: |
|
|
|
v j L + s f - F N |
1 |
|
|
2у0 [ М ^ ) + 6( ^ ) ] |
(24) |
||
|
N о |
при И Зс 0. |
(25) |
f ( ± a , v) |
г0'6(Ч^) |
||
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
s = s (ж) = 0,04оехпѵі + |
10-Заегане, |
|
|
F = F (х) = 0,0івехпѵі, Ѵі — Ѵі (ж) = 1,4- ІО6 j /" у |
, |
||
Ѵе = Ѵе(Ж )=0,6.1081/Ге, |
|
||
Д ополчение |
491 |
№ и Vq — плотность и тепловая скорость падающих из вакуума нейтралов. Из выражений (24) —(25) нетрудно получить интегралъ-
СО
ное уравнение для плотности нейтралов N (х) = ^ / (х , ѵ) dv:
а |
— 00 |
N (х) = N 0 (х) + j К (X, I) N Ц) dl, |
(26) |
о |
|
где |
|
К{х’ |
^ =4--£§-{Ф(^ |
X |
sign(*-£))+ |
|
+ Ф(0, I, Ѵі (і ))Ф(0, |
X, Vi(x))}, |
|
N 0(x) = № { Ф(ж, а , ѵ„)+ Ф(0, |
а, |
у0)Ф(0, x , v q)}, |
|
|
Ф (l, x,i>) = exp |
j s(x')dx'J . |
|
|
|
i |
|
Учитывая наличие ионизации, уравнение (26) естественно решать методом последовательных приближений:
оо |
а |
|
'N (X) = 2 N k (х),N h+1 (х) = ( |
К (X, I) N h (I) dl. |
(27) |
fe=0 |
о |
|
Нулевой член этого ряда N 0 (х) дает плотность нейтралов без учета вторичных нейтралов перезарядки, а каждый следующий член описывает нейтралы, появляющиеся при ^-кратной переза рядке. При плотности плазмы п ~ 2—5 член Nu+i отличается от N k (при /с > 1) почти на полпорядка. Таким образом 4—5 итера ций обеспечивают достаточную точность вычислений. По плот ности N (х) можно установить пространственное распределение
температуры |
нейтралов |
|
|
а |
|
N (X) |
Тп (X) = N 0 (X) Тп0-\- j К (X, I) N (I) Ть Ц) dl, |
(28) |
|
О |
|
где Тпо = тѵ\І1 — температура падающих нейтралов. |
зави |
|
Плотность |
и температура нейтралов параметрически |
|
сят от времени через функции F , уг, s и №. В плазме с малой плот
ностью (п < |
0,5) нейтралы |
хорошо |
проникают |
в центральную |
часть N (0) ~ |
0,5іѴ (а). При |
п > 2 |
основная |
часть нейтралов |
ионизуется и испытывает перезарядку в периферийном слое: при
п ~ 5, N(0) - О,ОШ (а).
Нетрудно оценить долю нейтралов р, отражаемых плазмой (альбедо плазмы). Если № и Тп0 известны, а У (0) и Тп (0) полу-
492 Д ополчение
чены из решения уравнения (26) и формулы (28), то |
|
||||
|
|
Ѵ2 |
ІѴ(0) ГП(0) |
(29> |
|
|
р = ф |
№NO - ‘П |
\ № Т п0 |
||
где /+ и |
— падающий и выходящий* / |
потоки атомов |
|
||
§ 8. |
М етоды |
д о п о л н и т е л ь н о г о н а грева п л а з м ы |
|
||
1. Поджатие магнитным полем
Адиабатическое увеличение основного магнитного поля Н при водит к поджатию плазмы и дополнительному нагреву частиц. Если при этом большой радиус тора R не изменяется, то в гидро динамическом приближении плотность плазмы п должна возра стать с полем линейно, а Тг и Те — как Н 2/з. Л. А. Арцимович высказал идею о возможности нагрева плазмы при уменьшении R и перемещении шнура в область с более сильным магнитным полем (Н ~ R -1). Эта идея недавно была реализована на установке «Токопрессор» в Принстоне. В этом случае из гидродинамики сле
дует, что п ~ R~2, Т і и Те ~ і?_4/з.
Для расчета баланса энергии и частиц при поджатии систему
(1) —(4) следует дополнить членами |
* |
Ь ’‘ = { 1 } т ^ ' + Т х * Т Г ’ |
|
р = ^ 2 } а п + т х ^ ' |
(30> |
^ = { _ ? } а!Х +Т * - | г ’ |
|
где а = (1/Н) (dH/dt). В фигурных скобках верхние коэффициенты соответствуют случаю R —const, нижние— случаю R ~ Н~х.
2.Использование тора с некруглым сечением
Вобычном токамаке с круглым сечением плазменного шнура величина продольного тока ограничивается условием Крускала — Шафранова
q (a ) ~ ' n ( a ) ~~ 0 ,2 В / > 1 - |
(31^ |
В современном эксперименте пользуются еще более жестким условием q > 3. В противном случае приходится принимать спе циальные меры по подавлению второй гармоники гидродинамиче ских винтовых колебаний. Условие (31) означает, что при одном
Д ополнение |
493 |
обходе тора прокручивание силовой линии вокруг магнитной оси не должно превышать 360°. Для некруглого сечения прокру чивание меньше и условие (31) становится более слабым. В част ности, для эллиптического сечения с большой полуосью, парал лельной главной оси тора, условие (31) принимает вид
q ~ 0,2R I 2 ГДѲ а ~ а
а и Ъ — длины полуосей эллипса. А. А. Галеев показал, что коэф фициенты теплопроводности ионов и электронов при этом умень шаются пропорционально множителю
к(У і - « - 2)
Е(ф /і —а -2)
где К и Е — полные эллиптические интегралы.
Таким образом, в торе с некруглым сечением два фактора могут улучшить нагрев плазмы:
1)увеличение допустимой плотности тока,
2)уменьшение коэффициентов теплопроводности. Количественное описание этих факторов для каждого типа сече ния требует детального анализа.
3. Инжекция пучка быстрых нейтралов
Инжекция пучка горячих нейтралов — один из перспектив ных методов нагрева плазмы в больших установках до темпера туры зажигания термоядерной реакции. Для того чтобы пучок играл заметную роль в общем энергетическом балансе плазмы, его мощность должна быть сравнимой с мощностью джоулева нагрева Wgw « 2n2Ra2Qj^m. Заметим, что в современном эксперименте ГГдж ~ 100—200 кВт. Для нагрева большого токамака-реактора
с |
параметрами R = 500, а = 150 до температуры T it е ~ 10 кэВ |
с |
запасом энергии ІО7 Дж при тв ~ 10 с необходим пучок мощ |
ностью W b = Е0і ~ 103 — ІО4*кВт (в дальнейшем Е 0 — энергия частиц пучка в кэВ, і — эквивалентный ток пучка в амперах).
При изучении баланса энергии плазмы с пучком быстрых ней тралов необходимо последовательно решить три проблемы.
1) Прежде всего надо определить количество быстрых атомов, испытавших ионизацию или перезарядку на частицах плазмы вдоль траектории пучка. Если Т іше ~ 1—10 кэВ, Е 0 ~ 20— 100 кэВ, то Ѵі <С ѵъ <С Ѵе (ѵь — скорость частиц пучка) и с разум ной точностью можно считать, что
{ о ех I Ѵі — ѵь I ) = o exv b, ( o t \vt — Vb \) =
= 7iVb,c (O e IVe —Vb I>= O eVe ,
|
Д ополчение |
495 |
В этом случае [19] |
Qi=aQh, Qe = (1 — а) Qh, |
(34) |
|
||
где Qh — плотность |
энергии горячих ионов, образовавшихся на |
|
Ф и г . 1. Доля энергии, передаваемой ионам, при охлаждении быстрых частиц.
данной магнитной поверхности и удерживаемых магнитным полем,
, а = к |
JX |
1 , |
1 ~ У \ + Х |
2 - У х |
) |
(35) |
{з у ¥ |
з ш |
(1 + ѵ і ) 2 |
Узх |
J ’ |
На фиг. 1 приведен график зависимости а = а (Я). При К < 0,4 основная часть энергии передается электронам, а при Я > 0,4 — ионам.
§ 9. Р а с ч е т р е а к т о р а - т о ка м а ка
Совпадение результатов вычислений и эксперимента на совре менных установках вызывает естественное желание экстраполи ровать результаты на большие установки и проследить зажигание и развитие термоядерной реакции. При этом следует учесть ряд новых эффектов, существенных при высоких температурах.
496 |
Д ополчение |
1) П ередача |
энергии а-частиц, выделяю щ ихся при реакции |
синтеза, электронам и ионам плазмы . Совокупность проблем здесь подобна обсуж давш ейся в § 8. Плотность энергии а-частиц может быть описана приближ енной формулой [20]:
1 + 7Ѳ®/4 |
200 |
\ |
|
|
|
Qdt = Q A 0(in |
тУз |
) ’ |
г |
93 800 ’ |
|
[l + 2420f/4 ]1/2 |
|||||
і |
|
|
|
||
где i t и i d — относительные |
концентрации трития |
и |
дейтерия. |
||
Из-за большого ларморовского радиуса траектории а-частиц сильно смещаются относительно магнитных поверхностей. Расчет времени их удержания является трудной задачей. Однако боль шая часть а-частиц будет принадлежать к типу пролетных и, повидимому, будет достаточно долго оставаться в объеме плазмы.
При температуре плазмы Т и е ~ 10 кэВ |
основная часть энергии |
|
а-частиц |
будет передаваться электронам |
с характерным време |
нем (32) |
(при п ~ 10, Те ~ ІО4, те~ 1с). Вместе с тем при п ~ 10 |
|
время передачи энергии от электронов к ионам невелико и отрыв
Те от Т і будет небольшим.
2)Потери на излучение. Потери на излучение QT склады ваются из тормозного излучения электронов на ионах Qbe, цик лотронного излучения Qce [21] и излучения, связанного с приме сями Qim:
Qt— Qbe + Qce+ Qimi
Qbe == 7,2• 10_4H ]/~Tg,
Qce = 0,265 -10-5Я 2Геф,
где |
« |
__ _ |
|
Ф = 2 . 1 0 - 8г : / 2 | / |
у т + Г ту т т г ^ |
есть коэффициент выхода излучения из плазмы, хт — llOal(RTl^), rw — коэффициент отражения от стенок,
Q m = 7,2*10-4Z2Sh. У~Т~е+ <?ЛИн,
где І — относительная концентрация примесей, Z — их эффек тивный заряд, <?лин — суммарная мощность линейчатого излу чения. Линейчатое излучение существенно при небольших темпе ратурах электронов Т е ~ 100 эВ и на начальной стадии разряда, пока ионизация примесей не слишком глубока. При Т е ~ 10 кэВ доля линейч’атого излучения для легких атомов невелика.
498 |
Д ополчение |
|
|
|
где |
|
|
|
|
ф — хп, п — п(х, |
t), |
/ = xn%i=f (х, t, |
и, |
п), |
ф = ~ жф = ф (х, t, |
п), |
F = F(x, t, и, |
w, |
п). |
Введем сеточные функции, полученные после т-й интерации на
слое t = th, |
|
а^т) = н(т) (хп, tk), |
(37) |
и решение разностной задачи на предыдущем слое t = tk_lt |
|
ип— и (хп, tji-i)- |
(38) |
Аналогичные обозначения будем использовать и для остальных функций, w, п и [1 . Для уравнения (36) используем следующую разностную аппроксимацию:
,,(т) _ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фп |
= Ш |
[( Ä 'l4)+ |
1}) |
- |
и Т ) - |
|
|
||
|
/Д«г-1) I Дт-1)\ /,,(т) „(т) |
|
|
.Лт ) __ (т) |
,оп\ |
||||
— |
^ |
|
“п+1 |
“п-і , |
|||||
1 / п |
+ / П - 1 |
) ( и п |
— И п - і ) ] + |
ф п ------------ 2Ä----------------Г ^ л . |
( ^ 9 ) |
||||
порядка точности (/г.2 + |
т). |
Здесь фп, ф„ |
и |
— |
функции, |
вычис |
|||
ленные на (к — 1)-м слое. Запишем (39) в виде, удобном для про
гонки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Апип(+ 1 + ВпиТ( - |
СпиТ21 = D n |
(п = |
1, |
2, |
. . . , |
N - 1 ) , |
(40) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"^71 |
|
|
|
б* п -- |
6&П-І |
|
^ ф л ? |
|
|
|
|
|||
■Sn = «n + a |
, |
2Ä2 |
- |
dr\ |
A m - 1) . |
A m - 1) |
|
|
||||||
71-1- |
|
‘фт. |
In- |
j-1 |
+ / n |
> |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z>„= |
2fea/^ |
+ |
^ - ф пмп. |
|
|
|
|
(41) |
||||||
Используя граничные |
условия для |
|
T t |
и |
условия |
в |
центре |
|||||||
шнура (дТі/дх = 0), будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и Т = Ті0, |
«<т >= и<т). |
|
|
|
|
(42) |
||||||||
Решение системы (40) ищем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Un ^= Enu\i^.\ -f- Gn |
(п = N — 1, |
|
N — 2, |
.. ., 0). |
|
(43) |
||||||||
Комбинируя (43) при п ^ - п |
— 1 |
с |
уравнением (40), |
получаем |
||||||||||
рекуррентные соотношения для Еп и Gn: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Еп = (В„ - С ^ д ) - 1 Ф„, |
Gn = (Л„ - |
СпЕп^ |
X |
|
|
|||||||||
х ф п + CnG^!) |
(Л = 1, |
2, |
|
|
|
N — 1) |
|
|
(44) |
|||||