книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

20 Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация

память. В момент разработки кода это не было важно, так как машинное время существенно ограничивало размер системы, кото­ рый можно было рассмотреть.

Описанный метод времен пересечений можно использовать и для однокомпонентной задачи. При вычислении времен пересечения

(б — расстояние между частицами). С другой стороны, для двух­ компонентной модели можно использовать приближенный метод разыскания времени пересечения, применяемый в однокомпонент­ ной модели. Это было сделано и дало хорошие результаты (по су­ ществу метод так же быстр и сохраняет энергию с точностью до четырех значащих цифр в процессе счета при ti>pt äj 100).

4. Проблема шумов и столкновений в модели плоских листов

Поскольку модель плоских листов состоит из отдельных частиц, то в ней происходят явления типа столкновений. Каждый раз, когда какой-то лист пересекает другой, появляется скачок в силе, которая действует на лист, и его орбита изменяется. Эти скачки приводят к эффектам типа столкновений, которые могут замаскировать эффекты, подлежащие исследованию. Если мы намерены использовать наш код, то важно понять эти эффекты. Впрочем, эти эффекты интересны и сами по себе, поскольку они связаны с кинетической теорией плазмы. Многие положения этой теории могут быть детально проверены на этой модели [2, 4, 5, 10].

Когда стандартная кинетическая теория плазмы, в которой используется только двухчастичная корреляционная функция, применяется к однокомпонентной модели плоских листов, то все устойчивые функции распределения оказываются не зависящими от времени. Этот результат в общем физически естествен. Рас­ смотрим две одинаковые частицы в одномерном пространстве, которые вначале имеют скорости щ и ѵ2. Включим взаимодействие

между ними. После взаимодействия их скорости будут и ѵ2. Благодаря сохранению энергии и импульса имеются две сохра­

В любом из двух случаев функция распределения не изменяется.

Можно было бы ожидать, что в плазме, где одновременно взаимодействует много частиц, эти два закона сохранения не да­ дут полной картины. Однако теория рассматривает все взаимо­ действия как слабые, и, следовательно, соответствующие эффекты будут аддитивными (предполагаем, что сталкивающиеся частицы некоррелированы, или хаотичны). Влиянием одного столкновения

т

6

ѵо ѵо

Ф и г . 3. Прямоугольная функция / (ѵ).

а — след за быстрым листом; б — начальное распределение по скоростям.

на другое пренебрегается, поэтому законы сохранения по-преж­ нему фиксируют результат. На самом деле при одновременном соударении одно столкновение воздействует на другое, и потому должен быть какой-то столкновительный эффект.

Эти положения были проверены на численном эксперименте в однокомпонентной модели плоских листов. Была определена истинная скорость релаксации к максвелловскому распределе­ нию [10]. Исследовалось изменение во времени распределения, которое вначале имело прямоугольный профиль, показанный на фиг. 3. Начальную скорость частицы получали в результате вычисления случайного числа, которое равнораспределено на ин­ тервале от —1 до 1, и умножения его на ѵ0. Чтобы определить зависимость эволюции во времени от кинетической энергии или

ные ѵ0. Начальные положения частиц выбирались равномерно распределенными в пространстве. За время первого колебания плазмы вокруг каждой частицы образовывались экранирующие облака. Образование этих облаков требует некоторой энергии, и результатом является существование короткого периода быст­ рой перестройки, которая скругляет углы распределения. После этой начальной перестройки распределение изменяется очень

Ф и г . 4. Изменение во времени прямоугольной функции распределения.

медленно. На фиг. 4 показана эволюция распределения по ско­ ростям при 5 частицах на дебаевской длине. На, первом графике показано распределение непосредственно после быстрой перестрой­ ки; последующие графики показывают, как распределение релаксирует к максвелловскому. По существу максвелловское распре­ деление достигается при u>pt = 425. Это время гораздо больше того, которое требуется, чтобы группа выбранных частиц достигла основного распределения; последнее составляет только ІОсОр1.

График времени релаксации, полученного из таких вычисле­ ний, в зависимости от (nkD)2 представлен на фиг. 5. Видно, что время релаксации пропорционально (nkD)2. Последнее говорит о том, что к релаксации ведет одновременное взаимодействие

трех частиц, поскольку время релаксации, обусловленной двух­ частичными взаимодействиями, было бы пропорционально nXD, если бы члены этого порядка не сокращались. В настоящее время

Ф и г. 5. Время релаксации как функция (nkD)2.

нет теоретических работ, которые предсказывали бы эту релакса­ цию, хотя время релаксации, во всяком случае его порядок,

zoo

юо

можно оценить, изучая излучение и поглощение волн в результа­ те столкновений частиц.

Интересно, что функция распределения обнаруживает быстрые хаотические флуктуации около некоторого среднего распределе­ ния, которое постепенно релаксирует к максвелловскому. На фиг. 6 показаны флуктуации числа частиц, скорости которых заклю­ чены в малом интервале вблизи нуля. Ясно видны быстрые флук­ туации. Последние обусловлены постоянным обменом между

энергией электрического поля и кинетической энергией частиц. Хотя этот обмен происходит постоянно, его природа такова, что он производит очень малое систематическое изменение. Это дока­ зывает, что медленная релаксация распределения возникает из очень тонкого баланса, и, следовательно, описываемые вычис­ ления обеспечивают важную проверку кинетической теории плазмы.

5.Излучение и поглощение продольных волн из-за столкновений

Впредыдущем пункте мы видели, что столкновения двух частиц не изменяют функцию распределения однокомпонентной

плоских листов не приводят к термализации функции распределе­ ния, то как они могут привести к излучению и поглощению плаз­ менных волн? Ответ заключается в следующем. Отсутствие релак­

сации при двухчастичных столкновениях является следствием законов сохранения энергии и импульса. В случае излучения и поглощения волны имеется третий партнер — волна, которая также несет энергию и импульс, так что указанные законы сохра­ нения не будут больше полностью определять окончательный результат. Была развита теория излучения продольных волн

[12, 13], которая учитывает ускорение двух частиц и их экрани­ рующих оболочек, когда они сталкиваются друг с другом. По су­ ществу эта теория идентична той, которая используется для описа­ ния слабой турбулентности в плазме. Таким образом, проверка теории излучения продольных волн одновременно обеспечит и проверку теории слабой турбулентности, по крайней мере для волн малой интенсивности, которые здесь рассматриваются.

Теория излучения продольных волн проверялась на одноком­ понентной модели листов [14]. Возникающее здесь излучение аналогично тому, которое появляется от столкновений электронов с электронами (столкновения одинаковых частиц). График зави­ симости интенсивности излучения от волнового числа (обратно пропорционального длине волны) представлен на фиг. 7. Сплош­ ная кривая дает излучение, предсказываемое теорией. Точки соответствуют результатам численного эксперимента на системе 1000 частиц, когда на дебаевской длине было 7,5 частиц. Согласие очень хорошее, причем интенсивность излучения изменялась на три порядка.

26Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация

Кизлучению волн из-за столкновений частиц тесно примыкает поглощение волн по той же причине. Столкновительное погло­ щение волн можно детектировать по излучению благодаря тому, что излучение и поглощение должны приводить к тепловому равновесию, в котором каждая мода колебаний имеет энергию кТ. На фиг. 8 представлен график зависимости декремента затухания для волн от волнового числа (числа длин волн, которые уклады­ ваются в системе). Система содержала 1000 листов и имела 7,5 час­ тиц на дебаевской длине. Сплошная кривая получена из теории и является суммой двух пунктирных кривых, характеризующих «столкновительное затухание» и затухание Ландау. Кривая столкновительного затухания получена из только что обсуждавшейся теории столкновений. Затухание, представленное кривой с отмет­ кой «теория Ландау», не связано со столкновениями, а возникает от поглощения энергии частицами, которые движутся с фазовой скоростью волны.

с листами, было бы полезно использовать несколько измененные модели. По существу нас интересуют не детали движения частиц, а скорее коллективное движение в целом, которое содержит мно­ го степеней свободы. Нужно иметь возможность моделировать плазму таким образом, чтобы правильно трактовать ее поведение в целом, несмотря на игнорирование деталей, связанных со столк­ новениями частиц.

Существует несколько подходов к этой проблеме. Первый, который мог бы показаться наиболее прямым, требует решения уравнения Власова численно. Это было выполнено с некоторым успехом [15—18]. Однако здесь имеется принципиальная труд­ ность, благодаря которой такой подход пригоден только для опи­ сания движения на ограниченном отрезке времени [16, 18]. Дей­ ствительно, уравнение Власова описывает систему с бесконечным числом степеней свободы (бесконечное число частиц). До тех пор пока функция распределения имеет относительно простую форму, так что ее можно описать несколькими параметрами, можно сле­ дить за ее эволюцией. Однако если функция распределения приоб­ ретает такую сложную структуру, что для ее описания требуется большое число параметров (порядка нескольких тысяч), то из-за конечных размеров ЭВМ мы не можем больше следить за деталями движения. Поскольку функция распределения обычно приобре­ тает такую сложную структуру (вероятно, это так во всех случаях,