книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

2. Плазма в ловушке с магнитными пробками

Так как большинство обсуждаемых в настоящей главе приме­ ров относится к проблеме удержания плазмы внутри систем с маг­ нитными пробками, или зеркалами, то сейчас мы рассмотрим мате­ матическое описание таких систем. Мы будем пользоваться обыч­ ной сферической системой координат в пространстве скоростей с полюсом, направление на которой задается компонентой скоро­ сти, параллельной магнитному полю, и совпадает с направлением оси z декартовой системы. Сделаем два допущения о распределе­ нии частиц:

1 ) распределение азимутально симметрично в пространстве скоростей;

2 ) распределение обладает зеркальной симметрией относитель­ но средней плоскости в обычном пространстве и пространстве скоростей.

Эти допущения удобны для численного расчета, но с физической точки зрения они не абсолютно строгие. Первое хорошо известно и делается фактически во всех работах. Второе также можно пола­ гать верным, если считать, что во всех случаях, представляющих интерес, время движения частицы много меньше характерного времени между столкновениями. Таким образом, частица, кото­ рая появилась в некоторой точке пространства скоростей, появится очень близко от зеркального отображения этой точки после отра­ жения и движения в обратном направлении (если пренебречь раз­ ницей в азимутальном угле или фазе вращающегося вектора ско­ рости).

Предположим, что магнитный момент вращающейся частицы адиабатически сохраняется. По этой причине мы впредь будем рассматривать только движение ведущих центров частиц, когда придется иметь дело с движением отдельной частицы или с орби­ тами в фазовом пространстве. Буквой z мы будем обозначать рас­ стояние вдоль магнитных силовых линий. Ограничиваясь обсуж­ дением симметричных установок, мы выберем z = 0 в центре установки, а г = + і на концах, у магнитных зеркал. В случае надобности величины при z = 0 и z = L будем снабжать индек­ сами 0 и т соответственно.

Угол при вершине конуса потерь определяется формулой [101

поле в рассматриваемой внутренней точке z. Положение конуса потерь в пространстве скоростей показано на фиг. 1. Если у ча­ стицы угол в пространстве скоростей меньше Ѳкп, то она будет немедленно потеряна из магнитной ловушки; Ѳк.п не зависит от

422 Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка

скорости, массы и заряда частицы. Выражение (4) получено в от­ сутствие электростатического потенциала, и только при этом усло­

Если Zae — заряд и Ф — электростатический потенциал, то угол

внутренней точкой и пробками. Выражение (5) асимптотически переходит в (4) при ѵ-+ оо. Для ионов правая часть (5) может превысить 1; ионы с такими скоростями не удерживаются. В про­ тивоположность этому для электронов она может быть меньше

область потерь трансформируется в однополосный гиперболоид. Его минимальный радиус находится при Ѳ = я/2 и равен мини­ мальной скорости ионов, при которой еще возможно удержание:

Ѵг

Ят - 1

•(Может оказаться, что любой ион с равной нулю параллельной компонентой скорости будет удерживаться в точке z = 0 , где электрическое поле равно нулю. Но это будет точка неустойчивого равновесия для частиц с р < ѵті, кроме случаев удержания из-за особой конфигурации поля, как будет показано в следующем параграфе. Если потенциал и магнитное поле — «прямоугольные

Энергия

Ф и г. 2. Конфигурация, приводящая к захвату из-за эффекта Юшманова.

ямы», то равновесие метастабильно.) Область потерь для электро­ нов трансформируется в двухполостный гиперболоид. Минималь­ ная скорость электрона, при которой он может быть потерян (если его угол Ѳ = 0), определяется соотношением

І ' л і е = Кре.

Рассмотрим теперь, как изменяются области потерь вдоль магнитных силовых линий. Ограничимся областью 0 ^ z ^ L, помня, что конфигурация симметрична относительно z = 0 . При отсутствии амбиполярного потенциала изменение области потерь с z очень простое. Угол при вершине конуса потерь увели­

потерь для электронов описать тоже просто. Пусть Ф (г) моно­ тонно убывает. Тогда Ѵте монотонно уменьшается до нуля и чаше­ подобная область потерь расширяется и удлиняется с увеличением Z. Однако для ионов при наличии потенциала картина усложняется. Пусть индекс 0 относится к величинам при z = 0, а индексы J_ и ]| — соответственно к направлениям, перпендикулярным и па­ раллельным по отношению к магнитному полю. Юшманов [14] предложил потенциальную функцию для параллельной компо­

Юшманов показал, что в этом случае удерживаются медленные ионы. Этот факт нельзя было предсказать из анализа одной раз­ ности потенциалов между точками z = 0 и z == L. Ситуацию иллю­ стрирует возможный вид потенциала V (з) на фиг. 2. Мы учли удер­ жание из-за эффекта Юшманова в некоторых наших расчетах. Возможны, конечно, и другие эффекты из-за вида Ф (з), но они не представляют большого значения и потому мы их не учитывали.

§ 3. О дн ом ерн ы е (и зо т р о п н ы е и к в а з и и з о т р о п н ы е ) за д а ч и

1. Введение

Расчеты функции распределения ионов, зависящей от двух переменных в пространстве скоростей, показали, что приближен­ ные результаты могут быть получены, если функцию распределения представить как произведение двух членов [4, 5]. Первый член является функцией у и £, а второй — функцией только Ѳ. Урав­ нение для функции Ѳ — дифференциальное уравнение Лежандра в области — Ѳп ^ Ѳ ^Ѳ П, где Ѳп определяет конус потерь магнит­ ной ловушки. Уравнение для / (ѵ, t), которое нужно решать чис­ ленно, задается в настоящей главе соотношением (1 2 ) для каж­ дого типа частиц. Граничное условие для функции распределения при решении задачи с учетом конуса потерь имеет вид / (ѵ, Ѳп, t) = = 0 для всех и я t для каждого типа частиц, откуда следует усло­ вие / = 0 при V = 0 в случае решения с разделенными перемен­ ными. Если при решении задач предполагалось, что функции рас­ пределения изотропны, то использовалось условие симметрии при V — 0 , т. е. dfldv = 0 для всех t.

В уравнения для ионов и электронов мы включили источники частиц, которые соответствуют экспериментам по инжекции ней­ тральных частиц на установках «Алиса» [15] и «Феникс» [16]. Мы также учитывали потери обоих типов частиц из-за рассеяния в конус потерь магнитной ловушки и потери горячих ионов из-за перезарядки с остаточным газом.

Потенциал плазмы рассчитывался на каждом шаге по времени

В уравнении (7) не учитываются потери и источник частиц, т. е. d njdt = 0. Можно учесть потери частиц из-за кулоновского рас­ сеяния. В этом случае интенсивность потерь определяется выра­ жением, предложенным Чандрасекаром [17]:

обсудим позже. В уравнение (7) можно также включить источник частиц sa (V, t). Подробно этот член обсуждается в § 3, и. 4.

Если использовать формулы (8) и (9) для вычисления коэффи­ циентов в уравнении (7) и включить в это уравнение источники и потери, как сказано выше, то уравнение для f a (v, t) примет вид

{2 [зИ Л V- О^ +

ъо

+{I w */]}+%■{(-2 Й 4 J м*'. О"'2*'—

Для ионов в правую часть уравнения (12) нужно добавить член, учитывающий потери из-за перезарядки. Член sa (ѵ, t) опи­ сывает источники инжектированных частиц.

Рассмотрим электроны и ионы с Z = 1. Введем безразмерную переменную х = ѵ/ѵп, где ѵ0 — характерная скорость. Пусть

/ = (4яі;®/ІІГе) /е, где К е определяется из уравнения

оо

пе(0) — K e ^ f (X, 0) X2 dx,

о

т. е. К е определяется из начальных условий через начальную плотность электронов пе (0). Аналогично положим g = {^пѵ\ІКі) / г, где

ОО

Член D {х, т) описывает зависящие от времени источники элек­ тронов.