книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

3. Случай, когда распределение одного типа частиц предполагается максвелловским

Б только что описанной модели с двумя типами частиц мы мо­ жем иногда предполагать, что функция распределения для одного типа задана. В этом случае нужно решать только одно уравнение в частных производных, и проблема очень сильно различающихся временных масштабов для ионов и электронов снимается.

Пусть

g (X, т) = а (т) е~ь(т)х2;

тогда

X

iV te) = ~ і ь хе~Ъх*+ і J е_Ьг/2

о

В и С уравнения (16), легко вычислить, используя стандартные программы для экспоненциальной функции и интеграла ошибок. Функции а (т) и b (т) вычисляют исходя из плотности и средней энергии частиц второго типа.

Рассмотренный выше метод использовался для вычисления энергии, передаваемой горячими ионами холодным электронам в плазме [18]. Считалось, что ионы поддерживаются при постоян­

ной температуре, а уравнение для электронов решалось численно

іт.

В настоящем варианте программы для изотропной задачи [61 оба уравнения (16) и (17) решались одновременно. Поскольку разностная схема устойчива, то шаг по времени может быть уве­ личен на несколько порядков. Поэтому проблема различных мас­ штабов для времен релаксации электронов и ионов несущественна при решении изотропной задачи.

следуя Кауфману [11], мы определим критический угол в про­ странстве скоростей для потерь ионов и электронов. Обозначим величину магнитного поля в средней плоскости через В 0, а у про­ бок — через Вмакс. Пусть потенциал плазмы в средней плоскости равен ер и уменьшается до нуля у пробок. Пусть W — кинетиче­ ская энергия частицы; тогда полная энергия Н = W + е ф — постоянная величина в случае движения заряженной частицы. Мы предположим, что магнитный момент К = W±]В также является константой движения, где W ^ = Ѵ2 тѵ\ и гр — компонента ско­ рости, перпендикулярная магнитному полю. Критический угол а в средней плоскости определяется из соотношения

О,

Это выражение использовалось также в работе [7] при исследова­ нии стационарных состояний.

Использовалась следующая процедура определения vk. На каж­ дом шаге по времени из уравнений (20) и (24) рассчитывались величины пе (т) и тіі (т) и их разность пі (т) — пе (т). В про­ цессе образования плазмы электроны теряются из установки быстрее, чем ионы. Поскольку мы требуем выполнения равенства пе (т) = nt (т), то разность щ (т) — пе (т) сравнивалась с задан­ ным малым числом. Если она превышала это число, то vk увели­ чивалась на величину Avk, чтобы уменьшить интенсивность потерь электронов, и все вычисления для данного шага по времени повто­ рялись. Этот процесс повторялся до тех пор, пока разность

434 Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка

Заменим уравнения (16) и (17) следующими неявными разност­

где V 2 ^ P ^ 1. Нужно решить эти уравнения относительно не­ известных f f +1 и gl+1, j = 0 , 1 , 2 ,

Перепишем эти разностные уравнения как систему алгебраи­ ческих уравнений

для у = 1, 2, . . J — 1. Коэффициенты определяются форму­ лами

— рДт£»"+ 1 - (1 - р) Дт£>”,

- рДтВ"+1 - (1 - р) ДтL".

В уравнениях (39) и (40) неизвестные /"+1, g"+1, / = 1, . . J — 1

стоят в левой части уравнений, а известные величины — в пра­ вой части. Нам нужно решить эти уравнения для внутренних точек / = 1, - - -, J — 1, так как граничные условия при х = 0 и X = X] определяют решения для / = 0 и j = J. Следовательно, нас не должны беспокоить сингулярности в коэффициентах при

436Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка

(24)и (25). Если уравнения (16) и (17) решаются для произволь­ ного начального распределения без членов, соответствующих ис­ точникам и потерям, то все упомянутые выше интегралы должны быть константами, что обеспечивает удобный способ проверки программы. Мы нашли, что наилучшие результаты получаются, когда параметр р, входящий в разностные уравнения, полагается равным 1 .

§ 4. Д в у м е р н ы е ( н е гізо т р о п н ы е ) з а д а ч и

1.Граничные условия и независимые переменные

впространстве скоростей

Рассмотрим теперь задачи, в которых не используется предпо­ ложение об изотропности или квазиизотропности распределения ионов. Мы наложим только два упоминавшихся в § 2 ограниче­ ния на это распределение: распределение должно обладать ази­ мутальной симметрией и зеркальной симметрией относительно средней плоскости. В этом случае наиболее подходящи две пары независимых переменных: и и Ѳ или ѵ и ц, где и = cos Ѳ. В обла­ стях пространства скоростей, для которых предполагается суще­ ствование угла потерь, различие между этими парами незначи­ тельно. В этом случае можно потребовать, чтобы функция распре­ деления обращалась в нуль при Ѳ= Ѳп или р. = cos Ѳп [5]. В са­ мом деле, если пробочное отношение мало, то наиболее существен­ ны значения Ѳ около я/2 и cos Ѳ да я/2 — Ѳ. Тогда одну систему координат от другой отличает почти линейное преобразо­ вание.

Однако задачи, цель которых проследить за релаксацией рас­ пределения в отсутствие конуса потерь или других ограничений, должны решаться во всем пространстве скоростей. Более того, при наличии амбиполяриого потенциала распределение электро­ нов простирается до углов Ѳ = 0 и Ѳ = я при низких скоростях. В этих случаях нет четкого граничного условия для функции

Первое условие очевидно, поскольку случаю ѵ = 0 соответ­ ствует одна и та же точка (начало координат) для всех Ѳ. Послед­ ние два условия — результат требования азимутальной симме­ трии распределения. Используя преобразование от декартовой

к сферической системе координат, можно показать, что

На оси vz, являющейся осью симметрии, должны выполняться равенства df!dvx = df!dvy = 0 , так как иначе либо будут нару­ шаться условия симметрии, либо dfldvx или dfldvy станут разрыв­ ными, что нефизично. При этих ограничениях условия (46) и (47) непосредственно следуют из выражений (48) и (49).

Условия (45) и (46) верны и в пространстве (ѵ, р), а условие (4 7 ) — нет, так как

что приводит к неопределенности в dfld\i. Чтобы избежать труд­ ностей с граничными условиями на угле потерь, мы будем решать задачу в пространстве (ѵ, Ѳ).

2. Оператор Фоккера — Планка для ионов

Преобразование уравнения (3) к сферической системе коорди­ нат и его дальнейшая детализация для двухкомпонентной системы даны в приложении А. Приведем окончательный вид этого урав­ нения Фоккера — Планка:

+ fi (v',Q')]Q(v',W;v, Ѳ),

438 Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка

А и Q определяются через полные эллиптические интегралы

К и Е

А = і к ( т ) ’ a - w ( i r ) '

где

р = (4ѵу' sin Ѳsin Ѳ')Ѵа

9 = [у2 + п' 2 — 2ѵѵ' (cos Ѳcos Ѳ' — sin Ѳsin Ѳ')]^2.

3. Источники

Поскольку в некоторых задачах, в которых учитывались источ­ ники, моделировались эксперименты по инжекции частиц на уста­ новках типа «Алиса» [15], то в последующем мы будем предпола­ гать, что вводимый ток соответствует таким экспериментам. Мы не накладываем никаких ограничений на функцию, характеризую­ щую источники в пространстве скоростей, т. е. на функциональ­ ную зависимость S от ѵ и Ѳ, но предполагаем, что полный вводи­ мый ток

задается в виде

І = І 0+ Гп.

Второй член позволяет учесть увеличение ионизации из-за столк­ новений с увеличением плотности. Когда мы учтем в задаче про­ странственную зависимость, тогда определится и функциональная зависимость / 0 и Г от пространственных координат.

4.Разностные методы

Вэтом пункте, чтобы избежать недоразумений, индексъ^ обо­ значающие тип частицы, не будут употребляться.

а. Разностная сетка

На фиг. 3 схематически показана сетка, используемая для представления неизотропного оператора Фоккера — Планка в виде разностей. Индексы і и / используются для обозначения различных величин Ѳ и ѵ соответственно. Для обозначения раз­ личных дискретных моментов времени используется индекс п.