книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы
..pdf§ 3. Разностные методы |
379 |
а. Основные сеточные операторы
Для простоты будем рассматривать только равномерную декар тову сетку с узлами, находящимися во всех или в некоторых из точек (/Ах + кАу -j- lAz + пАі), где (/, к, I, п) — целые числа. Операторы переноса на расстояния (Ах, Ay, Az, At) обозначим через
(Ех, Е у, Ez, E t) |
(123) |
соответственно, а дифференциальные операторы (d/dx, dldy, dldz, dldt) — через
|
(Dx, D y, D z, D t). |
|
(124) |
|||
Легко |
видеть, что операторы (123) |
и (124) |
связаны; например, |
|||
Е х = |
exp (AxDx). Применив это операторное соотношение к функ |
|||||
ции / (х), получим ряд Тейлора |
|
|
|
|
||
f ( A x ) ^ E xf(0) = [ l + A x ± |
(Ах)2 |
d2 |
(Аі)3 |
<23 |
||
2! |
dx2 |
3! |
dxз |
|||
|
|
|||||
б. Операторы deld и dotd
Вдальнейшем мы будем в основном иметь дело с сеткой схемы «с перешагиванием» или с шахматной сеткой, на которой функции
определены только в узлах, для которых (/ + к + I + п) — нечетное число. Выразим поэтому разностную производную по времени в центрированной форме:
|
|
|
d o |
t d |
^ l ^ - , |
|
(125) |
|
а компоненты |
векторного разностного оператора в виде |
|||||||
|
deld = ( |
Ех- Е ? ГЕу-Еу1 |
|
- Е р |
(126) |
|||
|
2Ах |
’ |
2Ду |
’ |
2Дг |
|||
|
|
|
) |
|||||
Эти |
тождества можно переписать символически: |
|||||||
|
|
|
dotd |
|
sh (ДtDt) |
|
(127) |
|
|
|
|
|
At |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т . |
д., но с точки зрения |
изучения |
устойчивости в линейном |
|||||
приближении |
нагляднее также |
записать |
|
|
||||
|
|
|
dotd = |
г sin (wAt) |
|
(128) |
||
|
|
|
At |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(deld)*: |
i sin (kxAx) |
|
(129) |
||
|
|
|
Ax |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
380 |
Гл. 9. МГД-методы |
|
где операторы |
(dldt, dldu) теперь обозначены через |
(iw, —г'к) |
в соответствии с обычным разложением Фурье |
|
|
|
exp (iwt — гк-х). |
(130) |
в. Операторы divd, rotd и gradd
Разностные аналоги обычных векторных операторов div, rot, grad можно символически определить соотношениями
divd А = |
deld-А, |
(131) |
|
rotd А == deld |
X А, |
(132) |
|
gradd ф = |
deld |
ф, |
(133) |
где А — любой вектор, а ф — любой скаляр, определенные в соот ветствующих узлах сетки.
Чтобы представить себе упрощение записи, достигаемое ука занным способом, скажем, что обычное разностное выражение
первой компоненты векторной формулы |
|
rotd (v X В) |
(134) |
содержит 118 символов, не считая скобок, запятых, знаков сло жения, вычитания и деления (табл. 1). Аналогичное положение и с дивергенцией тензора.
Таблица 1
Развернутая запись первой компоненты выражения rotd (v X В)
|
[(у", і, 3 + 1 , h B v, i, 3 + |
1, h ~ |
, , n |
|
+ 1» h |
Г І П |
|
|
|
1 , k ) |
||||
|
Ѵ У , i f 3 |
Dx, i , |
|
j + |
||||||||||
~~ |
i, 3 — 1 , h B y, i, 3— 1, k ~ |
v I |
i, |
3 — |
1, h B x, i, |
3 — |
1, |
fe)]/(2A^)— |
||||||
|
r / _ , n |
|
D |
71 |
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
i, j, k -f |
|
h -f |
1 |
„7 1 |
j, |
1 |
n |
i, j, |
1 “ |
||||
|
|
1 D x , i, j, |
VX, i , |
|
||||||||||
|
/„n |
Г)П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~~ \VZ, i, j, |
h — 1 Dx%i, j, h — 1 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
г. |
Оператор Дюфора — Франкела dufd |
|||||||||||
Во многих разностных схемах для аппроксимации оператора Лапласа V2 использован оператор Дюфора — Франкела, опреде ленный выражением
dufd = |
[Ех + Е ? - (Et + ET1)} + |
|
+ ДW lEv + E ~y l ~ { E t |
+ Ef)] |
[Ez + E? - (E*+ ^ 1)] • (135> |
|
|
> |
§ 4. Одномерные коды |
381 |
"Так как |
|
{Е% *-Е?,я)2= Е х+ Е ? - 2 |
(136) |
É i * - E t ll2 = 2 ism k x ~ , |
(137) |
“ " - [ ^ + ( ■ ■ ■ 1 + 1 - 1 ] +
. |
/ |
Д <2 |
. |
Д г 2 |
Д г 2 |
\ |
sin2 w(At/2) |
(138) |
|
+ |
1 |
Д ж 2 |
1 |
Д г / 2 |
1 Д г 2 |
) |
( Д і / 2 ) 2 |
||
|
Второе слагаемое представляет погрешность в том смысле, что правильный предел достигается лишь в том случае, если Дг/Дх О при Ах —V0. Разлагая первый член по степеням к2 и используя замену iw = ч\к2 во втором члене, находим, что ошибка, вносимая вторым членом, меньше вносимой первым членом при условии, что
г)Ді/Д2 < 1/6 ]/^3 (предполагаем, что Ах = Дг/ = Az = А).
д. Усредняющие операторы savd и tavd
Если значение переменной в каком-нибудь узле неизвестно, то может оказаться необходимым усреднение по пространству или
времени. Определим операторы |
|
|
savd = |
1 (Ех + Е ? + ЕУ+ Е ? + Ez+ E t1), |
(139) |
.tavd = |
(Ег + E t1). |
(140) |
Трехмерные разностные схемы в этих обозначениях обсуждаются в § 7.
§4 . О дн ом ерн ы е коды
1.Код Хейна — Робертса
Один из наиболее ранних кодов был построен Хейном и др. [1]. В нем была использована цилиндрическая геометрия, причем все функции зависели только от г и не зависели от (Ѳ, z), а азимуталь ная скорость vq полагалась равной нулю. (Это предположение достаточно, но не необходимо.) В простейшем варианте кода Хей на — Робертса предполагается, что полностью ионизованная двух компонентная плазма характеризуется переменными р, ѵт, Те, Т t, В т, B q. В этом варианте использована модель сжимаемой жидкости с реалистическими коэффициентами переноса, учитывающими
382 |
Гл. 9. МГД-методы |
влияние магнитного поля на электронную и ионную поперечные теплопроводности, а также различие между продольной и попе речной электропроводностями. Для ионов вводилась искусствен ная вязкость фон Неймана (если физическое значение вязкости было недостаточно велико); эффект Холла, конечная инерция электронов, конечный ларморовский радиус ионов и термоэлект рический эффект не учитывались.
Программа решает систему шести уравнений: уравнения непре рывности (1 ), радиальной проекции импульса (2 ), электронной
|
t |
О---------------- |
V |
Ф Xи---------------г . |
7. Псевдолагранжева разностная схема. |
При использовании неявной эйлеровой схемы для описания одномерной магнитной гид родинамики скорость V центрируется в целых пространственных узлах (кружки и сплош ные линии), а остальные переменные (р, Т, В ) в полуцелых узлах (крестики и штрихо вые линии). Уравнения решаются в лагранжевой форме, а в конце каждого шага пере носятся обратно на исходную сетку с помощью четырехточечной интерполяции. Чтобы получить чисто лагранжеву схему, нужно исключить интерполяционную процедуру
и допустить движение самих узлов сетки.
энергии (2 1 ), ионной энергии (2 2 ), а также аксиальной и азиму тальной компонент магнитного поля (3). В варианте с неявной эйлеровой схемой используется показанная на фиг. 7 сетка,,
причем скорость определяется в узлах, обозначенных |
кружком, |
а остальные переменные — в узлах, обозначенных |
крестиком. |
Во всех уравнениях опущен переносный член, так что на каждом
•временном слое задача решается в лагранжевой форме, если не
учитывать того, |
что на |
|
промежуточных слоях tn+x!2 |
= tn -j- |
+ 1/2А^"+1/2 используется |
|
единственный набор координат |
ячеек. |
|
В конце шага по |
времени |
вычисляется смещение сетки |
|
|
|
_ |
_— (Агп+Ѵ2 _|-Д£п+з/г), |
(141) |
|
Дг”+ 1 =-4 |
||||
а затем значения всех переменных в смещенных узлах преобразуют ся обратно к исходной сетке с помощью четырехточечной лагран жевой интерполяции
4 |
(142) |
f ( x) = i=l2 a i f ( xi)> |
§ 4. Одномерные коды |
383 |
где
(х — х 2) (х — х3) (х — х4) |
(143) |
|
|
и т. д., и х 2 ^ X ^ х ъ. Таким способом удается уменьшить чис |
|
ленную диффузию (односторонний метод Лелевьера соответствует
двухточечной интерполяции), а также |
избежать ограничений |
на шаг по времени вида | ѵ | At/Ar < |
1, проявляющихся при |
малом шаге по пространству. Чтобы предупредить появление нефи зических значений, приняты меры типа описанных в § 2, п. 5.
Разностная сетка автоматически перестраивается так, чтобы получить наибольшую разрешающую способность в областях
резкого |
изменения состояния плазмы |
или магнитного поля. |
|
Для этого используется |
весовая функция вида |
||
|
|
а |
(144) |
|
|
|
|
где Ar ~ |
ш_1, индекс а |
пробегает все |
физические переменные, |
а аа и Ьа — управляющие константы, которые могут быть выбраны программистом для обеспечения нормального хода расчетов. На практике функция (144) вносит значительное сглаживание, достаточное для предотвращения резких пространственных изме нений Дг.
Такое отделение переносного члена, является частным случаем описанного в § 3, п. 1 0 , метода дробных шагов; независимо прог раммируются и некоторые другие члены. Хотя этот метод дейст вует достаточно хорошо и, по-видимому, лучше большинства эйлеровых схем, полностью избежать ошибок интерполяции мож но лишь используя подвижную лагранжеву сетку. Первоначаль ная программа дает возможность совсем просто выполнить это посредством преобразования координат в соответствии с (141) и отказа от интерполяционной процедуры, если не нужно пере страивать сетку. Для задач о Ѳ-пинче, в которых внешнюю область можно считать вакуумом и допустить, что сетка движется от стен-' ки, такая модификация была выполнена Фишером (не опубли ковано). Развитый Хейном неявный метод решения был описан в § 3, п. 5.
2. Граничные условия на стенке
а. Движение внутрь
Эйлеров вариант рассматриваемой программы использует пред положение Колгейта и др. [83], согласно которому проводящая «холодная» плазма может течь от стенки со скоростью, прибли женно равной скорости силовых линий Е х ВІВ2, и поэтому
386 |
Г л . 9 . М Г Д - м е т о д ы |
ионизованном Ѳ-пинче предусмотрены раздельные значения про дольной и поперечной температуры ионов. Модель Колба и МакУэртера [16] была воплощена в коде, использующем пять приме сей: углерод, азот, кислород, кремний и неон. Лагранж ев вариантбыл описан Олифантом [6 ], а трехжидкостная модель — Дачсом
[15].
§ 5. Д в у м е р н ы е коды
Множество интересных плазменных явлений и эксперименталь ных установок имеет двумерную или квазидвумерную природу, а если задача существенно нестационарна, то сложность МГДуравнений исключает возможность аналитического решения. По-видимому, изучение процессов в (г, г)-плоскости в аксиально симметричных установках (плазменный фокус или Ѳ- и z-пинчи), является простейшим шагом в направлении реалистического чис ленного моделирования экспериментов по ядерному синтезу. В принципе та же самая геометрия применима и к меньшему сечению тороидальных установок с осевой симметрией, таких, как токамак [84] или тороидальный стабилизированный шгач, хотя граничные условия заметно усложняются, потому что такие сечения обычно бывают круглыми.
В качестве следующего шага вперед можно без особого труда учесть слабую зависимость от третьей пространственной коор динаты. Задачи, связанные с МГД-генераторами и ускорителями, существенно двумерны, причем особый интерес в этой области представляют нелинейные аспекты электротермической и магнито звуковой неустойчивостей [85], которые разрушают поток и сни жают к. и. д. системы, увеличивая импеданс.
Можно провести грубую оценку времени, необходимого для реалистического двумерного МГД-расчета. Типичная простран ственная сетка размером 64 X 64 узла дает разумное разрешение, а при расчетах по явной схеме, по-видимому, достаточно 300 шагов по времени. Таким образом, пространственно-временная расчет ная сетка содержит около ІО6 узлов, а достаточно полное МГДописание при экономно написанном явном коде требует примерно
ІО3 арифметических операций. |
Поэтому |
на современных ЭВМ |
с быстродействием 1 0 е команд/с |
полезный |
расчет можно выпол |
нить за 20 мин, так что вычисления на основе сложных нестацио нарных двумерных МГД-моделей вполне осуществимы.
І-коды можно приспособить для учета только тех физических эффектов, которые существенны для рассматриваемой задачи (например, задача двумерной МГД-конвекции, изученная Вайсом [39]). В этом случае результат можно получить с минимальной затратой сил на программирование. Однако в большинстве случаев численный эксперимент для моделирования реального процесса