книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

Ф и г . 8 (а—г). Распределения частиц в плоскости (г, z), полученные из'чис-

ленного расчета шланговой неустойчивости.

в каждой ячейке распределены однородно по этой ячейке таким образом, что величины rt и ЛѲг в формуле (И) можно заменить на значения этих величин гс и ЛѲі в центре ячейки. Иногда форму­ ла (11) принимает вид

nc

После выполнения суммирования в (11а) потенциал А ѳ вычис­ ляется из размерного уравнения для поля:

Если формулу (11а) подставить в обычную разностную форму вто­ рого порядка для уравнения (12) и использовать метод последо­ вательной верхней релаксации (SOR), то окончательная итера­ ционная схема для значений А§ в центре ячейки примет вид

J и К — г- и z-индексы центров ячеек соответственно, а новые значения используются в правых частях там, где выгодно. Гранич­ ные условия на А ѳ накладываются во время релаксации. На прак­ тике используются линейные экстраполяции от последних двух временных шагов, чтобы получить начальные значения потенциала А ѳ (/, К) для итерационного решения уравнения (13). Если вре­ менной шаг At достаточно мал, чтобы обеспечить приемлемую точ­ ность в других частях проблемы, то эти экстраполированные зна­ чения оказываются превосходными начальными приближениями. Любое сравнение итерационных методов с другими методами, например с преобразованием Фурье, незаконно, если не учитывать этот факт. Практически сходимость с точностью до ІО-3 достигается после 10—20 итераций с SOR-фактором W ж 1,7. Если используют достаточное число частиц, чтобы удержать статистические флук­ туации на приемлемом уровне, то эти итерации отнимают примерно 15% от полного времени вычислений. После определения Ад (J, К), поля ВТ и Вг вычисляются по формуле В = V х А, или

(14)

методом центрированных разностей. Вплоть до этого момента положения частицы известны в текущий момент, а компоненты скорости ѴГ и Vz известны в предшествующее время, отдаленное на половину временного шага. Далее частицы перемещаются в соот­ ветствии с уравнениями движения

z+i = z0 + Fz, +1/2At.

Взятые в таком виде, эти уравнения центрированы во времени, фактически обратимы (полезный результат сохранения Рд) и, сле­ довательно, дают ошибки обрывания порядка (At)s.

Величины Ад, Вти Bz в уравнениях (15) определяются для поло­ жения каждой частицы отдельно путем усреднения по четырем ближайшим центрам ячеек. Нужно заметить, что пока () 1,

не было необходимости использовать усреднение по площади при вычислении сумм в уравнении (13) для / Ѳс и N c.

На фиг. 8 представлена последовательность распределений частиц в плоскости (г, z), полученных из численного расчета шлан­ говой неустойчивости. Нижний край соответствует оси цилиндра, верхний край является электропроводящим, т. е. здесь А ѳ —

=const, граничные и отражающие условия применяются как для

Аѳ, так и для движения частиц на концах. Нанесенные линии явля­ ются линиями уровня функции потока гНѳ и, следовательно, силовыми линиями магнитного поля. Начальное поле Вг изменяет свое направление на обратное между внутренней и внешней сто­ ронами слоя плазмы, обращаясь в пуль в середине. Система не­ устойчива, поскольку начальная температура Тг вдоль z в 25 раз

Физический результат этого счета заключается в том, что деформация плазмы и поля нарушала z-симметрию и вследствие этого вызывала выравнивание Тг и Т±. Впоследствии плазма опять образовывала не зависящий от z слой с большей толщиной по г, чем вначале, из-за возросшей температуры Гр. Применения этой модели к желобковым и тирииговым модам можно найти в работах

9.Kahn H., Mathematical Methods for Digital Computers, eds. A. Rolsten and H.S. Wilf, New York, 1965.

10.Shonk C. R,, Morse R . L., Paper C3 в трудах [5].

11.Morse R . L., Los Alamos Report LA-3844-MS, 1968.

12.Morse R . L., Nielson C. W., Paper A4 в трудах [5].

13.Morse R . L„ Nielson C. W., Phys. Fluids, 12, 2418 (1969); Phys. Rev.

Lett., 23, 1087 (1969).

14. Buzbee B. L., Golub G. H ., Nielson C. W., Los Alamos Report LA-4141,

LA-4288; см. также SIAM Journ. Numer. Anal. (1969).

15. Dickman D ., Morse R . L., Nielson Cf W., Paper C2, в трудах [5].

16—01236

Поскольку полученные выражения содержат свертки, то их можно

ской проницаемости однородного бесстолкновительного газа из облаков в приближении Власова и, следовательно, дисперсионные соотношения не изменяются по форме, за исключением того, что квадрат плазменной частоты Юр нужно всюду умножить на S 2 (к). Однако нужно проявлять некоторую осторожность; например, в однородном внешнем магнитном поле правильное значение к, которое нужно использовать в циклотронной частоте нулевого порядка сос0 = qS (к)/тс, равно 0, поэтому и>со не изменяется по сравнению с величиной для точечной частицы.

Рассмотрим теперь два примера, чтобы пояснить переход к тео­ рии облаков.

1. Продольные плазменные колебания малой амплитуды

Продольная диэлектрическая проницаемость плазмы из обла­ ков имеет вид

и координат выбрана в виде exp (ik -x — iwt) и использованы обычные соображения относительно аналитических свойств. Для максвелловского распределения по скоростям без дрейфа и с теп­

{R — 2Kd), причем в обоих случаях плотность облака однородна.

246 Гл. 6. Система частиц конечных размеров

Поучительно выяснить аналитически, где и почему эти результаты отличаются от результатов для точечных частиц, которые изло жены ниже.

В случае kvJS®p = kXDIS<^1 можно использовать асимпто­ тическое разложение для Z' при больших аргументах и найти

Ф и г . 2. Дисперсионная диаграмма: зависимость частоты ш от волнового числа к для однородной теплой максвелловской плазмы из малых облаков

с однородной плотностью (R = 0,1Хд).

Вслучае малых облаков (R < XD) и слабого затухания kR < <CkXD<^ 1, поэтому S Ä* 1. Таким образом, как можно было ожидать, слабо затухающие колебания изменяются мало, и это подтверждается фиг. 2.

Вслучае больших облаков (R > XD) и слабого затухания Re со может сильно отличаться от значения для точечных частиц, когда XR ^ 1, что видно из фиг. 3.

В случае kkDIS > 1 колебания сильно затухают. Таким обра­ зом, в плазме из облаков при увеличении к затухание резко нара­ стает, когда kXD~ 1 или когда kR достигает достаточно больших значений (см. фиг. 2 и 3). Для некоторых форм облаков, например для облаков с однородной плотностью [S (к) = sin kRlkR], S — О при конечных к. Когда это происходит, асимптотические решения

для сильного затухания ведут себя так, что Im © -»----оо, Re © -»- 0, как было уже показано на фиг. 2 и 3. Конечно, когда S очень мало, электрическое взаимодействие нарушается, облака не взаимодействуют и изменение во времени не описывается более функцией ехр (— ш£).2

2. Потенциальная энергия экранированного пробного облака; статическая сила

В линейном приближении потенциал пробного облака, центр которого движется через однородный устойчивый бесстолкновительный газ и имеет координаты х0 + \ 0t, определяется