книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

ду, что распределение нейтронов по энергиям сильно анизотропно, а скорость центра масс составляет 100 см/мкс. Таким образом, заслуживает внимания вопрос о применимости как МГД-модели, так и разностной схемы.

Для ионной компоненты параметры плазменного фокуса соот­ ветствуют режиму, промежуточному между бесстолкновительным и режимом с определяющей ролью столкновений, при этом ®ciTa ~ 10. (Электронная компонента является заведомо бесстолкновительной.) Так как характерное время ион-ионных столк­ новений, %ц 30 нс, имеет тот же порядок, что и макроскопиче­ ское время развития плазменного фокуса, условия гидродинамиче­ ского приближения выполнены лишь частично. Кроме того, ион­ ный ларморовский радиус at имеет тот же порядок, что и масштаб длины (радиус ~ 0,06 см), и, следовательно, условие Чу — Голдбергера — Лоу, е = aJL <К 1, строго говоря, не выполнено. Од­ нако, пока эти условия не нарушены на порядок или больше, мы можем рассчитывать на то, что гидродинамическая модель будет качественно справедлива.

Более грубым допущением оказывается конечность шага основ­ ной сетки в разностной модели. Ценную информацию дает нало­ жение мелкомасштабной сетки, однако такой подход не вполне удовлетворителен, так как граничные условия на ней опреде­ ляются исходя из основной сетки, которая по своему существу не допускает коротковолновых мод. Тем не менее для мелкомас­ штабной шкалы времени в стадии первоначального образования пинча мелкая сетка оказывается адекватной, пока на центральной области пинча не скажется осевая граница. Детальный анализ нейтронного импульса, проведенный с помощью численных мето­ дов, дает лучшее согласие с экспериментом.

§ 7. Т р е х м е р н ы й код

Существует много физических явлений, для моделирования которых интересны трехмерные МГД-расчеты. В исследованиях по термоядерному синтезу хотелось бы иметь возможность рас­ считать максимальное давление плазмы в таких трехмерных уста­ новках, как стеллараторы или ловушки с магнитной ямой, и про­ следить появление трехмерных неустойчивостей в таких двумер­ ных установках, как токамак или пинчи. Согласно теореме Каулинга [91, 92] в геофизике, только трехмерные движения в ядре могут генерировать магнитное поле Земли. Другие трехмерные задачи возникают в космофизике, физике Солнца и астрофизике.

На сетке 64 X 64 можно выполнять полезные двумерные расче­ ты, пользуясь такими машинами среднего быстродействия, как IBM 7090 или установленная в Калэме ICL KDF 9. При этом один шаг по времени занимает 10—15 с, и потому можно ожидать, что-

410 Гл. 9. МГД-методы

с помощью какой-либо из новых больших машин типа CDC 7600 или IBM 360/91, имеющих примерно в 64 раза большее быстро­ действие [80], удастся провести трехмерные расчеты на сетке 64 X 64 X 64. Однако гораздо более жесткие требования предъ­ являются к объему оперативной памяти, поскольку нужно пом­ нить восемь функций в 256 тысячах узловых точек.

В настоящем параграфе рассмотрен простой трехмерный яв­ ный код, разработанный Борисом и Робертсом, и изложены мотивы некоторых из принятых решений.

1. Выбор языка и машины

На KDF 9 стоимость составления одной команды на автокоде примерно равна стоимости выполнения ІО7 машинных команд. Написать программу на Фортране или Алголе значительно де­ шевле, чем на автокоде, но последний работает в 2—4 раза быстрее, поэтому естественно программировать на автокоде лишь те команды, которые выполняются более чем ІО7 раз, а осталь­ ные программировать на языке более высокого уровня. Возможно, что для какой-либо из новых быстродействующих машин лучшим критерием будет ІО8. В случае трехмерных вычислений на сетке 64 X 64 X 64 ІО8 операций соответствуют всего 400 шагам по вре­ мени, так что внутренний цикл программы, почти наверное, сле­ дует писать на автокоде, но двумерные расчеты и тем более одно­ мерные, по-видимому, следует программировать на более слож­ ных языках.

Интересно, что уменьшение количества узлов сетки в а раз в каждом измерении позволяет использовать гораздо менее быстро­ действующие ЭВМ и программирующую технику, так как при этом расчет ускоряется в а 4 раз. Например, расчет на KDF 9 с ис­ пользованием Фортрана и сетки 16 X 16 X 16 отнимет столько же времени, сколько расчет на IBM 360/91 с применением авто­ кода и сетки 64 X 64 X 64, причем для первого из них достаточно 32 тысячи ячеек, если в каждую кодовую группу объемом 48 бит записывать два числа. Это дает возможность отлаживать про­ грамму на машинах среднего быстродействия и проводить на боль­

из уравнений (1), (14), (19) и (20) с тензором потока импульса, определяемым (5) и (6). Если коэффициенты переноса постоянны, то время работы программы можно значительно уменьшить, а про­ цесс программирования на автокоде значительно упростить, так как в этом случае диффузионный член принимает вид Д/, что

позволяет применить непосредственно схему Дюфора — Франкела. По аналогичным причинам расчет следует проводить на равномерной прямоугольной сетке по явной схеме.

3. Граничные условия

Граница может быть либо периодической, либо жесткой прово­ дящей стенкой (vj_ = Е II = 0). В последнем случае используется граничное условие свободного проскальзывания (отсутствие натя­ жения) или нулевого проскальзывания (ум = 0). Стенки могут быть либо термоизолирующими (нулевой поток тепла), либо иметь постоянную температуру. Все эти условия легко запрограм­ мировать. Интересно закрепить поток у одной из границ и при­ вести ее в движение по заданному закону, моделируя тем самым закручивание протуберанцев в солнечной хромосфере, связанное с движениями в фотосфере. В уравнение (19) легко добавить гра­ витационный член.

4. Разностная схема «с перешагиванием»

и Т определены в одних и тех же узлах трехмерной кубической решетки типа решетки NaCl (фиг. 4), причем атомам Na соответ­ ствуют четные слои по времени, 2nAt, а атомам С1 — нечетные

фициента avd (р), точно центрированы. Фигурирующие справа первые производные divd, deld и rotd содержат только функции, определенные в наружных узлах FC на промежуточных слоях, а оператор Лапласа можно аппроксимировать по методу Дюфо­ ра — Франкела, связывая тем самым вместе все восемь простран­ ственных ячеек. Коэффициент avd (р) можно вычислять либо как

по времени.

Трудность в вычислении члена Г; заключается в том, что выра­ жение div V не центрировано должны образом в узлах FC. Можно было бы использовать формулу, построенную на 1 2 ближайших

к FC узлах того же слоя (т. е. на серединах ребер куба с центром

вFC), но это заняло бы много машинного времени. Борис пред­ ложил разбить Гг на члены двух сортов, например d^vjdx2, и д2ѵ!дх ду. Первый член можно вычислить по схеме Дюфора — Франкела, а второй — с использованием в качестве узлов четырех угловых точек центрального сечения основного куба (х , г/)-плос- костью, причем два узла следует взять на старом временном слое, а два других — на новом. Такая процедура вносит небольшие ошибки, которые можно устранить, изменяя направление пере­ счета.

Разностная схема «с перешагиванием» описана здесь потому,

что она, видимо, является простейшей из всего, что можно при­ думать. С другой стороны, лучше использовать в (19) дивергенцию тензора, чем члены вида (ѵ-Ѵ) ѵ или j X В; есть также некоторые преимущества в употреблении поля В вместо векторного потен­ циала А. Описанная схема была запрограммирована на Фортране и в настоящее время находится в стадии отладки, но некоторые вопросы остаются нерешенными, например введение искусствен­ ной вязкости для рассмотрения ударных волн и подавление числен­ ных колебаний плотности, которые могут возникнуть из-за отсут­ ствия в (1 ) диффузионного члена.

§ 8. З а к л ю ч и т ел ьн ы е за м е ч а н и я

Мы обсудили численные МГД-расчеты в случаях одного, двух и трех измерений. В случае одномерных цилиндрических задач построены реалистические коды для полностью ионизованной плазмы и достигнуто хорошее согласие с экспериментом — сначала для основной динамики разряда, а затем и для диффузии плазмы поперек магнитного поля. Для того чтобы объяснить ранние ста­ дии разряда Ѳ-пинча, пришлось ввести в код повышенное удель­ ное сопротивление, однако тщательное сопоставление расчета с экспериментом показало, что на более поздней стадии диффузия становится классической [1 0 ].

Двумерные расчеты проводятся уже в течение нескольких лет, но только недавно получены результаты, сопоставимые коли­ чественно с экспериментом. Наиболее продвинуты расчеты пн плазменному фокусу, поскольку в них магнитное поле описывается скаляром B q и имеет простой закон изменения в вакууме, B q ~ 1 /г, и уже первое сопоставление с экспериментом было обнадеживаю­ щим. Главная трудность обобщения на случай произвольной

анизотропии теплопроводности.

Лишь недавно были сделаны первые попытки трехмерных ра­ счетов. Существующие и проектируемые ЭВМ обладают доста­ точным быстродействием для того, чтобы выполнять необходимые расчеты в центральном процессоре, и основная трудность состоит в обеспечении достаточно быстрой передачи информации (не­ сколько миллионов слов за один шаг) между внешней памятью и очень большой оперативной памятью. Частично это вопрос струк­ туры машины, так как даже наибольшие из них все еще не имеют необходимого накопительного устройства, а частично вопрос эффективности математического обеспечения. Если использовать меньшее количество узлов сетки, то программы можно разраба­ тывать и отлаживать на гораздо менее быстродействующих маши­

9.Bodin H. A . B., McCartan J ., Newton A . A . , Wolf G. ff., «Diffusion and stability of high-ß plasma in an 8-metre theta pinch». Third IAEA Conf. Plasma Phys. and Controlled Nucl. Fusion Res. (Новосибирск, август

1968), Paper, CN-24/K-1.

10.Beach A . D ., Bodin H. A . B., Bunting C. A ., Dancy D . J ., Hey wood G. С . I I ., Kenward M . R ., McCartan J., Newton A . A . , Pasco I . K., Peacock R.,

12.Paul J . W. M ., Parkinson M . J ., Sheffield J., Holmer L. S., Nature, 208, 133 (1965).

13.Paul J . W . M ., Goldenbaum G. C ., Iiyoshi A ., Holmes L. S ., Hardcastle R. A .,

Nature, 216, 363 (1967).

14.Roberts К. V., Journ. Nucl. Energy, Pt. C., 5, 365 (1963).

15.Duchs D., «Three-fluid model for a partially ionized plasma in 0-pinch discharges». Sixth Intern. Conf. Ionization Phenomena in Gases (Paris,

23.Killeen / . , «Computational problems in plasma physics and controlled thermonuclear research». Rept. VCRL-71205, Lawrence Rad. Lab., Liver­ more, Cal., 1968.

24.Roberts К. V., Weiss N . O., Math. Comput., 20, 272 (1966).

25.Рихтмайер P. Д ., Мортон К. В., Разностные методы решения краевых задач, изд-во «Мир», 1972.

26.Hain К., «Numerical calculations in magnetohydrodynamics», APS Topical Conf. Pusled High-Density Plasmas (Los Alamos, Sept. 1967) LA-3770, Paper FI, 1967.

27.Rosenbluth M . N ., «Stability and heating in the pinch effect», Second Intern. Conf. Atomic Energy (Geneva, 1958), Vol. 31, 1958, p. 85.

28.Ohkawa T., Forsen II. K., Schupp A . A . , Kerst D . W., Phys. Fluids, 6, 846' (1963).

29.Robinson D. C., King R . E., Factors in influencing the period of impower stability in zeta». Third IAEA Conf. Plasma Phys. and Controlled Nucl. Fusion Res. (Новосибирск, август 1968), Paper CN-24/B-8.

30.Сагдеев P. 3 ., Proc. Symp. Appl. Math., 18, 281 (1965).

34.Harlow F.H., Nakayama P . / . , «Transport of turbulence energy decay rate»^ Los Alamos Sei. Lab. Rept. LA-3854, 1968.

35.Amsden A . A . , Harlow F. H., «Transport of turbulence in numerical fluid dynamics». Los. Alamos Sei. Lab. Preprint LA-DC-9497, 1968.

36.Harlow F. H., «Transport of anisotropic or low-intensity turbulence». Los Alamos Sei. Lab. Rept. LA-3947 (1968).

37. von Neumann / . , Richtmyer R . D., Journ. Appl. Phys., 21, 232 (1949).

38.Roberts К. V., Hertweck F., Roberts S. J ., «Thetatron: A two-dimensional magnetohydrodynamic computer program». Culham Lab. Rept. CLM-R-29, 1963.

39.Weiss N . O., Proc. Roy. Soc., A293, 310 (1966).

40.Duchs D., «Zweidimensionale theta-pinch-Dynamik bei transversalen Mag­

netfeldern». Inst. Plasmaphysik, Garching Rept., IPP 1/81, 1968.

41.Duchs D., Phys. Fluids, 11, 2010 (1968).

42.Hain K., «Numerical calculations in magnetohydrodynamics». APS Topical Conf. Pulsed High-Density Plasmas (Los Alamos, Sept. 1967), Los Alamos Sei. Lab. Rept. LA-3770, Paper Fl.

43.Hertweck F., Schneider W., Second European Conf. Nucl. Fusion and Plasma Phys., Stockholm, 1967.

44.Филиппов H. В., Филиппова T. И., Виноградов В. П., Ядерный синтез,.

Приложение, ч. 2, 577 (1962).

45.Филиппов II. В., Филиппова Т. И., «Явления, связанные с созданием нецилиндрического сфокусированного Z-пинча». Second IAEA Conf. on

Plasma Phys. and Controlled Nucl. Fusion Res. (Culham. Sept. 1965), Vol. 2, Vienna, 1966, p. 405.

46. Mather J . W., Phys. Fluids, 8, 366 (1965).

47.Mather J. W., Bottoms P. J ., Williams A . H ., «Some characteristics of the dense plasma focus». APS Topical Conf. Pulsed High-Density Plasma (Los

Alamos, Sept. 1967), Los Alamos Sei. Lab. Rept. LA-3770, Paper CL, 1967.

48.Coudeville A . , Jolas A . , Watteau J. P., «Production of neutrons by a noncylindrical Z-pinch», там же Paper C3.

53.Peacock N . J ., Wilcock P . D . , Speer R . J . , Morgan P . D . , Properties of the dense plasma produced in plasma focus. Third IAEA Conf. Plasma Phys. and Controlled Nuclear Fusion Res. (Новосибирск, август 1968), Paper

54.Butler T. D . , Ilenins / . , Jahoda F . C ., Marshall J ., Morse R . L . , «Coaxial snowplow discharge». Los Alamos Sei. Lab. Preprint LA-DC-9003, 1968.

55.Roberts К . V ., «Magnetohydrodynamic plasma calculations». Symp. on Computer Simulation of Plasma and Many-Rody Problems (W illiamsburg, April 1967), NASA SP-153, p. 163, 1967.

56.Morgan P . D . , Peacock N . J . , Potter D . E . , «Comparison of a two-dimensio­ nal magnetohydrodynamic numerical model with the dense plasma focus experiment», Third European Conf. Plasma Phys. and Controlled Fusion (Utrecht, June 1969).

57.Hockney R . W ., Journ. Assoc. Comput. Mach., 12, 95 (1965).

58.Hockney R . W ., «The potential calculation». APS Topical Conf. Numerical Simulation of Plasma (Los Alamos, Sept. 1968), Los Alamos Sei. Lab. Rept. LA-3990, Paper D6 , 1968.

59.Barnes G.H., Brown R. M ., Kato M ., KuckD . J ., Slotnick D.L., Stokes R. A .,

62.Спитцер J I ., Физика полностью ионизованного газа, изд-во «Мир». 1965.

63.Chew G. F., Goldberger M . L . , Low F. E., Proc. Roy. Soc., A236, 12 (1956). (См. перевод в сб. «Проблемы современной физики», вып. 7, 1957.)

72.Hobbs G. D . , McWhirter R . W. P . , Griffin W. G ., Jones T. J . L . , «The temporal variation of line radiation from impurities in zeta». Fifth Intern. Conf. Ionization Phenomena in Gases (Munich, Aug. 1961), Vol. 2, Amster­

dam, 1961, p. 1965.

73. Roberts К . V ., Taylor J . B . , Phys. Fluids, 8 , 315, (1965).

74.Lax P . D . , Comm. Pure Appl. Math., 7, 159 (1954).

75.Lax P. D . , Wendroff B . , Comm. Pure Appl. Math., 13, 217 (1960).

76.Richtmyer R . D . , «A survey of difference methods for non-steady fluid dynamics». NCAR Tech. Note 63-2, Natl. Center for Atmos. Res., Roulder,

Col., 1962.

77. Rosenbluth M . N . , Kaufmann A . N ., Phys. Rev., 109, 1 (1958).

78.Young D . M . , «The numerical solution of elliptic and parabolic differen­ tial equations». В книге A Survey of Numerical Analysis, ed. J. Todd, New York, 1962, Ch. 11.

79.Garabedian P . R . , Math. Tables and Other Aids to Comput, 10, 183 (1956).

■80. Boris J . Р . , Roberts К . V ., «The optimization of particle calculations in 2 and 3 dimensions». Journ. Comput. Phys., 4, 552 (1969).

•81. Багриновский К . А . , Годунов С . К . , ДАН СССР, 115, 431 (1957). 82. Яненпо Н . И . , Сибирск. матем. жури., 5, 1430 (1964).

83.Colgate S . A . , Ferguson J . Р . , Furth II . Р . , «External conductivity theory of stabilized pinch formation». Lawrence Rad. Lab. Rept. UCRL-5086, 1958.

84.Арцимович Л . А . , Бобровский Г . А . , Горбунов E . П . , Иванов Д . П . , Кириллов В . Д . , Кузнецов 3 . И . , Мирное С . В . , Разумова К . А . , Стрел­ ков В . Д . , Щеглов Д . А . , «Экспериментальные исследования на Токома­ ках ТМ-3 и Т-3». Доклад на III Международной конференции по физике плазмы и термоядерному синтезу (Новосибирск, август 1968), статья

CN-24/B-1.

85.Велихов Е . Л . , Дых не А . М . , «Plasma turbulence due to the ionization instability in a strong magnetic field». Sixth Intern. Conf. Ionization

90.Дьяченко В . К . , Имшенник В . С ., ЖЭТФ, 56 (5), 1766 (1969).

91.Cowling Т. G., Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 94, 39 (1934).

92.Hide R . , Roberts P . H . , «The origin of the main geomagnetic field». В книге Physics and Chemistry of the Earth, eds. L. H. Ahrens et al., Vol. 4, Oxford, 1961.

Детальные расчеты потерь проводили разные авторы. В ра­ ботах [3, 4] рассматривается решение полного уравнения Фокке­ ра — Планка только для ионов, в пренебрежении ролью электро­ нов, влиянием электростатического амбиполярного потенциала и пространственной неоднородности, но с учетом конуса потерь. В этих работах исследовалось также соответствие приближенного решения с разделенными переменными точному решению уравне­ ния Фоккера — Планка.

Бен-Даниэль и Эллис [5] развили идеи работы [3] по аппрок­ симации решения приближенным решением с разделенными пере­ менными. Они также добились некоторого успеха при аппрок­ симации решений в случае учета пространственной неоднородно­ сти.

Киллин и Фатч [6 ], а также Фаулер и Рэнкин [7] решили уравнения Фоккера — Планка для ионов и электронов, предпола­ гая, что эволюция функций распределения может быть описана уравнениями для изотропных распределений с включением членов, учитывающих конус потерь. Это предположение и вытекающие из него приближения прямо связаны с предположением, из кото­ рого следует разделимость переменных. Фаулер и Рэнкин учли роль амбиполярного потенциала. Киллин и Фатч в расчете эво­ люции плазмы, образованной инжекцией нейтральных частиц, учли и этот эффект, и перезарядку.

В настоящей главе мы опишем сначала математическую модель плазмы, удерживаемой в ловушке с магнитными пробками, приве­ дем уравнение Фоккера — Планка и сформулируем граничные условия для плазмы с учетом конуса потерь в пространстве скоро­ стей.

В § 3 мы рассмотрим зависящее от времени решение уравнений Фоккера — Планка для ионов и электронов, предполагая изо­ тропию функций распределения в пространстве скоростей. Суще­ ствование конуса потерь приближенно учитывается членом потерь в каждом из уравнений, эффект амбиполярного потенциала также учитывается этим членом. В уравнения включен член, который учитывает источники частиц при инжекции нейтраль­ ных частиц. Потери частиц из-за перезарядки учитываются в уравнении для ионов.

В § 4 решается полное уравнение Фоккера — Планка для ионов с учетом столкновений с электронами. Мы используем не­ сколько более ограничивающее предположение о распределении электронов, а именно что распределение электронов в простран­ стве скоростей приближенно может быть описано максвелловским распределением с вырезанной областью, в которой удержание электронов невозможно. Это предположение и в самом деле было