книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

338 Гл. 9. МГД-методы

электронами и ионами, что выразится в неправильных значениях электронной Те и ионной T t температур. Эта ошибка в свою оче­ редь может исказить основной поток за фронтом ударной волны. Для решения этой проблемы необходимо либо экспериментально, либо путем аналитических или численных расчетов найти правиль­ ное описание структуры бесстолкновительной ударной волны и совместить его с основным МГД-решением, например, путем аппроксимации структуры ударной волны или выбором подходя­ щего набора повышенных коэффициентов переноса.

Этой проблемы нет в обычной гидродинамике сжимаемой жид­ кости. Хотя и здесь уравнения вязкой жидкости неприменимы внутри сильной ударной волны, для получения условий сшивания на фронте ударной волны трех величин: р (плотности), ѵ (скорости) и Т (температуры) — достаточно трех законов сохранения — массы, импульса и энергии (соотношения Рэнкина — Гюгонио). Основной поток не зависит от внутренней структуры ударной волны, поэто­ му при вычислениях можно проходить через фронт ударной волны, пользуясь искусственно введенной для уширения численного реше­ ния вязкостью [37, 25]. В магнитной гидродинамике для пяти переменных, р, ѵ, В, Те и Т имеется четыре закона сохранения: массы, импульса, потока и энергии, так что решение не определе­ но. Часто используют искусственную вязкость, однако такой

чин вычислительные трудности представлялись весьма значитель­ ными:

1) Если для подавления аномальной численной диффузии, вызванной неточным представлением переносного члена, исполь­ зовать подвижную лагранжеву разностную сеть, то выражение сложных МГД-уравнений в разностной форме становится весьма трудоемким, а их решение дорогостоящим; также невозмож­ но и применение неявной вычислительной схемы Хейна. По­ этому во всех расчетах, кроме тех, в которых искажения на сетке не слишком сильны, необходимо применять эйлеровы схемы.

2) Вне движущейся плазменной границы аксиального разряда ro ~ ro (z> t) вакуумные поля (В г, В ѳ, B z) уже не имеют такого простого вида В ѳ ~ 1/г, В г = const, В г = 0, как при одномер­ ной цилиндрической геометрии, и в общем случае приходится решать уравнение Лапласа в области, имеющей сложную и изме­ няющуюся на каждом шаге по времени форму.

3.R-коды и І-коды

Ввычислительной магнитной гидродинамике существует два основных подхода. При одном из них, уже обсуждавшемся, пы­ таются как можно точнее моделировать реальный эксперимент, что в физике плазмы означает преодоление трудностей, связанных

сплохой определенностью граничных условий и большим числом различных членов в уравнениях. Вычислительные программы такого типа будем называть «R-кодами». Другой подход подобен общепринятому в прикладной математике: выбирают простейшие идеализированные уравнения, граничные условия и геометрию, которые приводят к интересным результатам, а затем исследуют последствия такой идеализации. Примеры таких упрощений: прямоугольная область с прямоугольной эйлеровой сеткой, одно­ родные изотропные сопротивления, теплопроводность и вязкость, периодические граничные условия или твердые, идеально проводя­ щие, термоизолирующие стенки. Такие вычислительные програм­ мы будем называть «І-кодами».

Некоторая часть работ следует вторым путем, и одной из важ­

ных областей исследования является двумерная гидродинамика несжимаемой жидкости. В том случае, когда движение происходит только в плоскости (X, у), нужно решать два уравнения Пуассона: одно для гидродинамической функции потока i|)z в зависимости от завихренности £г и другое для векторного потенциала A z в за­ висимости от тока іх- Если геометрия достаточно проста, то можно использовать программу Хокни для решения уравнения Пуас­ сона [57, 58] или какой-нибудь другой метод быстрого преобразо­ вания Фурье, для которых сейчас имеются стандартные под­ программы во многих библиотеках. Этот тип І-кодов может быть использован для изучения нелинейной устойчивости, конвекции и турбулентности при низких значениях магнитного числа Рей­ нольдса.

4.Трехмерные расчеты

Внастоящее время І-коды позволяют изучать важный класс задач трехмерной магнитной гидродинамики сжимаемой жидко­ сти, представляющих интерес для астрофизики и других областей. Такие вычислительные машины, как IBM 360/91 и CDC 7600, обладают вполне достаточным быстродействием для решения задач этого класса на сетке 64 X 64 X 64, поэтому основное требование предъявляется к объему оперативной памяти, в которой прихо­

ІО9 бит и скорость передачи информации ІО9 бит/с, что более чем

достаточно для данной цели. Эти коды могут быть разработаны и отлажены на гораздо менее быстродействующих машинах при использовании меньшего числа узловых точек (§ 7).

§2. М Г Д -м одели

Вэтом параграфе обсуждаются некоторые возможные системы дифференциальных уравнений в частных производных и гранич­ ные условия. Это обсуждение носит скорее вводный, чем оконча­ тельный, характер, но оно должно послужить основой для пост­ роения разнообразных R- и І-кодов. Удобной отправной точкой служит система уравнений для изотропной сжимаемой проводящей

среды, предложенная Джефри [61]; она может быть приспособле­ на для более простых, легче решаемых на машине задач (напри­ мер, для случаев постоянных коэффициентов переноса и несжи­ маемого течения) или обобщена путем учета ряда физических эффектов, которые важны в реальной плазме. Программирование можно упростить, выбрав единицы таким образом, чтобы не появ­ лялись коэффициенты 4зт, с (скорость света) и к (постоянная Больц­ мана). Тогда давление среды связано с плотностью и температурой соотношением р = рТ, а магнитное давление имеет вид В2!2.

В эйлеровой консервативной форме уравнения имеют вид

таким образом, в случае трех измерений система содержит всего

а %— коэффициент продольной вязкости. Полная энергия имеет

342 Гл. 9. МГД-методы

Обычно внутреннюю энергию на единицу массы е и давление р

Электрическое поле определяется из закона Ома для движущей­ ся среды в простейшей форме:

где е — единичный вектор, а к — коэффициент теплопроводности. Шесть слагаемых в этом выражении представляют перенос кине­ тической и тепловой энергии, работу сил давления среды и вяз­ кости, вектор Пойнтинга и теплопроводность.

Поскольку уравнения (1) — (4) записаны в консервативной форме, их нетрудно решить консервативным разностным методом, например обобщением схемы Лакса — Вендроффа, используемой в гидродинамике [25]. В этом случае точное сохранение массы, импульса, магнитного потока и полной энергии обеспечивается автоматически, так как каждый член правой части дифференциаль­ ного уравнения входит дважды, описывая сначала вытекание из одной ячейки сетки и затем втекание в соседнюю ячейку. Могут, однако, возникнуть некоторые трудности, если величины трех членов в [7] сильно различаются. Например, при низких значе­ ниях ß (ß — отношение давления среды к магнитному давлению) малые ошибки в вычислении магнитного поля могут возрасти и проявиться как аномальный нагрев или охлаждение плазмы. Поэтому может оказаться, что предпочтительнее использовать неконсервативную разностную схему, основанную на уравнении для тепловой энергии:

— div(pev) — pd ivv - f 7 i;- - |^ + r]f + div(xgradr). (И)

В такой записи все описывающие нагрев члены входят явно, причем первые четыре слагаемых в правой части содержат произ­ водные только первого порядка, вычисляемые в центре ячейки сетки, так что их легко найти численно. [В уравнении (4) вели­ чины j и Vij приходится вычислять на краю ячейки.]

Теперь мы запишем три системы уравнений, соответственно (А), (В) и (С), которые описывают поведение идеализированных несжимаемых и сжимаемых жидкостей с постоянными коэффициен­ тами переноса. Выбрав прямоугольную декартову сетку с просты­ ми граничными условиями, можно будет использовать эти урав­ нения для изучения трехмерных МГД-процессов на крупнейших из существующих ЭВМ (§ 7).

1. Магнитная гидродинамика несжимаемого течения

Для численного решения этого уравнения существуют два основ­ ных метода.

П е р в ы й м е т о д состоит в исключении давления, для чего вычисляем ротор от уравнения движения:

где £ = rot V — завихренность, а ѵ = р/р — кинематическая вяз­ кость. Соответствующее уравнение для магнитного поля имеет вид

где сопротивление ц также считается постоянным. Скорость опре­ деляется с помощью функции потока oj^, а последняя вычисляется из завихренности с помощью решения уравнения Пуассона:

веновской скоростью [61], то при решении уравнений (13) и (14) по явной схеме на шаг по времени накладывается условие Куран­ та — Фридрихса — Леви.

В т о р о й м е т о д состоит в том, чтобы, вычислив диверген­ цию от уравнения (12), получить уравнение Пуассона для давле­ ния. Естественно объединить давление среды и магнитное давле­ ние:

После вычисления полного давления его подставляют в уравне­ ние (1 2 ), которое решают обычным способом.

коэффициентами переноса. Введение отдельной электронной тем­ пературы с необходимостью приводит к членам, описывающим уравнивание энергии и джоулев нагрев, а также к учету тормоз­ ного излучения. При этом предполагается, что столкновения в плазме играют определяющую роль,

^се^еі ^

где (£>се = еВ/гПрС — электронная циклотронная частота, а хеі — характерное время электрон-ионных соударений. Случай трех пространственных измерений описывается девятью уравнениями,, а именно уравнениями (1) — (4) и уравнением для электронной энергии

(рее) = — Ре div V— div (peev + хе grad Те)~f-

В последнее явно входят члены, описывающие потерю тепловой энергии электронов через передачу к ионам (характерное время выравнивания тед) и через тормозное излучение (постоянная Ста)- Уравнение состояния связывает ее и Те

ее

Те

7 -1 ’

Как уже говорилось выше, уравнение для ионной энергии может оказаться предпочтительнее уравнения сохранения полной энер­ гии

Если это не так, то в уравнение (4) необходимо включить член, описывающий тормозное излучение.

Для рассматриваемого случая с определяющей ролью столк­ новений подходят коэффициенты переноса, данные Спитцером [62]:

ненты ионного тензора потока тепла. Одномерный код для Ѳ-пинча ■с раздельными значениями Тщ и Тц_ был разработан Фишером {не опубликовано).

в. Обобщенные коэффициенты переноса

Члены, описывающие перенос величин j, qe, q; и V, теперь уже не имеют простой связи с «кажущимися» силами Е + v X В. ТТ е, ѴГг и dvjdxj. Если взять первый момент уравнения Больц­ мана для электронной компоненты плазмы и пренебречь инерцией

Можно установить следующую связь между тензором напря­ жений Ѵц (с равной нулю сверткой) и тензором вязкости Навье —