книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

3 68 Гл. 9. МГД-методы

и схема будет устойчива, если выполнено условие

сложным, потому что член V -F связывает, как и прежде, ячейку с центром в С с группой из четырех ячеек с центрами в FN, FE,

Перенос

Численная диффузия

Ф и г . 3. Схема Лакса.

Эту схему можно представлять в виде ячеек площадью А2 с центрами в узлах сетки. Переносный член попарно связывает ячейки, обведенные сплошными линиями, а чис­ ленная диффузия связывает штриховые ячейки N, Е, S, W с ячейками С и тем самым между собой.

FS и FW , а член V2« теперь связывает ячейку С с группой ячеек N, Е, S, W (фиг. 3). Все четыре ячейки теперь связаны вместе, и схема свободна от ложных численных мод, которые вызываются узлами, не входящими в схему.

г. Двухшаговая схема Лакса — Вендроффа

Устойчивая схема Лакса в действительности должна содер­ жать диффузию, связанную с введением второй производной, поскольку первый член в правой части уравнения (97) всегда должен превышать второй на конечную величину. Однако, при­ меняя трехслойную схему, мы можем обойтись без обоих этих

членов — источников дополнительных ошибок. Для этого заме­ ним (96) на

что позволит должным образом центрировать как пространствен­ ную, так и временную производные.

К этому типу принадлежит двухшаговый метод Лакса — Вендроффа [75, 76, 25], в котором в качестве шаблона используется

оЧетный слой

*Нечетный слой.

Ф и г . 4. Сетка схем Лакса — Вендроффа и «с перешагиванием».

Обе схемы используют одну и ту же сетку со структурой NaCl. Все переменные опреде­ ляются в кружках на четных временных слоях и крестиках — на нечетных слоях. В схеме Лакса — Вендроффа в крестиках хранятся вспомогательные переменные, которые зати­ раются в машинной памяти в конце каждого двойного шага.

решетка кристалла поваренной соли (фиг. 4). Узлы, обозначен­ ные на фигуре кружком, соответствуют четным временным слоям 2mAt, а обозначенные крестом — нечетным слоям (2т + 1) At. В начале t 2m- T o двойного шага по времени переменные определены только в кружках. Сначала по методу Лакса в крестиках строятся вспомогательные величины на промежуточных слоях t2m+l, затем по этим значениям определяются потоки, используемые в (98) для перехода по основным переменным от t2r^ к t2m+2. Вспомога­ тельные величины используются один раз и не хранятся в ма­ шинной памяти.

24—01236

370 Гл. 9. МГД-методы

Точность и устойчивость этой схемы можно исследовать на простом уравнении переноса

где А жВ — постоянные. Выберем зависимость функций от коор­

Поэтому схема устойчива, если At удовлетворяет условию Куран­ та — Фридрихса — Леви, и дает небольшое, но полезное затуха­ ние четвертого порядка для всех мод, для которых аЯ + ßp Ф 0.

Однако из фиг. 4 видно, что двумерная схема имеет две несвя­ занные группы ячеек (обозначенных на фиг. 4 цифрами 1 и 3), а трехмерная схема — четыре такие несвязанные группы. Чтобы избавиться от нежелательных численных мод, нужно какимнибудь способом связать эти ячейки.

д . С хем а « с п е р е ш а г и в а н и е м »

Схема «с перешагиванием»— второй метод, в котором приме­ няется тот же самый пространственно-временной шаблон, но используются в равной степени все узлы (и кружки, и крестики), при этом на каждой группе узлов определяются потоки для другой группы. Множитель перехода для (99) дается в этом случае соотношением

по модулю равен единице. Здесь в случае N измерений 2N ячеек оказываются несвязанными 155].

ментах с фокусом это выполнено, так как расчеты ведутся в пло­ скости, перпендикулярной к магнитному полю, и потому все коэффициенты переноса изотропны и ограничены эффектом цикло­ тронного вращения. Менее ясно, как решать задачу, в которой приходится учитывать повышенный перенос тепла вдоль силовых

линий, так как в этом случае и явный, и эйлеров методы, по-ви­ димому, непригодны.

Описанный выше метод не связывает ячейки 1 и 3 на фиг. 4, но он рассмотрен здесь потому, что, периодически применяя неко­ торую дополнительную фильтрующую процедуру, можно уничто­ жить нежелательные моды. При использовании для этой цели физической диффузии можно вычислять производные по четырем угловым точкам NE — N W на слоях t2m (фиг. 5). При этом мы получим сложную консервативную схему, в которой динамиче­ ские члены связывают ячейки с центрами в узлах С, FN — FW (фиг. 5). Коэффициенты диффузии нужно вычислять в четырех точках M NE (mid-northeast) — MNW, например попарно усред­ няя значения в узлах N, Е, S, W. Однако для плотности все же необходимо ввести некоторые дополнительные построения.

б. Схема Дюфора — Франкела

Если для аппроксимации динамических членов используется схема «с перешагиванием», то для описания диффузии естественно

Эта схема использует сетку типа NaCl, аналогичную показанной на фиг. 4, однако функ­ ция магнитного потока А и скорость ѵ расположены в шахматном порядке относительно остальных переменных. Каждый из основных членов связывает различные комбинации ячеек сетки, а якобиан вычисляется в повернутой системе координат (а, ß).

чин, средних между слоями і2ГПи /2,71+2. Если коэффициенты пере­ носа зависят от пространственных координат и времени, то обеспе­ чить выполнение условия консервативности схемы довольно труд­ но, и возможно, что метод «с перешагиванием» имеет преимущест­ во перед методом Лакса — Вендроффа только в случае постоянных коэффициентов. Схема Дюфора — Франкела устойчива при всех At и обладает достаточной точностью, если мало отношение y\At/(Ax)2.

374 Гл. 9. МГД-методы

9. Специальные разностные методы

а. Область внешнего вакуума

Во время пинчевого разряда плазма отрывается от стенок возрастающим магнитным полем и обычно окружена областью низкой плотности, физические свойства которой трудно рассчи­ тать с помощью МГД-уравнений. Большинство лагранжевых раз­ ностных схем предсказываает, что вначале прилегающий к стенке слой частиц плазмы будет двигаться внутрь, образуя у стенки область вакуума, но этому результату нельзя всецело доверять, так как у границы плазмы точное аналитическое решение диф­ ференциальных МГД-уравнений обладает неприятными сингуляр­ ностями, которые уничтояшются конечно-разностной сеткой. Например, Розенблют и Кауфман [77] изучили случай Те = T t и установили, что температура становится сингулярной. Физиче­ ски это происходит из-за того, что электропроводность а не зави­ сит от плотности, и потому при р — 0 джоулево тепло оЕ2 распре­ деляется между все уменьшающимся числом частиц. Более того, а увеличивается с увеличением Т, еще больше увеличивая таким образом нагрев, в то время как поперечная теплопроводность падает и отвод тепла затрудняется. Эта сингулярность становится еще острее, если Те Ф Т ;. Однако в действительности МГД-опи- сание становится непригодным вблизи границы плазмы, и этот парадокс, вероятно, может быть разрешен введением ряда повы­ шенных коэффициентов переноса, которые сгладят изменение плотности и устранят другие сингулярности.

В реальном эксперименте плотность вне основного разряда, вероятно, невелика, но едва ли она обращается в нуль, посколь­ ку некоторые заряженные частицы должны уходить во внешнюю область вследствие различных неклассических процессов; кроме того, из стенки выделяются нейтральные частицы, часть которых ионизуется. Поскольку альфвеновская скорость велика, эта область будет находиться в почти равновесном состоянии, Ѵр ^ « j X В, что в свою очередь означает та 0, поскольку р прене­ брежимо мало. Для слабых продольных токов эта область может быть хорошим проводником, но сильные токи должны привести к аномальной диффузии поля, направленной к восстановлению вакуумной конфигурации поля. В отсутствие сколько-нибудь определенных экспериментальных данных наиболее удовлетвори­

где Ѵ24е = 0. Таким образом, для установок с плазменным фоку­ сом, которые имеют только Б ѳ-составляющую поля, рассмотрение вакуумной области не представляет трудностей, но для аксиально­ симметричной системы общего вида на каждом шаге по времени приходится решать уравнение Лапласа в сложной изменяющейся области между границей плазмы и внешними проводниками.

Внекоторых установках эта область может быть неограниченной.

Вслучае трех измерений приходится решать векторное уравнение

Ѵ2А = 0, где В = rot А.

б. Решение методом последовательной верхней релаксации

Хейн [26] предложил использовать функции Грина, но на практике уравнение Лапласа можно решить достаточно быстро методом итераций, не слишком увеличивая полное время расчета. В методе последовательной верхней релаксации (SOR) [78] ска­ лярное уравнение решается на прямоугольной двумерной сетке с помощью алгоритма:

где сетка предполагается равномерной. Параметр со выбирается из условия максимальной скорости сходимости. Если (М, N ) — число узловых точек в каждом направлении, то оптимальное значение ю приближенно определяется равенством

а спектральный радиус (декремент наиболее устойчивой моды) — равенством

Разностная схема (110) обладает с точки зрения удобства програм­ мирования очевидной простотой и изяществом, так как при про­ гонке по пространственной сетке старые итерационные значения ір) содержатся в последующих узлах, а новые итерационные зна­ чения (р + 1 ) — в предыдущих узлах, которые только что были пересчитаны.

В практических кодах векторный потенциал А п+1 вычисляется по методу Лакса — Вендроффа там, где р ^ р Мин> а затем методом

области R используется как краевое условие, а старое значение А п

используется для начала итераций (р = 0). То, что область R все время изменяет свою форму, оказывается несущественным.

Как указали Гарабедьян [79] и Юнг [78], схема (110) на самом деле аппроксимирует гиперболическое уравнение с затуханием

нение (ИЗ), так и разностная схема (110) имеют консервативную форму и потому должны описывать поток сохраняющейся величи­ ны (а именно разностной ошибки) от места к месту по сетке. Если опустить последний член в (ИЗ), то уравнение станет параболи­ ческим и ошибка сможет лишь расплываться к границе за время t ~ N 2. В случае гиперболического уравнения ошибка может рас­ пространяться как волна за время t ~ N. Сеточная ошибка (основ­ ное собственное колебание) может исчезнуть только на границе, хотя ошибки противоположного знака могут взаимно уничто­ житься внутри R , чем и объясняется более быстрое затухание высших мод.

Поскольку мы вычисляем вакуумное поле явным методом, который допускает распространение ошибки на расстояние поряд­ ка всего одного шага сетки за одну итерацию, потребуется значительное число итераций. Но схема (110) настолько проще уравнений плазмы, что процесс вычислений по ней займет лишь небольшую часть всего времени расчета. Если нужно, схему (110) довольно просто запрограммировать в автокоде.

в. Решение уравнения Пуассона

Системы уравнений (А) и (В) второй главы, описывающие несжимаемое МГД-течение, требуют решения уравнения Пуассо­ на (15) для завихренности £. В двумерном случае систему (А) можно записать в виде

Для решения этой системы удобно применить схему «с переша­ гиванием» (фиг. 6), определяя на четных слоях (£, ф, В) в кружках (А, ѵ) — в крестиках, а на нечетных слоях наоборот. Основными неизвестными функциями являются два скаляра £ (завихренность) и А (функция магнитного потока или z-компонента векторного потенциала). Если на слое tn известна величина £, то, решая урав­ нение Пуассона, строим функцию тока среды ф, а затем находим ѵ дифференцированием. Если известна функция А, то дифференци­ рованием находим В. Лишь с вычислением тока j дело обстоит несколько сложнее, так как требуется его значение в том же узле, где известно В, и потому ток j можно определить, дифференцируя В в двух диагональных направлениях (фиг. 6):

Точность и скорость расчетов в основном ограничены необхо­ димостью решать уравнение Пуассона на каждом шаге по време­ ни, но для прямоугольной области существует ряд методов, осно­ ванных на быстром разложении и суммировании рядов Фурье [57, 58, 80]. Пековер разработал вариант программы Хокни для решения уравнения Пуассона, который годится для сетки, пока­ занной на фиг. 6 , и использовал его для решения двумерных задач МГД-конвекции (не опубликовано).

Уравнение (114) описывает изменение завихренности за счет переноса, диффузии и магнитных сил. Его можно решить в консер­ вативной форме, используя метод Дюфора — Франкела для диф­ фузионного члена. Исключение завихренности затруднено тем, что первое слагаемое в правой части связывает узел N с угловыми узлами N E — NW, второе слагаемое — с узлами N — И7 и третье — с узлами FN — FW. Все вспомогательные узлы связаны вместе должным образом, если для аппроксимации уравнения (115) применен метод Дюфора — Франкела.

г. Метод дробных шагов

Так как уравнения реальной магнитной гидродинамики описы­ вают большое число квазинезависимых физических эффектов, оператор L уравнения (66) часто представляют в виде суммы ряда слагаемых:

Формальное решение уравнения (66) во втором порядке точности запишется в виде