книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

Теперь у нас два обыкновенных дифференциальных уравнения

(59)и (60), которые нужно решить относительно неизвестных пв

иѵ\. Эти уравнения интегрировались методом Рунге — Кутта второго порядка. Интегралы в выражениях (57) и (58) можно вычислить с помощью метода Уэддла. Для интеграла ошибок ис­ пользовалась аппроксимация Гастингса [21].

7.Уравнение Фоккера — Планка с учетом амбиполярного потенциала и второго типа частиц

а. Метод учета потенциала

Прежде чем обсуждать результаты решения уравнений для электронов и их точность, необходимо описать изменения метода решения уравнения Фоккера — Планка в случае учета влияния амбиполярного потенциала и второго типа частиц на искомое распределение.

Граница в пространстве скоростей, на которой функция рас­ пределения должна обращаться в нуль, определена равенством

(5) для любого типа частиц и электростатического потенциала. Это граничное условие аппроксимировалось следующим образом: для данного j (точка на сетке ѵ) находилась такая величина і (обозначалась через г0), что угол Ѳі0 оказывался ближайшим к углу Ѳп (vj), определяемому из (5). Полученные точки і0 (/), / на сетке V образуют дискретную систему точек, которая аппроксимирует границу области потерь. При решении разностных уравнений массивы E i j и F определяемые в приложении Г, формируются таким образом, чтобы /j0<J), 7- и все f t,j внутри области потерь рав­ нялись нулю.

В § 2, п. 2, мы заметили, что граничные условия при задан­ ном знаке потенциала значительно различаются для частиц с раз­ ным знаком заряда, или, что то же самое, для заданного типа

и асимптотически стремится к Ѳк.п с противоположной стороны. Граничные условия для электронов при ѵ<^ѵре изменяются и определяются уравнениями (45) — (47), как и требуется для задач

б. Учет второго типа частиц (с максвелловским распределением)

Как замечено в § 4, п. 6, при наличии второго типа частиц решение уравнения Фоккера — Планка в общем случае — труд­ ная проблема. Однако рассчитывать необходимые коэффициенты намного проще, если предположить, что распределение частиц второго типа изотропно. Если к тому же предположить, что рас­ пределение частиц второго типа максвелловское, то коэффициенты выразятся через экспоненциальные функции и интеграл ошибок.

Мы начнем с уравнения (50) — уравнения Фоккера — Планка для ионов при наличии электронов. Пусть

f (у ) = (Z2) ' 1 J dv'/e (v ')|v —ѵ'І, r(y)= j d v / i ( v ' ) [ v - v ' | ,

так что

£i(v) = ge (v) + / ( v ) .

(Заметим, что в написанных формулах верхние индексы различают полное g и вклады от каждого типа частиц.) Если принять

/е(у) = ^ е ^ х р (-г а д

+ ^ rf( y U +JM y k ) ] -

Так как fe, а следовательно, С и ge не зависят от Ѳ, то из уравне­ ния (50) следует, что, кроме /е, необходимы следующие три члена:

Необходимые добавления к коэффициентам разностного урав­ нения легко рассчитать из написанных выше формул на каждом шаге по времени для каждого j на сетке скоростей.

Интеграл ошибок вычислялся по аппроксимационной формуле Гастингса [21], кроме случаев, когда аргумент был мал. Заметим, что все эти три формулы содержат член типа

— \ 1/2 е~*2/2 — X

Когда X мало, оба члена в правой части приблизительно равны и формула Гастингса недостаточно точна, чтобы по ней можно было вычислить их разность. В этом случае можно использовать первые три члена разложения G (х) в ряд Тейлора:

8. Решение уравнения Фоккера — Планка для ионов с учетом максвелловских электронов и амбиполярного потенциала

а. Процедура. Трудности

Перечислим последовательность операций, которая соблю­ далась на каждом шаге по времени, при одновременном расчете функции распределения для ионов, плотности и температуры элек­ тронов и потенциала. Эта последовательность очень похожа на описанную в § 3.

1)Решалось уравнение Фоккера — Планка для ионов. Член, учитывающий столкновения между ионами и электронами, рас­ считывался с использованием плотности и температуры электро­ нов. При определении граничных условий для ионов использо­ вался амбиполярный потенциал. Рассчитывались плотность и энер­ гия ионов.

2)Решались уравнения для электронов. Потери электронов вычислялись исходя из плотности и энергии ионов, рассчитанных на предыдущем шаге по времени, и амбиполярного потенциала.

3)Полученная плотность электронов и ее изменение сравнива­ лись с таковыми для ионов. Необходимо было поддерживать заря­ довую нейтральность. Поэтому если плотность электронов ока­ зывалась меньше плотности ионов, а изменение плотности элек­ тронов — меньше изменения для ионов, то амбиполярный потен­ циал увеличивался на некоторую величину и этап 2 повторялся.

такой же, как там, но функция распределения частиц из источ­ ников теперь имеет вид

S (V, Ѳ) ~ ехр £ —100(к— I)2—10 (Ѳ— j J •

Пунктирные кривые на фиг. 12 представляют результаты, полу­ ченные с использованием уравнений для электронов из § 4, п. 6. После выполнения описанного выше расчета была подготовлена

------/£ -/*-/

-----------------f L -Ю , гг =0,5

Ф и г . 12. Расчеты накопления с учетом электронов и амбинолярного потен­ циала, иллюстрирующие подгонку множителей в уравнениях для электронов.

П р о б о ч н о е отн ош ен и е р а в н о 2 .

новая программа для решения полного уравнения Фоккера — Планка для электронов с учетом фона ионов, имеющих максвел­ ловское распределение. Входными данными для этой программы служили стационарные величины, полученные при решении задачи

онакоплении ионов:

—потенциал принимался равным 3,75 кВ и не изменялся;

—температура максвелловских ионов поддерживалась равной

15,8 кВ;

—вводимый ток частиц определялся той же самой функцией плотности;

—энергия электронов в источнике была 0,1 кВ.

Мы рассчитали стационарные величины плотности и темпера­ туры электронов. Сравнение полученных результатов с решением обычного дифференциального уравнения, которое использовалось в задаче накопления, проведено в табл. 1. Ошибка в плотности равна 35%, а в энергии — 62%. Ясно, что эти ошибки — резуль­ тат неточности формул (57) и (58) для (dnjdt)c и формулы (60)

для (dv%ldt)i. Особенно большим оказывается нагрев электронов из-за взаимодействий с ионами. Этот результат находится в соот­ ветствии с исследованиями данного эффекта Киллином и др. [18]. Положение можно исправить, если умножить эти члены на по­ стоянные, т. е. переопределить потери следующим образом:

где штрихованные величины — старые функции, определенные уравнениями (57), (58) и (60). Постоянные множители подбираются эмпирически из отдельного решения уравнения для электронов. В данном случае было найдено, что наилучшее согласие дости­ гается, когда

и = 10 и /д = 0,5.

Тот факт, что наибольшее отличие от единицы оказывается у ве­

как было показано, даже небольшое уменьшение величины / н при­ водит к значительным изменениям потерь. Уменьшение f R снижает потери, если Е %> Ее, так как, чем горячее электроны, тем бы­ стрее они теряются. Это вынуждает сильно увеличить величину / г, чтобы потери оставались нормальными.

Уравнение Фоккера — Планка для электронов решалось еще раз с новыми входными данными, полученными из стационарного решения для ионов в задаче о накоплении. Результаты приведены в табл. 2. Мы видим, что согласие стало много лучше. Таким обра­ зом, введение постоянных множителей в уравнения для электро­ нов приводит к тому, что они более адекватно представляют точное уравнение Фоккера — Планка. В частности, подобные задачи накопления, в которых ищутся стационарные решения, можно решать с любой желаемой степенью точности с помощью итера­ ционного процесса по fi и / н.

Сплошные линии на фиг. 12 — результаты расчета накопле­ ния с использованием эмпирических множителей. Стационарная энергия электронов, как и ожидалось, уменьшилась, и вследствие

этого понизился потенциал. Комбинация этих двух эффектов вы­ зывает уменьшение энергии ионов, и стационарная плотность оказывается меньше, чем была раньше, несмотря на то, что потен­ циал снизился.

Несколько профилей функции распределения для ионов, полу­ ченных в последнем расчете с помощью описанного выше метода, приведены на фиг. 13. Заметим, что стационарное распределение довольно сильно «сжато» по координате скорости. Это имеет боль­ шое значение для исследований эффектов неустойчивости конуса потерь [1, 2]. Профиль источника, который тоже сильно сжат, сказывается на приводимой кривой, однако было показано, что профиль источника сравнительно мало влияет на форму стацио­ нарного распределения. Действительная причина сильного ежа-