книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

ления), чтобы продвинуться дальше. При любом математическом методе, используемом для сглаживания функции распределения, нет ясности в его физических последствиях. Такое сглаживание отчасти похоже на влияние столкновений в модели дискретных частиц. Однако оно является полностью численным по своей природе, зависит от процедуры сглаживания и требует анализа его воздействия на результаты (теоретического или эксперимен­ тального).

Приближение частиц для моделирования плазмы автоматиче­ ски ограничивает информацию, с которой машина должна рабо­ тать, до того предела, который требуется для описания движения

ния информации. Оставшиеся столкновительные эффекты можно будет понять и учесть на основе физических соображений, которые в общем уже ясны.

Ряд авторов 119—21] уменьшали столкновительные эффекты, сглаживая поле, обусловленное частицами. Хокни выполнял такое сглаживание, разделяя г-пространство на ячейки и затем вычисляя поля так, как будто все частицы одной ячейки находят­ ся в ее центре. Он пренебрегает взаимодействием частиц внутри каждой ячейки друг с другом, обрезая таким образом взаимодей­ ствие на малых расстояниях. Бэрдсол [20] модифицировал метод Хокни, распределив заряд ячейки по ее углам. Метод «частиц в ячейке» Морза [21] эквивалентен методу разделения заряда Бэрдсола.

Все эти методы используют какую-либо математическую про­ цедуру для сглаживания потенциала, а это практически эквива­ лентно сглаживанию взаимодействия при близких столкновениях. Однако всем этим методам присуща одна и та же трудность — необ­ ходимость сглаживания функции распределения при решении уравнения Власова. Процедура же математического сглаживания вводит эффекты, последствия которых понятны не вполне. Сомне­ ния такого рода можно ликвидировать только в результате кро­ потливого исследования поведения модели (как теоретического, так и экспериментального).

Поведение системы в целом, по-видимому, не зависит крити­ чески от детального движения всех частиц. Оно должно опреде­ ляться рядом макроскопических параметров. Число этих парамет­ ров может быть большим, но оно должно быть существенно мень­ ше, чем число частиц. Если это не так, то у нас не остается надеж­ ды на описание плазмы. Если это правильно, то должен существо­ вать метод сохранения важной информации и исключения массы деталей, которые неважны. Метод «частиц в ячейке» достигает этой цели путем использования конечного числа частиц и ячеек.

где / (к) — формфактор. Подходящим выбором для / (к) является ехр (—к2а2/2). Теперь видно, что если &макс было бы бесконечно, то выражение (25) давало бы электрическое поле, соответствую­ щее распределению заряда по закону Гаусса:

Таким образом, формула (26) будет определять поле, соответ­ ствующее частице конечного размера а. Если ймаксаг велико, то все члены бесконечной суммы с к, большими кмакс, малы, и конечная сумма дает хорошее приближение для поля такой частицы. Поскольку поле такой частицы гладкое и не осциллирует, то это в основном будет так и для конечной суммы.

Теперь ограничим себя одномерным случаем и рассмотрим взаимодействие между частицами, плотность зарядов которых имеет вид

где Хі — координата центра облака и (—а) — его полный заряд.

Эта сила имеет ту же функциональную форму, что и поле Е в точ­

ке X}, создаваемое частицей в точке xj с полушириной У 2 а и за­ рядом о.

Поскольку теперь нам нужно работать с конечным числом чле­ нов, мы заменим полученное выражение для силы конечной сум-

Здесь t — время в начале временного шага; т — время, истекшее от начала временного шага; удержаны члены не выше второго порядка по т. Уравнение (34) можно проинтегрировать, чтобы получить скорости и координаты частиц.

Уравнение (34) выглядит довольно сложным, поэтому возни­ кает вопрос, не потеряли ли мы больше, чем выиграли, используя нашу технику. Здесь необходимо отметить следующее. Во-первых, суммы по / не зависят от і и могут быть вычислены для всех частиц раз и навсегда. Каждая сумма по j должна быть определена для каждого рассматриваемого к. Таким образом, если имеется N частиц и М мод, то нужно вычислить а N M членов, где а — коэф­ фициент пропорциональности, определяемый числом сумм по / (в нашем случае их будет шесть). Аналогично, чтобы описать движение частиц, нам нужно вычислить ßAf членов для каждой частицы, что требует нахождения f>MN членов. Следовательно, время полного вычисления будет пропорционально MN. Если бы мы попытались вычислять взаимодействия частиц непосредствен­ но (последовательно для каждой пары), то время вычислений было бы пропорционально N 2/* 2. Таким образом, если М гораздо меньше числа частиц, то наша техника дает преимущество по срав­ нению с прямым вычислением взаимодействий. По существу, мы стремимся удержать только несколько мод — длинноволновые коллективные моды, которые существенны для рассматриваемых проблем. Следовательно, М должно быть много меньше N. Кроме того, поскольку частицы должны представлять полную функцию распределения в фазовом пространстве, а моды — только коор­ динатную часть возмущения, то необходимо гораздо больше частиц, чем мод.

В результате включения в уравнение (34) зависимости поло­ жений частиц от времени мы усложняем вычисления.] Однако одновременно мы значительно улучшаем точность метода и полу­ чаем возможность выбирать большие временные шаги, что с лих­ вой компенсирует дополнительные вычисления. Если не делать этого, то закон сохранения энергии для системы будет выполнять­ ся очень плохо. С учетом же временной зависимости энергия сохраняется с точностью до ІО-3 в течение ^ЮОнф1. Недавно мы обнаружили, что при использовании для определения координат и скоростей схемы «с перешагиванием» *) учет указанной времен­ ной зависимости дает много преимуществ.

При одинаковом числе частиц и числе мод, таком же, как число точек сетки, используемое в методах Хокни [19], Бэрдсола [20] и Морза 2), вышеуказанный метод является более медлен­

число точек сетки). Однако можно модифицировать эту процеду­ ру, используя комбинацию сеток в г- и /с-пространствах для того, чтобы сделать число вычислений пропорциональным N + ßikP. Мы проделали некоторые предварительные вычисления этого типа и достигли значительной экономии времени, а точность, по-види­ мому, сохранилась. Поскольку этот метод прослеживает точную динамику частиц, взаимодействующих через модифицированный кулоновский потенциал, то для проверки вычислений можно использовать многие физические законы сохранения, например можно проверить выполнение сохранения энергии и импульса.

2. Исследование флуктуаций вблизи теплового равновесия

Флуктуации около теплового равновесия явились первой проблемой, которую мы исследовали на модели частиц конеч­ ного размера. Мы хотели убедиться, что флуктуации ведут себя

для создания флуктуаций E h\ фк определяется следующей форму­ лой:

Здесь добавлено малое затухание в для определения направления интегрирования вокруг полюсов. Подставляя выражение (40) в (41), получаем дисперсионное соотношение

За исключением множителя ехр [—к2а2], оно совпадает с обычным дисперсионным соотношением. Таким образом, длинноволновые моды, остаются прежними, в то время как коротковолновые моды сильно изменяются.

3. Редкий холодный пучок в модели частиц конечного размера

Вторая проблема, которой мы занимались, связана с неустой­ чивостью, вызываемой редким холодным пучком, проходящим через теплую плазму. В этом эксперименте использовались систе­ мы, содержащие 1000 частиц, причем 1/5 их находилась в пучке. На дебаевской длине было 20 частиц, а пучок был холодным и имел скорость, в 4 раза превышающую тепловую скорость (скорости всех частиц сдвинуты так, что полный ток отсутствует). Числен­ ный счет был проведен для случаев, когда полуширина частицы a

и скорости были одинаковыми. Для сравнения при идентичных начальных условиях был проведен небольшой счет на модели плоских листов.

На фиг. 11 приведены графики полной энергии электрическо­ го поля, полученные из этих четырех расчетов. Имеется очень хорошее согласие между случаем плоских листов и частицами с a = Xd/2. Для частиц с a = kD согласие со случаем листов еще достаточно хорошее. Хотя и появляются некоторые расхождения, однако заметная часть этих расхождений может быть связана с энергией электрического поля, находящейся в коротковолновых модах, которые в этом случае подавляются. Можно ввести грубую поправку, добавляя к энергии в случае a = XD разность началь­ ных значений энергии электрического поля в случае a = kD и в случае листов. Это объясняет примерно половину расхожде­ ния в момент первого пика.