книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

Рассматриваемый код использовал устаревшую с тех пор явную разностную схему, но метод «косой производной», при­ мененный для записи переносного члена, может представлять интерес [24]. В случае одного измерения он имеет вид

ип+1 ^ ип _ _ ± [{ип+1 + „П+1) _ (И* + Ц«+1)],

и схема устойчива при нДі/А < 1 .

Вайс [39] написал явную программу решения уравнения

=rot (v X В) -f- т]Ѵ2В

сзаданной скоростью поля. Эта программа была использована для изучения выталкивания магнитного потока вихрем в дву­ мерной несжимаемой жидкости с конечным удельным сопротивле­ нием. Уравнения движения жидкости не связаны с уравнениями поля, так что такое рассмотрение является полностью кинемати­ ческим и переносный член трактуется методом Робертса и Вайса

[24]четвертого порядка.

В§ 3, п. 6 , был упомянут развитый Хертвеком и Шнайдером

[43], а также Хейном [42] интересный метод, в котором в качестве координат используются силовые линии. Даче [40, 41] рассмотрел (г, Ѳ)-плоскость, изучая вращение Холла на основании гидро­ динамического описания с обобщенным законом Ома (30) (§ 2). Успех, с которым метод Лакса — Вендроффа был недавно приме­ нен в гидродинамике, вселил надежду на его приложения в МГД.

отлична от нуля). Они выбрали двухжидкостную модель (§ 2, п. 4) с переменными столкновительными коэффициентами для сопротив­ ления, электронной и ионной теплопроводности и теплообмена ионов и электронов. Для расчетов на основной сетке коэффициенты диффузии определялись численно с помощью схемы Дюфора — Франкела, а на вспомогательной сетке — с помощью модификации этой схемы.

По методу Лапидуса [87] вводилась искусственная диффузия переменных. Этот код сначала был применен к Ѳ-пинчу без учета потерь на концах, так как предполагались выполненными перио­ дические граничные условия. Большие значения альфвеновской скорости во внешней области ограничивались заполнением ее плаз­ мой низкой плотности, для чего использовался описанный в § 4, и. 2, метод Хейна и др. [1].

2. Коды для моделирования плазменного фокуса

Пикок [53] впервые сообщил о разработанном рядом авторов двумерном коде, предназначенном для изучения движения в (г, z)- плоскости аксиально-симметричной установки с vq - - 0 и един­ ственной отличной от нуля компонентой магнитного поля, B q . Эта работа была стимулирована прежде всего широко распростра­ ненными в последнее время исследованиями по плотному плаз­ менному фокусу [44—46, 8 8 , 52], который представляет собой пинч высокой плотности, созданный у конца плазменной пушки сжа­ тием тока, текущего в (г, г)-плоскости вдоль оси. Этот эффект особенно интересен тем, что в нем наблюдаются высокие темпера­ туры, Те т 2 кэВ [53] и аномально большое время жизни пинча.

а. Физическая модель

Рассматривается двухкомпонентная полностью ионизованная плазма, описываемая уравнениями непрерывности (1 ), радиаль­ ного и продольного движения (2 ), азимутального магнитного поля (3), электронной энергии (21) и полной энергии (4). Входя­ щее в закон Фарадея (3) электрическое поле определяется из обобщенного закона Ома (30), включающего в себя эффект Холла и градиент электронного давления. Что касается коэффициентов переноса, то сделана попытка охватить общий случай предполо­ жением, что величины <всетеі и сосіт ;і могут принимать конечные значения. Это совершенно необходимо при изучении плазменного фокуса, так как, несмотря на высокую плотность, очень большие значения электронной и ионной температур обеспечивают выпол­ нение условий о}сегеі Э> 1 и (осіТ;і ~ 1. Если не учитывать эффект циклотронного вращения, то величина электронной теплопровод­ ности (пропорциональная Т ^ 2 в пределе больших частот столкно­

вений), безусловно, будет совершенно ошибочной. Поэтому для описания электронной и ионной теплопроводностей и тензора напряжений использовались соответственно уравнения (33), (35) и (37); впрочем, последнее было модифицировано. В бесстолкновительном пределе ионное давление, конечно, следует описывать раздельными величинами Рщ и Р і±, удовлетворяющими уравне­ ниям (28) и (29), но при этом модель магнитного поля, перпендику­ лярного к расчетной плоскости, чрезвычайно проста для рассмот­ рения, так как поле сводится к скаляру. В расчетной плоскости тензор напряжений диагоналей, и параллельное давление, ограни­ ченное Ѳ-направлением, по-видимому, не имеет существенного физического значения в плазменном фокусе. Поэтому ионная температура считается изотропной, и в соответствии с этим в чис­ лителе тензора напряжений опущены члены, пропорциональные (<°сгтгг)2- Это эквивалентно предположению о том, что время выравнивания температур Т гц и Т г[_ мало.

б. Численная схема

Так как течение происходит на звуковых скоростях, то при­ годен явный метод, а точность и простота двухшагового метода Лакса — Вендроффа говорят в пользу его применения. Схема Дюфора — Франкела для диффузионного члена неудобна, если коэффициенты переноса зависят от координат и времени, и по этой же причине здесь менее удобна другая консервативная схема — метод «с перешагиванием» (§ 7). Диффузия описывается рассмот­ ренным в § 3, и. 8 , а, методом с взятой вперед разностью по вре­ мени. Сложные коэффициенты переноса за двойной шаг по вре­ мени вычисляются только один раз, и необходимое для этого время счета не превышает остального расчетного времени.

в. Выравнивание температур

При рассмотрении уравнения для электронной энергии возни­ кает одна трудность, состоящая в обязательном появлении некон­ сервативных членов, в частности, может оказаться большим член, описывающий выравнивание электронной и ионной температур. Если время теплообмена меньше чем Аt, то явная аппроксимация этого члена, как показано Фримэном и Лейном [8 6 ], может при­ вести к неустойчивости. В коде Хейна и Робертса эту трудность удалось избежать путем отдельного точного решения уравнения теплообмена через экспоненциальные функции в духе метода дробных шагов, но в двумерной программе может оказаться неже­ лательным слишком частое обращение к подпрограмме вычисления экспоненты. В код, моделирующий плазменный фокус, член, описывающий выравнивание температур, входит неявно, и, по­ скольку электрон-ионное время теплообмена является функцией температуры теч = теч {Те), для определения самосогласованного решения используются итерации. На каждом шаге метода Лакса — Вендроффа описывающий выравнивание температур член вычис­ ляется в центральный момент в'ремени с помощью операции усред­ нения:

Первый член из (149) подставляют в явную схему Лакса — Вендроффа для того, чтобы по уравнениям полной энергии и элект­ ронного давления найти значения р'" +1 и р'?+1.

Окончательные значения р'” +1 и р'п+1 определяются из формул

где е = А£/2тед. Так как тед = тед (Те), то уравнение (150) решают с помощью итераций, используя последовательно улучшающиеся значения для е = е (Те). Итерации всегда сходятся, причем сходимость будет быстрой, если е не стремится к Ѵ2. Это обеспе­ чивает безусловную устойчивость при вычислении члена, описы­ вающего выравнивание температур. Фриман и Лейн [8 6 ] исполь­ зовали подобный же метод решения, но без итераций, полагая

в = в { Т ' Г 1)-

г . Г р а н и ц ы

Условия на фиксированной границе понимаются как условия сохранения величин в примыкающей к границе ячейке. Например, на оси локальная ячейка сетки представляет собой цилиндр

Zâz

Ф и г. 8. Осевая ячейка. Около оси ячейка сетки является цилиндром объема

2л (Ar)2 Az.

Переменные, не обращающиеся тождественно в нуль на оси, представляют средние зна­ чения по объему ячейки, а потоки — средние по торцам и боковой поверхности цилиндра.

объемом V = 2л (Ar)2Az, где Ar — шаг сетки в радиальном направлении, а Az — в продольном (фиг. 8 ). Для этой ячейки разностные формулы перестраиваются так, чтобы описывать тождественное выполнение в объеме V законов сохранения для всех функций, за исключением потока компоненты поля B q, которая в случае конечного удельного сопротивления обращается на оси в нуль.

Аналогично рассматривается и граница на окружающей стенке. Тепловая энергия переходит от плазмы к холодным электродам, поэтому, следуя Хейну и др. [1], начальная температура ионов и электронов полагается равной небольшому постоянному значе­ нию температуры на электродах (обычно Те = Т t = 2 эВ). Однако такое предположение нельзя считать вполне удовлетворительным, так как, если некоторый объем плазмы остается около электрода, плотность плазмы в нем будет непрерывно увеличиваться, пока не дорастет до максимального значения, при котором достигается равновесие давлений с гораздо более горячей внутренней плазмой. Таким образом, это предположение связано, видимо, с сильным преувеличением влияния холодных электродов. Разумной аппро­ ксимацией будет считать температуру на границе постоянной

392 Гл. 9. МГД-методы

лишь при условии, что характерная толщина пограничного слоя X больше, чем шаг сетки А.

Предпочтительнее метод, в котором электронная и ионная температуры на электродах вычисляются из уравнений сохране­ ния, причем в приграничной ячейке происходит конечная потеря тепла АQ согласно формуле

А@~ МТЬІг (Т ~ Т0).

Коэффициент пропорциональности вычисляется на основании выбора некоторой характерной толщины пограничного слоя X.

Эта проблема характерна для течения в канале, которое происходит в первой стадии эксперимента по плазменному фоку­ су, а также в МГД-трубах, но она не возникает в расчетах одноили двумерного пинча, в котором плазма отталкивается от стенок в начале разряда. Тем не менее подобные вопросы встают в дву­ мерных расчетах стабилизированного z-пинча, где концевые элек­ троды всегда находятся в контакте с плазмой.

д. Область низкой плотности

Трудности, связанные с очень высокими альфвеновскими скоростями в области низкой плотности вокруг основной плазмы, преодолевают, изменяя метод расчета электромагнитных полей везде, где плотность р падает ниже некоторого минимальногозначения рмин. Так как ток /_)_ пропорционален градиенту давле­ ния Ѵр ~ 0 , а ток /ц строго равен нулю, то область низкой плот­ ности ведет себя как изолятор. Объединим поэтому индуктивность данной области с индуктивностью внешней цепи, с которой она соединена последовательно, и разделим полный магнитный поток

сила равна нулю, так что волны распространяются только со зву­ ковой скоростью, которая не зависит от р, и условие Куранта — Фридрихса — Леви не накладывает ограничений на шаг по вре­ мени. Неточная аппроксимация характеристик плазмы во внеш­ ней области не влияет на основной объем плазмы, поскольку их взаимодействие очень мало, и потому при рассмотрении движу­ щейся плазменной границы со сложной конечной формой не воз­ никает никаких трудностей даже в том случае, если она разбита на несколько частей. (Особое рассмотрение требуется, если внеш­ няя область состоит из нескольких несвязанных частей, но этот случай до сих пор не наблюдался.)

и довольно большая продолжительность стадии фокуса говорят в пользу образования горячей плазмы, тогда как жесткое излуче­ ние и угловая анизотропия переднего (во времени) фронта ней­ тронного импульса говорят о пучковом взаимодействии.

Описанный в § 5 двумерный МГД-код был применен к плаз­ менному фокусу в попытке прояснить следующие особенности

10 см

Ф и г . 9. Эксперимент по плазменному фокусу.

-Электрическое ноле создано между двумя коаксиальными электродами. Ударная волна движется по кольцевому пространству между электродами (момент П) и сходится к оси (момент і2).

этого эксперимента: динамику стадии разгона и сжатия, меха­ низм нагрева в плотном пинче, чрезвычайно большое время жизни пинча, хотя следовало бы ожидать, что гидромагнитные неустой­ чивые колебания разрушат его за время порядка 15 нс, а также, что очень важно, то, насколько пригодна модель горячей жидко­ сти для описания плазменного фокуса.

В табл. 2 приведены геометрические размеры и начальные условия, для которых были получены обсуждаемые ниже резуль­ таты. Каждый шаг по времени занимает 4 с на IBM 360/65, а всего требуется примерно 500 шагов.

Плазменный фокус особенно легко поддается двумерному чис­ ленному моделированию. Симметрия задачи снимает ряд пре­

Таблица 2

Размеры и начальные условия для плазменного фокуса

С одной стороны, предположение об азимутальной симметрии приводит к тому, что магнитное поле перпендикулярно к рассма­ триваемой плоскости и расчеты проводятся для изотропного дву­ мерного пространства. Математически это означает, что эйле­ ровы координаты в (г, г)-плоскости являются «естественными коор­ динатами» системы, в результате чего переносные члены имеют простейший вид. Поэтому можно учесть ограничивающий диффу­ зию в (г, г)-плоскости эффект циклотронного вращения, не выпол­ няя преобразования к новым совпадающим с силовыми линиями локальным координатам, которое необходимо в других случаях для определения переноса вдоль силовых линий. Таким образом, можно осуществить вполне удовлетворительную аппроксимацию процессов переноса.

С другой стороны, исключительная особенность плотного плазменного фокуса — быстрое переключение с одного простран­ ственно-временного масштаба на другой, значительно более мел­ кий масштаб, — требует детального рассмотрения. Соображения экономии машинной памяти и времени исключают использование на протяжении всего расчета сетки, достаточно мелкой для того, чтобы обеспечить необходимую разрешающую способность в по­ следней, плотной стадии. Концентрация же узлов в областях резких изменений функций, использованная в одномерном случае II], при двух измерениях неосуществима из-за сложности и не­ гибкости разностной сетки. Для преодоления этих трудностей расчет выполняется в два приема. Основная часть вычислений проводится на крупной эйлеровой сетке с пространственным раз­ решением ~ 0,15 см. В стадии же плотного пинча включается вспомогательная мелкая сетка. Граничным условием для этой

396 Гл. 9. МГД\-мет.оды

сетки служат нестационарные величины, определяемые интер­ поляцией с основной сетки. Пространственное разрешение мень­ шей сетки порядка 0 ,0 2 см.

Плотный плазменный фокус иллюстрирует ряд уже обсуждав­ шихся в настоящей главе (§ 3 , п. 1 ) особенностей применения разностных моделей к магнитной гидродинамике. Величина плот­ ности в расчетной области меняется на пять-шесть порядков 147], поэтому для области низкой плотности позади основного токовогослоя необходимо особое рассмотрение, описанное в § 3, п. 9. В ста­ дии плотного фокуса особенно важны диффузионные процессы (ионная вязкость и ионная теплопроводность велики ввиду высо­ кого значения ионной температуры Т ; ~ 2 кэВ, а электрические поля проводимости конечны вследствие очень малых характерных длин). Таким образом, в то время как в мелкомасштабной шкале времени «гиперболические члены» могут преобладать при «созда­ нии» фокуса, его поведение в крупномасштабной шкале решающим образом зависит от диффузионных процессов. В отличие от раз­ ностных методов, описанных в настоящей главе, Батлер и др. [54], применив метод «частиц в ячейке» (РІС-метод) [89], получили хорошее согласие с экспериментом в описании движения ударной волны внутри и в конце коаксиальной пушки, а Дьяченко и Имшенник [90] сообщили о хорошем качественном согласии с экспе­ риментом, достигнутом путем применения метода частиц для реше­ ния одножидкостных гидромагнитных уравнений с ионной вяз­ костью.

2. Стадия разгона

Движение токового слоя между электродами хорошо изучено, и его можно в основном описать с помощью стационарной аналити­ ческой модели «бульдозера». Магнитное давление в вакууме спадает как 1 /г2, поэтому токовый слой принимает характерную параболическую форму (фиг. 10, слева). Это в свою очередь создает направленную наружу компоненту потока массы (фиг. 1 0 , слева).

На фиг. 11 показана равновесная структура в момент времени t = 0,4025 мкс во время стадии разгона, когда полный ток ста­ новится практически постоянным (фиг. 18). Существование ста­ ционарного состояния позволяет утверждать, что токовый слой «забывает» об изоляторе, находящемся при z = 0 , в отличие от обычного z-пинча, в котором форма внешней стенки определяет форму приходящей ударной волны. Таким образом, в модели пол­ ностью ионизованной плазмы конфигурация изолятора, по-види­ мому, не играет роли, хотя в модели частично ионизованной плаз­ мы она, несомненно, должна влиять на количество остающегося позади неионизованного газа.