книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

4.Smith C., Dawson / . , Princeton University Plasma Physics Laboratory, Report Matt-151, 1963.

9.Byers / . , Grewal M ., Proc. APS Topical Conf. Numerical Simulation of Plasma, Sept. Paper D3, University of California, Los Alamos, N.M., 1968.

10.Dawson J . M ., Phys. Fluids, 7, 419 (1963).

11.Feix M . B ., Symp. Comp., Simulation Plasma and Many-Body Problems,

16.Armstrong T. P ., Phys. Fluids, 10, 1269 (1967).

17.Feix M . R ., Grant F. C., [8], p. 151.

18.Berk H . L ., Roberts К . V., Phys. Fluids, 10, 1595 (1967).

19.Hockney R . W ., Phys. Fluids, 9, 1826 (1966).

20.Birdsall С. K ., Fuss D ., Bull. Am. Phys. Soc., 13, 283 (1968).

ГЛАВА 2

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА МЕТОДАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Т. Армстронг*, Р. Хардинг**, Г. Кнорр***, Д. Монтгомери***

§1. В в е д е н и е .

1. Постановка задачи

Вероятно, не существует раздела физики, в котором была бы более очевидна необходимость в численных методах, чем в фи­ зике плазмы. Это обусловлено тремя фактами, которые стали общейризнанными.

1)Уравнения динамики физики плазмы просто написать, так как по существу они представляют собой уравнения Максвелла для электромагнитных переменных и классические уравнения движения для механических переменных.

2)Решить же эти уравнения динамики аналитически, несмотря на их простую структуру, невозможно, поскольку они сильно нелинейны и описывают систему с бесконечным числом степеней свободы.

3)Для макроскопического поведения плазмы в целом свой­ ственно многообразие упорядоченных и коллективных движений, которые часто удается выявить из численных данных, в то время как это трудно или невозможно сделать сколько-нибудь удовлет­ ворительным образом аналитически.

В применении численного анализа к физике плазмы с самого начала совершенно естественно наметились два существенно раз­ личных подхода, их можно определить как прямое «моделирова­ ние» частиц и как метод «уравнений движения континуума».

Первый подход основывается на модели, в которой динамика дискретных заряженных масс (для одного, двух и трех измерений) изучается путем решения уравнений движения для отдельных частиц. Поля постоянно пересчитываются по координатам и ско­ ростям частиц, и система развивается самосогласованно. Боль­ шинство численных, расчетов для плазмы представляют собой разновидности этого моделирования. Они широко обсуждаются в данной книге.

Характерный пример метода «уравнений движения» будет рас­ смотрен в настоящей главе. В этом методе сразу же отвлекаются

*Thomas Р . Armstrong, University of Kansas, Lawrence, Kansas.

**Rollin C. Harding, Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, California.

***Georg Knorr, David Montgomery, The University of Iowa, Iowa City,

Iowa.

40 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

от точной микроскопической динамики частиц, решая взамен набор уравнений непрерывности. Эти уравнения были получены

врезультате некоторого процесса сглаживания, при котором рас­ пределение дискретных частиц, реально образующих плазму, аппроксимировалось некоторой гладкой, непрерывной переменной (гидродинамическая переменная или функция распределения). Таким образом, в то время как в методе уравнения движения проводят сначала усреднение, а затем вычисляют динамическую эволюцию, в методе моделирования эти две операции выполняют

вобратном порядке.

Трудно отдать предпочтение одному методу перед другим; каж­ дый дает информацию, которую трудно получить каким-либо другим путем. К достоинствам метода моделирования относится то, что соударения дискретных частиц, которые управляют всеми необратимыми физическими процессами, представлепы естествен­ ным образом; последнее очень трудно осуществить при непрерыв­ ном описании. (Всякий, кто разбирается в физике плазмы, дол­ жен только представить себе трудность слежения за развитием, например, парных корреляций по их уравнениям движения, чтобы понять сущность этого заявления.) Этому достоинству про­ тивостоит тот факт, что заряд в численной модели плазмы никогда не бывает так хорошо распределен, как в реальной плазме. Обыч­ но имеют дело с тысячами частиц, пытаясь моделировать систе­ му, содержащую, скажем, ІО17—ІО18 частиц. В результате «шум», или не систематические флуктуации величин полей (которые стре­ мятся к нулю с увеличением числа частиц), часто оказывается гораздо больше таковых в реальной плазме. Если не проявить осторожности, то шум может стать настолько большим, что пода­ вит ожидаемые макроскопические эффекты х).

Главное преимущество метода уравнений движения, по наше­ му мнению, заключается в том, что гораздо легче провести деталь­ ное сравнение с аналитической теорией и теми результатами,

которые можно извлечь из нее. По существу вся аналитическая теория плазмы состоит из приближенных решений уравнений континуума. Метод уравнений движения может быть наиболее

х) Можно было бы привести пример из теории одномерной плазмы, состоящей из плоских листов. Статистическая теория равновесной одномер­ ной плазмы показывает, что отношение среднеквадратичной флуктуации электростатического поля плазмы к плотности тепловой энергии порядка так называемого «плазменного параметра». Для лабораторной плазмы этот параметр обычно мал, 10-4 или ІО-5, в модели плоских листов он обычно порядка Vго-

плазмы при следующих предположениях и приближениях:

1) считается, что положительные ионы (они имеются в любой плазме) неподвижны и распределены однородно;

2) предполагается, что отрицательные заряды (электроны) бес­ конечно тонко раздроблены с постоянным отношением заряда

кмассе и с постоянным зарядом в единице объема;

3)все возмущения пространственно-однородного состояния плазмы одномерны;

4)учитываются только электростатические силы между заря­

дами.

Для удобства все величины в этих уравнениях даны в естест­ венных единицах х). Основные единицы времени t и скорости и обратно пропорциональны плазменной частоте электронов сор и тепловой скорости электронов соответственно. Длины х изме­ ряются в единицах отношения последних, т. е. в дебаевских длинах. Функция распределения электронов / = / {х, v, t) и элект­ рическое поле Е = Е (х, t) также безразмерны. Для дальнейшего ознакомления с физической природой упомянутых величин можно обратиться к любому вузовскому учебнику по физике плаз­ мы (например, Монтгомери и Тидман [1]).

Можно прямо сказать, что полное качественное понимание решений уравнений (1) и (2) при различных начальных и (или) граничных условиях является необходимым, хотя и недостаточ­ ным условием для понимания поведения плазмы.

Под задачей с начальными условиями, которой мы здесь в основ­ ном будем интересоваться, мы имеем в виду следующее: задается

где / — функция распределения электронов (вероятность на единицу ж-про- странства и на единицу ^-пространства), Е —электрическое поле, п0 — сред­ няя плотность электронов и ионов в единице ^-пространства, — е — заряд электрона, т — масса электрона. Переход к безразмерным величинам при­ водит к уравнениям (1) и (2).

42 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

/ (X, у, t) и Е (X, t ) для t > 0. Обычно предполагается, что заряды при X = ±оо отсутствуют, поэтому уравнение (2) однозначно определяет Е (ж, і) по функции / (х , у, г). Задача с начальными условиями по своему характеру проще, чем краевая задача (кото­ рую мы получаем в очень упрощенном представлении, поменяв ролями X и t в начальных условиях), поэтому в большинстве работ не интересовались краевой задачей. Однако в настоящее время она нуждается в изучении.

Существуют различные начальные состояния, при которых электрическое поле Е (х, і) проявляет тенденцию к осцилляциям с убывающей амплитудой (Ландау [27]). Говорят, что эти состоя­ ния затухают из-за эффекта Ландау (подробное математическое рассмотрение содержится в работе Сэнза [3]).

В других случаях интеграл \ E2dx проявляет тенденцию к осцилляциям и нарастанию. Говорят, что в этих случаях имеет

место неустойчивость. Нарастание \E 2dx в конце концов должно

является интегралом движения для уравнений (1) и (2), причем оба члена в выражении для % положительно определенные.

Вероятно, двумя наиболее важными эффектами физического характера, которые можно получить из уравнений (1) и (2), явля­ ются нелинейная эволюция затухания Ландау и неустойчивостей. Оба эффекта можно получить из линеаризованной системы Вла­ сова — Пуассона, но обоим присуща внутренняя нелинейность.

2. Вычислительные трудности

Одной из трудностей, которая больше чем любая другая пре­ пятствует применению численного анализа к уравнениям (1) и (2), является тенденция функции / (ж, у, t) создавать резкие градиенты в плоскости (х, у) при возрастании времени t . Это можно понять из следующего. Уравнение (1) выражает постоянство функции распределения электронов / (х, у, t) вдоль траектории частицы X (т), у (т), которая определяется уравнениями

говоря, при больших т расходятся достаточно далеко, даже если вначале х^ (0) и х г (0) находились рядом. Если мы допускаем, что начальное распределение / (х, у, 0) является гладким [в том смысле, что значения / (х, у, 0) в соседних точках плоскости (ж, у)

отличаются очень мало], то эти соседние точки будут расходиться с течением времени, унося с собой начальные значения /. Анало­ гично их новые ближайшие соседи будут в ряде случаев приходить из совершенно других мест и приносить с собой совершенно отлич­ ные значения /. А это значит, что появляются большие и возра­ стающие значения df/dv и, следовательно, требуется все большая и большая точность при вычислении /.

Этот эффект фактически содержится в уравнении для свободно движущихся частиц:

+ V ÉL = 0. dt дх

Видно, что его решение / (х , к, t) = / (х — vt, ѵ, 0) имеет нара­ стающие степенным образом производные по ѵ.

В принципе другие, более тонкие эффекты также могут раз­ водить частицы в пространстве скоростей. Чтобы рассмотреть

Не останавливаясь на тех условиях, при которых можно произ­ вести такое разложение для Е (х , t), заметим только, что из детального рассмотрения теории орбит, основанной на уравне­ ниях (4) и (5), следует, что на траектории частиц оказывают сильное влияние только те фурье-компоненты Е (к, <в), для кото­ рых скорость V лежит в интервале

д „ « ± 2 [ £ І £ ^ ] ‘л

вблизи фазовой скорости соІк. Этот интервал в пространстве ско­ ростей обычно называют шириной захвата волны Е (к, со). Орбиты частиц могут легко пересекать только ту область ^-пространства, которая охватывается перекрывающимися ширинами захвата волн. Если эта область велика, то соседние по скорости точки также

до настоящего момента, эффект больших dfldv оказывался более существенным, чем эффект больших dfldx. Вообще говоря, когда допускаются более сложные спектральные распределения Е (к, со), можно ожидать, что появятся проблемы, связанные с обеими производными. Однако имеются основания в пользу того, что при малых или средних отклонениях от пространственной одно­ родности ограничение из-за dfldv будет всегда более жестким. Мы убедимся в этом ниже.

44 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

3. Связь с другими моделями

Мы уже останавливались на связи с подходом дискретного моделирования. Что касается уравнений (1) и (2), то мы знаем три основных подхода к ним. Их можно определить как модель «водяного мешка», прямое решение и метод преобразований. Основ­ ной целью этой главы является обсуждение двух модификаций метода преобразований. Однако вначале немного поговорим о пер­ вых двух подходах.

В модели «водяного мешка» по существу следят за орбитами частиц, (4), используя постоянство функции /. Выбираются неко­ торые особенно удобные начальные условия: предполагается, что функция / в начальный момент постоянна внутри нескольких простых областей плоскости (х, ѵ) и равна нулю во всех других местах. Поскольку орбиты (4) никогда не могут пересекаться, то уравнение (1) полностью решается путем слежения за точками границ этих простых областей, так как / сохраняет свое начальное значение внутри этих областей и остается нулем вне их. (В одно­ мерном случае уравнение Пуассона достаточно простое, чтобы пересчитывать Е на каждом шаге.) Этот метод использовали Ниль­ сен и др. [4], Де-Пак [5], а также Бэрк и Робертс (работы [6, 7] и гл. 3 настоящей книги). Его преимуществами являются значи­ тельная информация, приходящаяся на каждый истраченный при вычислениях доллар, и простота понимания. Его недостаток свя­ зан с тем, что развиваются упомянутые выше слишком большие градиенты в фазовом пространстве и границы областей быстро становятся очень извилистыми. Вряд ли их можно систематиче­ ски сглаживать без нарушения точности вычислений. Эта модель в основном применяется к явлениям, в которых интересные физи­ ческие особенности проявляются в течение нескольких первых плазменных периодов.

Единственные прямые решения, которые мы знаем, были полу­ чены Кнорром [8] и Келлогом [9]. При вычислениях Келлог счи­ тает ионы подвижными и рассматривает два уравнения Власова (для ионов и для электронов) непосредственно на сетке х , ѵ. Трудно оценить практическую значимость этого метода, поскольку подоб­ ные проблемы не рассматривались с помощью других известных нам методов. Тенденция к слишком большим градиентам / приво­ дит к численным неустойчивостям, которые нелегко преодолеть. Необходима дальнейшая работа для обоснования этого метода.

Метод преобразований частично порожден стремлением заме­ нить в уравнениях (1) и (2) частное дифференцирование более удобными алгебраическими операциями. Обе производные дідх можно исключить с помощью преобразования Фурье по х. В про­ странстве скоростей V использовались два разных преобразования: преобразование Фурье и преобразование Эрмита (Грама — Чар­

46 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

—oo

Теперь можно сразу выписать формальное решение для функции

о

Ясно, что второй член определяется начальными условиями. Величина gk (ѵ) должна быть функцией, моменты которой сущест­ вуют. Когда мы берем какие-либо моменты от f k, чтобы получить макроскопические величины, например плотность, импульс и т. п.т то лемма Римана — Лебега гарантирует нам, что

lim +f00d w ngh(v)e-ihvt = 0.

ht-юо J

— oo

Если gk (у) — голоморфная функция, которая экспоненциально стремится к нулю при больших у, то интеграл стремится к нулю также экспоненциально (ср. Титчмарш [22]). Если выбрать gk (у) целой функцией, которая регулярна во всей комплексной плоско­ сти, то интеграл будет стремиться к нулю при больших Ы быстрее, чем экспонента (например, это осуществляется для максвеллов­ ского распределения).

Из-за такого поведения второй член в правой части форму­ лы (9) обычно опускается. Видно, однако, что он не мал по срав­ нению с первым членом. Это заведомо так для малых времен; для устойчивой плазмы, в которой электрическое поле не растет