книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

Можно показать, что соотношения (44) — (47) алгебраически иден­ тичны более простым соотношениям (41) и (42). Дополнительная

трехдиагональная система решается методом рекурсивной цикли­ ческой редукции, описанной в п. 3, в. В методе DCR, как и в ме­ тоде FAGR, необходима только одна сетка, которая используется как для заданного заряда, так и для неизвестного потенциала.

б. Подсчет числа операций и быстродействие

Рассмотрим разностную сеть из п рядов по т узлов в каждом. Общее число операций на 1-м уровне прямой и обратной редук­ ции определяется их числом в квадратных скобках выражений

вистем. Решение одной трехдиагональной системы уравнений требует примерно 6т операций. Решение всех систем на 1-м уровне требует 2 -6т •2<г-1>-п/21 = Qmn операций. Число необходимых уровней зависит от типа граничных условий в ^-направлении. При заданном потенциале на границе (ІВСХ — 1) нужно log2 п—1

Интересно также привести число операций в очевидном методе двумерного преобразования Фурье с последующим делением и обратным двумерным преобразованием Фурье [15]. Для такого метода нетрудно написать программу, располагая лишь библио­ течной подпрограммой преобразования Фурье. Назовем этот

памяти и одновременно приобретаются преимущества в скорости от 20 до 90%, что при решении крупных задач может означать значительную экономию машинного времени. Алгоритм DCR становится оптимальным для малых ЭВМ с ограниченным объемом памяти (например, для IBM 1800 с памятью в 4096 слов или IBM ИЗО с памятью в 8000 байтов), так как, по-видимому, это единственный прямой метод, который может быть приспособлен к таким системам. В любом случае задачи, решаемые на малых ЭВМ, должны быть небольшими, так что более длительное время действия алгоритма DCR несущественно.

5. Оптимальный метод FACR (?)

Обобщим метод FACR, включив в него /-кратную нечетно­ четную редукцию перед выполнением разложения Фурье, и назо­ вем такой метод методом FACR (/). Во второй главе описан метод FACR (1) с однократной редукцией, а метод DCR можно рас­ сматривать как метод FACR (log2 п). Кроме того, метод FACR (0)г т. е. метод FACR без применения нечетно-четной редукции, был использован Веронисом [16] в связи с задачей о ветровых цирку­ ляциях океана.

Как мы видели, метод FACR (1) требует меньшего числа опе­ раций, чем DCR, и нетрудно убедиться, что он экономнее, чем FACR (0), поэтому встает вопрос о существовании оптимального уровня редукции.

использовании для редукции простых рекуррентных соотно­ шений (41) и (42). Как и раньше, рассмотрим сетку (п X т} по координатам (х , у) с разложением Фурье в ^-направлении.

Преобразование свободного члена по формуле (41) требует выполнения 1,5пті + пт (1 — 2~1) операций. В результате полу­ чим т!21 уравнений, которые решаются методом разложения Фурье с последующей циклической редукцией, для чего необхо­ димо соответственно 2пт [2,5 log2 п — 3,5п]/2г и ЬптІ21 операций. На стадии обратной редукции необходимо 2пт [1 — 2~1] опера­ ций для формирований свободных членов и 3пті операций для решения трехдиагональной системы.

Полное число операций на один узел сетки в методе состав­

На фиг. 6 показана зависимость числа операций на один узел сетки от числа уровней редукции / для типичного случая п = 128. Неглубокий минимум достигается при двукратной

170 Гл. 4. Методы расчета потенциала

редукции, и оценки показывают, что введение следующего уровня редукции в подпрограмму РОТ1 может привести к повышению числа операций на 10%.

Очевидно, что оптимальный уровень редукции зависит от отно­ сительной эффективности используемых подпрограмм разложения Фурье и циклической редукции. Ключевой вопрос состоит в том, как быстрее решить систему Ві1)х = Ъ — разложением Фурье дли циклической редукцией. По мере увеличения I и заполнения

»5s

5S

5Г

«

I

У

£cd

и-

§

I

•5

а

<0

5S

to

•Ф и г. 6. Количество операций на один узел сетки 128 х 128 для алгорит­ мов FACR (I), DFA и DCR.

Дано также эквивалентное (по затратам времени) число итераций для метода SOR в пред­ положении, что число операций в одном узле на одну итерацию составляет наименьшее значение, равное 7. Во всех случаях граничные условия выбраны в форме, наиболее благоприятной для данного алгоритма. Заметим, что минимальное число операций дости­ гается при I = 2 .

матрицы B {h ненулевыми элементами разложение Фурье стано­ вится все более и более подходящим методом решения. Выбрав метод разложения Фурье на 1-м уровне, получаем алгоритм FACR (I). Во время разработки исходного алгоритма FACR (1) на IBM 7090 [6] Голуб и Хокни обсуждали желательность сле­ дующего шага нечетно-четной редукции, однако затем эта возмож­ ность была отвергнута, так как тщательный хронометраж имев­ шихся тогда программ разложения Фурье и циклической редук­ ции показал, что алгоритм FACR (2) будет более медленным.

Алгоритм типа FACR (I) можно применять для более общих уравнений, чем рассмотренные выше. Всесторонний математиче­ ский обзор таких обобщений был дан Базби и др. [14] при описа­

нии семейства алгоритмов GORF (методы циклической нечетно­ четной редукции и факторизации).

Установлено (см., например, [17]), что выгодно использовать девятиточечную аппроксимацию уравнения Пуассона (см. [18]). Последняя имеет более высокий порядок точности по сравнению с пятиточечной схемой, и ее применение может оказаться необхо­ димым, когда используется крупная сетка. Описанные выше прямые методы можно применять и для девятиточечных уравне­ ний. Объем вычислений и машинное время для них возрастают по сравнению со случаем пятиточечной аппроксимации.

6. Учет электродов

Может показаться, что описанные здесь прямые методы реше­ ния уравнения Пуассона имеют довольно ограниченную сферу

ее границу. Один из возможных способов обхода этого ограни­ чения [19] состоит, например, в предварительном вычислении матрицы емкости С, связывающей потенциал и заряд в некото­ ром числе точек во внутренней области. Эти точки следует рас­ сматривать как электроды, на которых поддерживается заданный потенциал, и вычислить поверхностный заряд, индуцированный на этих электродах окружающим пространственным зарядом. После этого результат будет определен путем двукратного реше­ ния уравнения Пуассона следующим образом. Сначала уравнение Пуассона решается при нулевом заряде на электродах и запоми­ нается отклонение потенциала на электродах от требуемого значения. Умножив это отклонение на матрицу емкости и на —1, определяют искомый поверхностный заряд в каждой точке элек­ трода. Уравнение Пуассона решается снова с найденными значе­ ниями поверхностного заряда, и это решение будет правильным всюду, включая и точки на электроде.

Для определения матрицы емкости строят сначала обратную матрицу А = С-1. Каждый столбец матрицы А находят, помещая единичный заряд по очереди в каждую точку электрода (при нуле­ вом заряде в остальных точках электрода) и решая уравнение Пуассона. Значения потенциала в точках электрода образуют элементы столбца матрицы А. Матрица емкости вычисляется путем обращения матрицы А, и это ограничивает применимость метода 100—200 точками для CDC 6600. Матрица емкости сим­ метрична, так что для I точек электрода необходимо I (I + 1)/2 ячеек памяти. Так как матрица емкости зависит только от гео­ метрии задачи и не зависит от распределения зарядов, ее доста­ точно вычислить только один раз в начале расчета и затем хранить

172 Гл. 4. Методы расчета потенциала

в памяти. Время умножения отклонения на матрицу С пренебре­ жимо мало, следовательно, машинное время, необходимое для определения потенциала, удваивается, если электроды учиты­ вать указанным способом. Если электроды не проходят через узловые точки, то описанную процедуру удается уточнить.

по локальному отклонению в точках электрода, решая уравнение Пуассона по-прежнему прямым методом. С другой стороны, можно совсем отказаться от прямых методов и применить итерационный метод на всей сетке. Использование итераций только в точках электродов имеет то преимущество, что ошибки в вычислении потенциала концентрируются вблизи электродов, т. е. вне обла­ сти пространственного заряда, в то время как применение итераций по всей сетке распределяет ошибки более однородно и, следовательно, приводит к внесению больших ошибок в область пучка электронной пушки.

Если потенциал задан на границе области (ІВС = 1), те часто бывает удобно свести этот случай к случаю с нулевыми граничными условиями. Этого можно достичь, добавив слой с эквивалентным зарядом во все узлы сетки, соседние с грани­ цей. Модифицированный заряд в этих точках определяется выра­ жением

циала на границе. Подставив (52) в разностное уравнение с нуле­ выми граничными условиями, можно убедиться в том, что он» совпадает с уравнением исходной задачи.

7. Неограниченная задача

Для решения уравнения Пуассона в некоторой области необ­ ходимо, чтобы границей области служили электроды с заданным распределением потенциала или чтобы на границе выполнялись некоторые предположения о симметрии потенциала. Следова­ тельно, когда такие условия действительно имеются, решение уравнения Пуассона служит идеальным методом определения потенциала. Однако существуют задачи, в которых требуется найти потенциал, созданный изолированной системой зарядов

вотсутствие каких-либо электродов или симметрии. В этом случае единственным граничным условием служит требование поведенияпотенциала на бесконечности должным образом (логарифмически

вдвумерных задачах). Эффективный метод решения такой задачисостоит в предварительном определении точного значения потен­

пользу из имеющейся информации, а такая информация содер­ жится в потенциале, вычисленном на предыдущем шаге по вре­ мени, который служит хорошим приближением для начала ите­ раций на следующем шаге. Ниже мы излагаем известные резуль­ таты о сходимости наиболее распространенного метода — метода последовательной верхней релаксации (SOR).

1. Итерационный процесс метода SOR

Возьмем в качестве контрольной задачи решение уравнения Пуассона в квадратной области с заданным нулевым потенциалом на границе. Покроем эту область разностной сеткой и X и и исполь­ зуем пятиточечное разностное уравнение

дам. Ее преимущество состоит в возможности получения точных аналитических выражений для собственных функций, скорости сходимости и нормы погрешности. Приведенные ниже резуль­ таты взяты нами из монографий Варги [22], а также Вазова и Форсайта [18] и принадлежат ряду авторов, в первую очередь Янгу, Кагану, Голубу и Шелдону.

Метод SOR состоит в систематическом пересчете значений потенциала в каждом узле сетки. При этом необходимо исполь­

прямых методов, для которых нужна лишь одна сетка. Сначала

использующая значение потенциала ф в центре и в соседних точках. В зависимости от того, в каком порядке пробегаются узлы сетки, некоторые из значений потенциала уже могут быть изменены на этой итерации. Во всех случаях на сетке запоми­ нается последнее значение. Новое значение в корректируемом узле определяется из формулы

где со — параметр верхней релаксации, который можно изменять для улучшения сходимости процесса. Для «модельной задачи» можно показать [22], что наилучшая асимптотическая сходимость

достигается при со = <жь, где

Для того чтобы изучить сходимость, определим среднеквад­ ратичную ошибку (пропорциональную норме в Ь г) после t-ж итерации:

71—1

где (p*’j — точное решение разностных уравнений. Вектор ошибки на t-ж итерации можно рассматривать как результат действия матричного оператора M (t) на вектор начальной ошибки е<0), т. е.

жителя, который характеризует уменьшение начальной ошибки после t операций. Неравенство (61) обеспечивает выполнение двух условий. Во-первых, вне зависимости от начального при­ ближения (и, следовательно, от е<0>) норма ошибки уменьшается по крайней мере в || М ф || раз после t итераций. К сожалению, (61) обеспечивает также существование и некоторого начального приближения, для которого коэффициент уменьшения строго равен всего лишь ||M (t)||.

Чтобы показать, насколько неутешителен этот результат, мы приводим на фиг. 7 зависимость || М а) || от t для итерационного процесса SOR на сетке 128 X 128, в котором узлы во время ите­ раций берутся в нечетно-четном порядке. Это означает, что сначала корректируются значения потенциала во всех нечетных узлах [т. е. в узлах, для которых (і + j) нечетно], а затем во всех четных. Такой порядок аналогичен выбору сначала всех белых, а затем

Фиг. 7 показывает, что для сетки 128 X 128 во время первых 20 итераций ошибка может вырасти в 30 раз по сравнению с ее первоначальным значением и что нужно п ( — 128) итераций для уменьшения ошибки до начальной величины. Чтобы обеспе­ чить уменьшение ошибки до ~1%, необходимы 233 итерации,

Ф и г . 7. Теоретические границы изменения максимальной возможной нормы вектора ошибок (по отношению к его начальному значению) в зависимости от числа итераций.

Оценки даны для методов SOR, Гаусса — Зайделя и Чебышева при использовании нечетно-четного порядка пересчета на сетке размером 128 х 128.

а для уменьшения ее до ІО-6 — 432 итерации. Эту зависимость следует сравнить с прямым методом, который дает решение с ошиб­ кой 10-12 за время пяти-шести итераций метода SOR.

Результат будет другим, если узлы корректируются в порядке, отличном от нечетно-четного. Естественнее и проще пересчитывать значение потенциала в узлах один за другим построчно, в той же последовательности, в которой расположены слова на странице книги (так называемый «машинописный порядок»), однако автору неизвестны аналитические оценки для || М а) || в этом случае.

Программа процесса SOR была написана для CDC 6600. Ее внутренний цикл был тщательно запрограммирован на автокоде COMPASS и целиком содержится в быстром восьмисловном бло­