книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

притяжение одноименных частиц вместо отталкивания, и поло­ жить удельный заряд равным квадратному корню из гравитацион­ ной постоянной. Кроме того, расчет потенциала нужно модифици­ ровать, удалив все границы.

а. Цилиндрическая галактика

Двумерная модель плазмы, преобразованная в модель галак­ тики, приводит к системе, состоящей из стержнеобразных звезд.

Такое описание, видимо, будет достаточно правдоподобным для сигаровидных галактик, подобных NGC 2685, однако этого нельзя ожидать в отношении большей части спиральных галактик, кото­ рые представляют собой довольно тонкие дискообразные объекты. Тем не менее многие ранние численные эксперименты были выпол­ нены со стержнеобразными моделями, так как к ним можно было применить развитую для двумерной плазмы методику [43, 20, 21,

3, 31]. Согласование граничных условий проводилось методом, описанным в § 2, п. 7.

Один из таких экспериментов показан на фиг. 17. Всем звездам, заполняющим цилиндр с примерно однородной плотностью, сооб­ щалась одинаковая начальная угловая скорость относительно оси цилиндра, равная половине того значения, при котором силы гравитационного взаимодействия уравновешиваются центробеж­ ными. Сначала цилиндр сжимается примерно до половины на­ чального радиуса, а затем снова расширяется. Во время расшире­ ния при t — 0,5 легко различимы несколько сгущений. Сжатия и расширения продолжаются, и сгущения увеличиваются в раз­ мерах. При этом довольно часто возникают полосообразные струк­ туры, например, при t — 1,3, t = 1,8 и t = 2,2, а при t — 2,0 наблюдается спиральная структура. В конце концов после трех оборотов образуется горячая бесструктурная система.

На фиг. 18 проведено сравнение между структурами, получен­ ными в численном эксперименте, и некоторыми наблюдаемыми галактиками. Сходство очевидно, однако численные спиральные и полосообразные структуры оказываются слишком короткоживу­ щими, чтобы объяснить широкую распространенность таких объек­ тов в природе.

в одной плоскости. Миллер и Прендергаст [25] рассмотрели дви­ жение 120 00Q точечных звезд в двумерно-периодической системе галактик. Хол и Хокни [26] изучали модель изолированной систе­ мы из 50 000—200 000 точечных звезд (см. § 5). В этой модели поля вычислялись по методу преобразования Фурье (см. § 4, п. 2).

Фиг. 19 показывает распад тонкой дискообразной галактики. Сначала весь диск как целое вращался со скоростью, при которой гравитационное взаимодействие уравновешивалось центробежной силой, и при этом движении отсутствовал разброс по скоростям. Численный эксперимент показал, что такая система чрезвычайно неустойчива и что диск распадается на три или четыре подсистемы скорее, чем за один оборот. Эта неустойчивость была предсказана Тумром [44] на основании линейного рассмотрения для малых амплитуд. Численный эксперимент позволил исследовать нелиней­ ное развитие системы при больших амплитудах. После пяти обо­ ротов в системе наблюдалось образование единственного бесструк­ турного сгущения.

Расчеты проводились на CDC 6600 для 50 000 звезд на сетке 64 X 64. Один шаг по времени без вывода на экран требовал 5,6 с. Было выполнено несколько контрольных просчетов для 200 000 звезд на сетке 128 X 128.

14 -01236

5. Gentry'R. А ., Harlow F. II., Martin R . E ., Meth. Comput. Phys., 4, 211 (1965). 6. Hockney R . W ., Journ. Assoc. Comput. Mach., 12, 95 (1965).

7. Cooley J . W ., Tukey J . W ., Math. Comput., 19, 297 (1965).

8.Gentleman W. M ., Sande G., «Fast Fourier transforms — for fun and profit», 1966 Fall Joint Computer Conf. AFIPS Proc. (Spartan, Washington, D.C.)

29, p. 563 (1966).

9.Cochran W. T ., Cooley J . W ., Favin D . L ., Halms II. D ., Kaenel R . A ., Lang W. W ., M aling G. C., Nelson D . E ., Rader C . M ., Welch P . D ., IEEE Trans. AU-15, 45 (1967).

10.Runge C., Zs. Math. Phys., 48, 443 (1903).

11.Hockney R . W., Tech. SUIPR Rep. No. 53. Inst, for Plasma Res., Stan­ ford Univ., Stanford, Cal. 1966.

12.Cooley J . W ., Lewis P. A . W ., Welch P. D ., «The fast Fourier transform

algorithm and its applications», IBM Res. Rept. RC 1743, Feb., 1967.

13.Buneman О., Фортран-программы, которые были распространены на APS Topical Conf. Numerical Simulation of Plasma (Los Alamos, N.M., 1968);

17.Birdsall С. K ., Fuss D ., Journ. Comput. Phys., 3, 494 (1969).

18.Базов В., Форсайт Дж., Разностные методы решения дифференциаль­

ных уравнений в частных производных, ИЛ, 1963. 19. Hockney R . W ., Journ. Appl. Phys., 39, 4166 (1968).

20.Hohl F., NASA Tech. Note D-4646, 1968.

21.Hohl F., Bull Astronom. Serie 3, 3, Facsimile 2, 227 (1968).

25.Miller R . II., Prendergast К . H ., Astrophys. Journ., 151, 699 (1968).

26.Hohl F., Hockney R . W ., Journ. Comput. Phys., 4, 306 (1969).

27.Byers J . A ., Phys. Fluids, 9, 1038 (1966).

28.Wadhwa R . P ., Buneman О., Brauch D . F., AIAA Journ., 3, 107 (1965).

37.Birdsall С. K ., Langdon A . B ., McKee C. F., Okuda M ., Wang D ., Proc. APS Topical Conf. Numerical Simulation of Plasma (Los Alamos. Sei. Lab., Los Alamos, N.M.), Publ, LA-3990, 1968, p. D2-1.

43.Hohl F., Symp. Computer Simulation of Plasmas and Many-Body Prob­ lems NASA Special Publ. SP-153, 1967, p. 323.

44.Toomre A ., Astrophys. Journ., 139, 1217 (1964).

ГЛАВА 5

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ПЛАЗМЫ

СПОМОЩЬЮ МЕТОДА ЧАСТИЦ В ЯЧЕЙКЕ

Р. Мора*

§ 1. В веден и е

Метод частиц в ячейке (PIC-метод) был первоначально развит Фрэнком Харлоу и его сотрудниками в Лос-Аламосе в 1955 г. для моделирования многомерной сжимаемой жидкости и обсуж­ дается в третьем томе настоящей серии. Идея PIC-метода заклю­ чается в том, что можно преодолеть численные неустойчивости и диффузию массы метода Эйлера и трудности искажения ячеек метода Лагранжа в результате объединения лучших черт этих методов. Метод использует регулярные ячейки Эйлера для вычис­ ления макроскопических переменных, например давления и ско­ рости жидкости, тогда как вещество переносится из ячейки в ячей­ ку лагранжевским образом, в виде отдельных модельных частиц.

и сохраняют свою индивидуальность на протяжении всего про­ цесса вычислений. На каждом временном шаге в соответствии с за­ конами сохранения подсчет энергии и импульсов дает внутреннюю, т. е. некинетическую, энергию в каждой ячейке. Эта внутренняя энергия вместе с непосредственно вычисляемой плотностью масс и уравнением состояния вещества определяют распределение дав­ ления, которое затем используется для определения ускорения жидкости и новых скоростей в ячейке. Эти новые скорости в ячей­ ках интерполируются на координаты частиц и используются для перемещения этих частиц по ячейкам сетки и т. д. Уравнение со­ стояния вещества устанавливается совершенно независимо от остального кода. В частности, при рассмотрении очень простой и удобной проблемы аксиально-симметричной плазменной пушки давление единственной компоненты магнитного поля B q удовлет­ воряет требованию скалярности без специальных видоизменений.

В данной главе мы кратко обсудим два применения гидродина­ мического PIC-метода к проблемам такой плазменной пушки, а затем изложим PIC-метод, который используется при модели­ ровании бесстолкновительной плазмы. Следует иметь в виду сле­ дующие различия между двумя областями применения. Скорость

* R . L. Morse, University of California, Los Alamos Scientific Laboratory, Los Alamos, New Mexico.

классической жидкости — однозначная функция координат и, следовательно, характеристика ячейки в гидродинамическом РІСметоде. С другой стороны, в бесстолкновительной плазме в каждой точке пространства существует некое распределение скоростей частиц и нужно детально рассматривать эту микроструктуру, чтобы получить важные физические результаты. Соответственно скорость становится характеристикой частицы, а модельная ча­ стица представляет некоторое число реальных частиц с теми же самыми электрическим зарядом, массой, координатами и скоростью. Характеристиками ячейки в этом случае являются электромагнит­ ные поля, суммарные плотности частиц и возникающие токи. Макроскопическое давление, которое используется в гидродина­ мическом PIC-методе, можно в принципе определить по распре­ делению скоростей в каждой ячейке в бесстолкновительном РІСметоде, но обычно оно не вычисляется.

§ 2. Г и д р о д и н а м и ч е с к и й Р ІС -м ет о д для м о д е л и р о в а н и я а к с и а л ь н о -с и м м е т р и ч н ы х

п л а з м е н н ы х п у ш е к

Поскольку двумерное аксиально-симметричное течение зависит от цилиндрических координат гиг , то используется обычная сетка с прямоугольными ячейками в этих координатах, а процедура вычислений отличается от случая декартовых координат только поправками к разностным уравнениям.

Благодаря большим плотностям и низким температурам, кото­ рые имеются в плазменных пушках, и из-за дополнительных при­ чин, связанных с малостью ларморовского радиуса заряженных частиц, часто можно рассматривать плазму в пушке как класси­ ческую жидкость. Для интересующих нас параметров, включая время процесса, можно пренебречь классической столкновительной диффузией магнитного поля в плазме. Всегда существует воз­ можность появления какого-то аномального сопротивления, но сравнение с экспериментом говорит о том, что при моделировании пушек предположение о нулевом сопротивлении вполне разумно. Кроме того, когда имеется магнитный поток, вмороженный в плаз­ му, отношение потока к массе модельной частицы постоянно во времени, а уравнение состояния связывает возникающее магнит­ ное давление с уравнением состояния вещества, которое обычно имеет форму адиабатического закона с у = 5/3.

Подробное изложение гидродинамического PIC-метода читатель может найти у Харлоу в третьем томе настоящей серии и у Амсдена [1]. Однако один вопрос полезно будет обсудить здесь, посколь­ ку, в частности, он существен для бесстолкновительного РІС-мето- да. Многим читателям известно, конечно, что PIC-коды содержат некоторое сглаживание, но они не представляют себе его формы

характеристики частицы по площади производится с помощью предположения, что вклад от частицы в такие характеристики ячейки, как плотность, в ближайших к частице центрах ячеек пропорционален коэффициентам А .

і. Плазменный фокус

Аксиально-симметричные плазменные пушки обычно работают в двух различных режимах. При одном режиме (фиг. 2) область внутри и вокруг пушки целиком заполнена неподвижным газом, обычнодейтерием. Электрическийразрядначинается позади цилинд­ рического электрода и создает пузырь нагретого газа, который магнитным поршнем, как снегоочистителем, выдавливается вперед, закручивается вокруг конца электрода и образует на оси z-пинч малой интенсивности, называемый плазменным фокусом. Дальней­ шее описание системы и ссылки можно найти в гл. 9, а также в работе Батлера и др. [2]. На фиг. 2 сопоставляется ряд последова­ тельных во времени гидродинамических PIC-распределений частиц с соответствующими экспериментальными фотографиями этого режима работы пушки [2]. Обычный внешний цилиндрический электрод исключался как при моделировании, так и в экспери­ менте, поскольку было выяснено, что в этом режиме фокуса внеш­ ний электрод только затрудняет диагностику и мало влияет на режим работы.

В этих численных экспериментах плазма и магнитное поле не перемешиваются. Магнитное поле B q занимает вакуумную область внутри пузыря и создает постоянное давление (~ 1 /г2) на свободной границе. Остальное сводится к чисто гидродинами­ ческому вычислению. Однородная область вне пузыря холодная. Очень резкая внешняя поверхность пузыря представляет собой ударную волну, которая сильнее при меньших радиусах, когда она движется быстрее. Слой между ударной волной и внутренней свободной границей состоит из нагретой ударной волной плазмы, которая обеспечивает засветку экспериментальных фотографий. Как было указано выше, PIC-метод очень хорошо подходит для описания таких взаимосвязанных поверхностей, как эта свободная граница (см. далее работу [1] и приведенную там библиографию); в частности, он устраняет трудность с условием Куранта, которое возникает, когда рассматривается непрерывный переход от конеч­ ной к бесконечной скорости звука поперек этой границы. Другое рассмотрение этой проблемы читатель найдет в гл. 9.

Эти PIC-вычисления явились первым полным двумерным моде­ лированием течения вещества в плазменном фокусе и, как видно из фиг. 2, они дают адекватный количественный расчет этого тече­ ния, включая вторичный пузырь, который появляется на оси у вершины самого фокуса [3]. Этот метод можно было бы обобщить,

чтобы включить другие физические эффекты в ударном слое, кото­ рые зависят от плотности и температуры, поскольку последние

Ф и г . 2. Последовательные во времени стадии плазменного фокуса.

известны на каждом временном шаге. Однако из-за двух причин этот метод терпит неудачу вблизи оси, где возникает высокотем­ пературный фокус.

П е р в а я заключается в том, что сетка, которая подходит для рассмотрения* всего плазменного потока, слишком крупная,