книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

ся единственной неизвестной. Однако явная схема не будет чис­ ленно устойчивой, если не выполнено условие устойчивости в об­

для параболических членов (где о — коэффициент диффузии). Физически эти условия просто устанавливают, что максимальная скорость переноса информации разностным решением, равная одному пространственному шагу А за один временной шаг At, должна быть не меньше чем любая из скоростей распространения, описываемых системой дифференциальных уравнений: волн, дви­ жений среды и диффузии. Уравнения (69) и (70) дают локальные условия, поэтому необходимо выбирать наиболее неблагоприятный случай.

Особенность магнитной гидродинамики сжимаемой среды состоит в том, что между различными участками области вычисле­ ний могут происходить очень большие изменения параметров плазмы, например плотности р, температуры Т и магнитного поля В. В частности, альфвеновская скорость сА — ВІр1/2 может изменяться на несколько порядков. Поэтому, если имеются обла­ сти высокого магнитного поля и низкой плотности, явная схема может потребовать исчезающе малого шага по времени. Эта ситуа­ ция резко отличается от положения в гидродинамике, где харак­ терной скоростью является скорость звука (пропорциональная Т1! 2 и не зависящая от р), вариации которой существенно меньше. Таким образом, в гидродинамике обычно вполне пригодны явные схемы. Исключение составляют лишь задачи, в которых рас­ сматривается медленное прохождение через ряд близких состоя­ ний равновесия (как в эволюции звезд). Другой неудобной особен­ ностью двух- и трехмерной магнитной гидродинамики является высокая электронная теплопроводность вдоль магнитных силовых линий.

б. Неявные схемы

Если е Ф 0, то система (68) становится неявной и решение уравнения (66), т. е. задача его интегрирования по времени, сводится к решению системы алгебраических уравнений на каж­

(второй индекс у диагональных элементов матриц опускаем). Пара рекурсивных соотношений (76) и (74) используется по оче­ реди. Правое граничное условие определяет Xj, а левое гранич­ ное условие определяет Этот метод оказывается достаточно быстрым, так как он содержит небольшое количество умножений на каждом шаге. В общем же виде рассматриваемая задача нели­ нейна, S = S (ип+1), и для получения самосогласованного реше­ ния приходится использовать итерации.

5. Неявный метод Хейна

а. Одномерный случай

Система уравнений одномерной магнитной гидродинамики может быть решена неявным методом путем сведения к трехдиаго­ нальной форме, изученной выше [1]. Представим эту систему в модифицированном, несколько более точном варианте, который, возможно, и не совпадает с обычно применяемым на практике, а также предположим, что используется лагранжева сетка, так что переносом можно пренебречь. Достаточно рассмотреть следую­ щие простые уравнения:

Так как эти уравнения нелинейны, придется применить итера­ ционный процесс; поэтому мы предположим, что и”, ип+1>р изве­ стны (р — порядковый номер итерации) и что un+1>p+1 должно быть определено. Сущность метода заключается в формальном решении уравнения (71) и подстановке результата в уравнение (77), после чего получается уравнение параболического типа, которое решается методом прогонки при е == 1/2, так что пространственные производные центрированы по времени. Обозначим чертой сред­ нее между точками (п) и (п + 1 , р), а тильдой — среднее между

(п) и (п + 1, р + 1). Тогда

или (группируем первый и третий члены в правой части равен­ ства)

Дифференцируя (80) и подставляя результат в (77), находим

Исследование устойчивости показывает, что множитель перехода по модулю равен единице и что диффузионный член в уравне­ нии (81) полностью гасит неустойчивость, возникающую из-за явного представления градиента магнитного давления в правой части уравнения.

На практике удобно вычислять скорость в точках простран­ ственной сетки с целыми индексами, а все остальные переменные в полуцелых точках, чем достигается надлежащее центрирование первых производных в пространстве. Уравнение магнитного

поля (79) решается с использованием известной величины дѵ/дх во втором члене, а уравнение непрерывности (77) — по формуле

Постоянный шаг по времени подбирается так, чтобы все перемен­ ные изменялись не слишком сильно за один шаг; для этого его подчиняют общему условию

дѵ At

дх 1 Г < 1 ,

которое определено уравнением (82) и другими описывающими адиабатическое сжатие членами. Обычно бывает необходимо не

и после дифференцирования подставляются в (81), а если урав­ нения для полей В е и В z связаны анизотропным сопротивлением, то эти уравнения записываются в форме матриц 2 X 2 и решаются совместно.

б. Случай двух и трех измерений

Хейн [26] обобщил свой метод на случай двух пространствен­ ных измерений, а позднее и на случай трех измерений (не опуб­ ликовано). Рассмотрим простейшую систему гидродинамических уравнений:

dp

364 Гл. 9. МГД-методы

/” и fi± 1 - Иначе можно сказать, что, несмотря на численное рас­ сеяние, коротковолновые моды так сильно затухают, что исчезают полностью, прежде чем распространятся достаточно далеко, и по­ тому не вызывают какой-либо ряби в решении.

Если удалить затухание, то короткие волны смогут свободнораспространяться, а поскольку их скорость (а возможно, и ее направление) отлична от физической скорости ѵ длинноволновых мод, они могут дойти до «спокойных» участков области расчетов, где их амплитуда достаточно велика, чтобы дать заведомо невер­ ный результат. В частности, плотность или температура могут стать отрицательными, что в нелинейных расчетах приводит к опас­ ным последствиям. В методе Лакса — Вендроффа вводится числен­ ный диффузионный член четвертого порядка, который оказывает диссипирующее воздействие ([25], гл. 12), но и он не исключает возможности появления нефизических эффектов.

Понадобилось некоторое время, прежде чем эта возможность была осознана и были приняты дополнительные меры [38], впро­ чем, недавно Хейн *) нашел более изящный подход. Рассмотрим только переносный член в трехмерном случае. Введя обозна­ чения

Простой смысл этого равенства в том, что новое значение /* не должно выходить из области семи известных значений, исполь­ зуемых для вычисления /*. Такая процедура препятствует воз­ никновению ложных максимумов и минимумов, но она вызывает некоторое размытие истинных максимумов и минимумов при их движении по сетке. Другие члены, такие, как сжатие, должны остаться неизменными. Если условие (93) запрограммировать наиболее экономично, то, по нашим оценкам, к затратам машин­ ного времени для І-кодов типа описанных в § 7 добавится около

30%.

в. Псевдолагранжев метод

В таких экспериментах, как восьмиметровый Ѳ-пинч [9, 10], создается длинный тонкий шнур плазмы, помещенный в почти параллельное магнитное поле, причем длина этого шнура в не­ сколько сот раз превышает его диаметр. По отношению к радиаль­ ным смещениям плазма почти равновесна, в то время как вдоль

0 К. Hain, частное сообщение.

силовых линий возникают потоки с околозвуковой скоростью. Диффузия и теплопроводность поперек поля протекают очень медленно, но вдоль поля теплопроводность может быть очень большой. Топология силовых линий остается неизменной.

Лучше всего решать задачи этого типа на координатной сетке, построенной на самих силовых линиях; соответствующие дву­ мерные коды разработаны Хейном [42], а также Хертвеком и Шнай­ дером [43]. Для описания продольного по отношению к магнит­ ному полю течения можно использовать явный метод, а для движе­ ния поперек поля — неявный метод (поскольку поперечный шаг но пространству гораздо меньше). Хейн выбирает силовые линии как одну из систем координатных линий и после каждого шага по времени восстанавливает заново ортогональную систему коор­ динат. Таким образом, поперечное движение описывается лагранжевым методом (в пренебрежении диффузий), а продольное дви­

Другая возможность заключается в использовании неортогональ­ ной сетки, в которой силовые линии образуют одну систему коор­ динатных кривых, а линии z = kAz — другую (фиксированную) -систему.

7. Явные схемы

По соображениям простоты явные схемы могут оказаться предпочтительнее, если нигде в системе альфвеновская скорость не становится чрезмерно большой и продолжительность вычисле­ ний не слишком велика.

а. Консервативные методы

ВN + 1-мерном прямоугольном пространстве-времени консер­ вативные МГД-уравнения (1) — (4) в общем виде можно записать так:

Например, в одножидкостной системе с равными температурами ионов и электронов и — восьмикомпонентный вектор

и = { р , рѵ, В, U)

и F = Р (и). Интегрируя уравнение (94) по пространственно-вре­ менной области R, ограниченной двумя плоскостями t = tn и t = = £"+1, и времениподобной поверхностью S , получаем интеграль­ ный закон сохранения

s