книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

и Каулинг [64], а также Кауфман [65], при выборе локальных

а ке, Kt и р связаны с электронной и ионной температурами так же, как и раньше.

Замечательно, что при ß; -> 0 и ße -> 0 эта система уравнений переходит в систему для случая изотропных коэффициентов пере­

дикулярная энергии ионов входят в уравнение движения через член с тензором напряжений (д/дхх) Vtj. Здесь наглядно видно преимущество выбора силовых линий в качестве локальных коор­ динат [431, так как при этом характеризующие перенос тензоры

вбесстолкновительном пределе принимают диагональный вид. Уравнения (30) и (31) не вполне совместимы, так как, согласно

Онзагеру [6 6 ], члены, описывающие поток величин j и qe, долж­ ны линейно зависеть от сил D и V Те, где

Слагаемые р -D и х - ^ Т е представляют собой так называемые термоэлектрические члены. Используя, как и выше, локальные координаты еи е2, е3, получаем

350 Гл. 9. МГД-методы

в случае низкой плотности плазмы (преобладает радиационная рекомбинация)

где / 4 — энергия ионизации.

2) Равные температуры ионов и нейтральных частиц. Допу­ скается проскальзывание. Можно построить динамическую модель, в которой допускается конечное проскальзывание ионов, но темпе­

-gf (рпѴп) + У '(РпѴпѴп + рп) = (ага?Хі—5/гги„ѵ„) тп+ ѵіарп (ѵг — ѵп),

(55)

где Р 1 — тензор полного давления плазмы, а ѵіа — частота столк­ новений ионов с нейтральными частицами. Закон Ома теперь нужно модифицировать так, чтобы включить в него эффекты столкновений между электронной и нейтральной компонентами среды:

р1 — модифицированное сопротивление, содержащее частоту столк­ новений электронов и нейтральных частиц ѵеа,

где аеп — сечение взаимодействия электронов и нейтральных частиц.

3) Раздельные температуры ионов и нейтральных частиц. Последняя модель представляет собой трехжидкостное описание с раздельными температурами ионной и нейтральной компонент. Теперь в систему уравнений нужно включить еще уравнение

для тепловой энергии нейтральной компоненты:

(59>

еп — внутренняя энергия на единицу массы нейтральных частиц^ а хіп — время выравнивания температур между ионами и ней­ тральными частицами при упругих столкновениях. Последнее слагаемое в уравнении (59) описывает увеличение тепловой энер­ гии нейтральной компоненты, вызванное «химическими реак­ циями».

В каждой из трех описанных выше моделей уравнение дли энергии электронов модифицировано путем учета «химических» реакций. Эпплтон и Брей [68 ] показали, что для оптически тон­ кой плазмы в правую часть уравнения (2 1 ) можно добавить допол­

в соответствующие уравнения можно также включить упругий обмен энергией между электронами и нейтральными частицами. Модель одномерной частично ионизованной плазмы, в основном аналогичная случаю 3, была описана Дж. Тейлор и К. Роберт­ сом; подобный же код был развит Дачсом [15, 7].

б. Расчеты для плазмы с примесями

Небольшая доля примесных ионов может привести к сущест­ венному эффекту охлаждения лабораторной плазмы [71]. Такой механизм потерь энергии можно в явном виде включить в МГДуравнения ценой минимального их усложнения. Ранее в уравне­ ние для энергии электронов (2 1 ) были включены потери на тор­ мозное излучение, учет влияния примесей осуществляется добав­ лением члена —(?imp в правую часть уравнения (2 1 ).

Предполагается, что примесные атомы связаны с ионным течением, описываемым МГД-уравнениями. В конце каждого шага по времени остается вычислить локальные потери энергии, вызван­ ные примесями, при найденных значениях электронной плотности и температуры. Механизм потерь энергии обусловлен взаимодей­ ствием электронов с атомами примесей, в котором рассматривают­ ся два процесса: ионизация электронами

динамическое равновесие, и использовать стационарные уравне­ ния для ионизации, так как типичное характерное время уста­ новления равновесного состояния этих процессов может быть больше времени жизни плазмы. Используются нестационарные уравнения из модели солнечной короны [72]:

Здесь Nb — число примесных атомов (ионов) в состоянии к, при­ чем правая часть (63) описывает различные атомные процессы со скоростями a ih (пе, Те).

6. Граничные условия

а . І-коды

При изучении идеализированных физических явлений есте­ ственно выбирать простейшие граничные условия. Обычно сеточ­ ную область считают ограниченной жесткими непроницаемыми стенками, плоскостями симметрии или геометрически выделенны­ ми точками модели. Другая возможность — введение периодиче­ ских граничных условий.

Наиболее просты граничные условия на симметричных пло­ скостях, так как в вычисления можно включить дополнительную сеточную плоскость, на которой легко восстановить физические

точные интегральные законы сохранения к сеточной окрестности особой точки. Так, для плотности в начале координат одномерной цилиндрической системы имеем

- jf (я (Ar)2 р (0)) = — 2яДгр (Дг) ѵг (Дг),

где предполагается, что р (0) представляет среднюю по цилиндру радиусом Дг плотность, в то время как азимутальное магнитное

в цилиндре радиусом Дг; тогда полный ток внутри этого цилиндра

Однако если шаг сетки в окрестности особой точки становится

изводных полезно иметь это в виду.

Для уравнений магнитного поля предположим, что стенки либо идеально проводящие, Е ц = 0 , либо идеально проводящие и по­ крытые тонким изолирующим слоем, /Д = 0 , так что на границе могут происходить обменные движения [73]. Это препятствует прониканию изменяющегося магнитного поля за пределы области вычислений. В случае уравнений для энергии стенки можно рас­ сматривать как термостат постоянной температуры Те = Т г = = const.

2 3 -01236

При изучении реальных экспериментальных установок возни­ кают гораздо более серьезные трудности. МГД-модель, пригодная для задачи внутри области, может оказаться неадекватной на стенке, и для согласования граничных условий придется решать отдельную систему уравнений (соответствующую физическим условиям на стенке и учитывающую нейтральные частицы и рабо­ ту выхода материала стенки). Такой метод слишком сложен и обыч­ но не используется. Более привлекательный подход состоит в ис­ пользовании подходящих эвристических граничных условий, о которых будет сказано ниже. Можно отметить четыре типичных ситуации.

1) Простейший случай ограниченной плазмы, удерживаемой на расстоянии от стенок магнитным полем, силовые линии кото­ рого замыкаются внутри плазмы, как в тороидальном пинче. По­ скольку разряд сжимается, то маловероятно, чтобы влияние стенки было велико, хотя возможен и критический эффект, кото­ рый трудно рассчитать на ранней стадии. Для «Токамака» или «Стелларатора» может оказаться необходимым внимательное изуче­ ние граничных условий на диверторе или диафрагме.

2) В Ѳ-пипче силовые линии выходят из плазмы на концах катушки и проходят через изолирующую стенку камеры, так что плазма удерживается в области, форму которой трудно опреде­ лить. Основные трудности в этой части стенки связаны с элект­ рическим полем Ez, которое может распространяться в виде альфвеновской волны с круговой поляризацией, а также с тепловой связью между электронами и стенкой. Это интересная двумерная задача, которая все еще удовлетворительно не решена.

3) Тесная связь между плазмой и стенкой существует в уста­ новках с плазменным фокусом, где в (г, 2)-плоскости возникает течение вдоль коаксиального канала между двумя цилиндриче­ скими электродами, в котором магнитное поле существует только в Ѳ-направлении. Можно ожидать, что на поверхности электродов будут возникать довольно сложные граничные гидродинамические слои. В отличие от соответствующей ситуации в обычной гидро­ динамике здесь мы до сих пор не знаем достаточно адекватных граничных условий.

4) Наконец, можно отметить стабилизированный линейный z-пинч, в котором пронизывающие плазму силовые линии выходят из двух электродов, приводя к сильному охлаждению и загряз­ нению плазмы металлическими примесями.

356 Гл. 9. МГД-методы

Так как альфвеновская скорость СА — В/p1!2 становится боль­ шой в области низкой плотности и сильного магнитного поля, явные методы приводят к жестким ограничениям на шаг по вре­ мени и, казалось бы, техника неявных расчетов предпочтитель­ нее. С другой стороны, математически не установлено, что обыч­ ные неявные методы переменных направлений и дробных шагов ([25], гл. 8) пригодны для случая сильной анизотропии, а с физи­ ческой точки зрения это выглядит весьма сомнительным.

Поскольку многие физические величины переносятся вместе с плазмой, было бы естественно использовать лагранжевы коор­ динаты, устраняя вместе с тем и эффект фиктивной численной диффузии [24]. Однако это выполнимо лишь при весьма простом движении среды, так как иначе сетка слишком искажается. Поэто­ му обычно приходится применять эйлерову схему с высоким порядком аппроксимации переносного члена. В этом случае корот­ коволновая рябь, распространяющаяся со слегка неточной ско­ ростью (численное размытие), может привести к нефизическим значениям переменных — например, плотность или температура могут стать отрицательными. Для предотвращения этого прихо­ дится применять специальные меры.

До сих пор не создано единой разностной схемы, пригодной для решения многомерных МГД-задач общего вида, и лишь ограниченное число проблем может пока вообще рассматриваться. В связи с этим данный параграф содержит описание ряда приемов и предложений, а не является полным обзором разностных мето­ дов. Особо выделим три схемы: неявную схему Хейна и явные схемы: «с перешагиванием» и Лакса — Вендроффа.

Лагранжев вариант неявного метода Хейна, дающий общее решение одномерной задачи, распространяется на случаи двух и трех измерений, хотя все еще не ясно, насколько хорош этот метод в анизотропном случае. Для І-кодов с изотропными и по­ стоянными коэффициентами переноса подходит схема «с переша­ гиванием» (§ 7), которая позволяет решать задачи весьма общего типа. Для аппроксимации диффузионного члена в этой схеме используется метод Дюфора — Франкела [25], но, поскольку последний становится неудобным, когда коэффициенты диффузии

Сформулированные во второй главе системы дифференциаль­ ных уравнений в частных производных, описывая МГД-модели возрастающей сложности, содержат четыре основных типа физи­ ческих процессов:

а) эллиптические,