книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

Для решения системы п уравнений методом циклической редукции требуется примерно 6п операций. А поскольку остав­ лены лишь четные ряды, полное число операций составляет

Уравнения решаются подпрограммой GRED.

г. Обратное преобразование Фурье на четных рядах

Решение уравнения (25) методом рекурсивной циклической редукции дает амплитуды всех гармонических составляющих потенциала на четных рядах разностной сети. Чтобы определить значение потенциала в этих рядах сетки, в них с помощью под­ программы FOUR67 выполняется обратное преобразование Фурье.

Необходимое для этого число операций составляет

Этим этапом достигается стадия, указанная на фиг. 4, г.

д. Решение на нечетных рядах сетки

Значение потенциала в нечетных рядах можно найти из исход­ ных нечетных уравнений (13), подставляя в правую часть изве­ стные значения потенциала в соседних четных рядах.

Эти уравнения имеют вид

Так как матрица А образует трехдиагональную систему вида (25) с Я = — 4, для определения потенциала в нечетных рядах можно вновь применить подпрограмму циклической редукции CRED. Предварительно нужно преобразовать свободные члены уравне­ ний, что выполняется подпрограммой RHSO. Полное число операций, необходимое для вычисления потенциала в нечетных строках, составляет

4 -NX -NY. (34)

е. Полное число операций

Полное число операций равно

Заметим, что полное число операций пропорционально количе­ ству узлов сетки (NX-NY), если не считать очень слабой лога-

11-01236

рифмической зависимости. Взяв N X = N Y = 128 и 2 мкс на опе­ рацию, получаем 3,8-ІО5 операций и 0,77 с. Фактическое время счета на CDC 6600 составило 0,75 с.

Приведенные выше оценки относятся к случаю периодических по координате х граничных условий ІВСХ — 3, который наиболее удобен для применения разложения Фурье. Для условий с задан­ ными значениями на границе или с нулевым градиентом (ІВСХ = = 1 или ІВСХ = 2) необходимое для преобразования Фурье время примерно в 2 раза больше и число операций принимает значение

Однако, как уже упоминалось, путем усовершенствования программы, выполняющей преобразования Фурье, это число, по всей вероятности, можно приблизить к соответствующему числу в периодическом случае (35).

ж. Полный объем памяти

На всех этапах расчета а — д вновь вычисленные величины можно записывать на место тех, из которых они получены. Сле­ довательно, в основной памяти хранится сама сетка из N X -NY узлов. Кроме того, в программе преобразования Фурье исполь­ зуется 3N X вспомогательных ячеек (для хранения массивов У, Z, INDEX, SI) и еще N X ячеек для хранения коэффициента каждой гармоники (массив АКХ), что составляет всего

з. Время расчета

Втабл. 3 дано машинное время для сетки 128 X 128 при всех девяти возможных типах граничных условий. В колонке ошибок дано максимальное отклонение известного точного решения разностных уравнений от решения, найденного подпрограммой РОТ1. Точное решение лежит в пределах от —Ѵ2 до Ѵ2. Найден­ ная ошибка примерно в 500 раз превышает точность представ­ ления чисел на CDC 6600. Это примерно согласуется с ожидае­ мым результатом случайного сложения 3,8 НО5 ошибок округле­

ния х), поскольку Y 3,8 НО5 = 618.

Табл. 4 дает затраты машинного времени в зависимости от размера сетки при фиксированном типе граничных условий. Время счета растет несколько медленнее, чем линейно, с ростом числа узлов сетки. Хорошо оправдывается следующая грубая оценка: время счета составляет 50 мкс на один узел сетки.

В При N — 128 требуется 3,8 -ІО5 арифметических операций.

Таблица 3

Затраты машинного времени и величина ошибки при использовании подпрограммы РОТ1 на сетке 128x128 для различных типов граничных условий

у р а с с м а т р и в а е м ы х м аш и н .

Таблица 4

Машинное время, необходимое для решения двумерного уравнения Пуассона методом FACR на сетках различного размера

4. Метод DCR Бунемана

а. Алгоритм

Бунеман [13] разработал интересное обобщение процесса нечетно-четной редукции — метод двойной циклической редук­ ции (DCR). Он заметил, что уравнения для четных рядов тожё

11*

рекурсии. Процедура, однако, существенно упрощается, если представить В<г> в виде произведения 2l трехдиагональных

Ф и г . 5. Столбцы, связанные на различных уровнях редукции в алгоритме

DCR.

которая является произведением двух трехдиагональных матриц. Затем рассмотрим

Следовательно, матрица

Б (2> = (Вт - у У ‘2,— У 2 1) {Bw - V 2 — Ѵ 2 I) х

X (В<т-{-У2 У~2 I) { В ^ - Ѵ 2 + У 2 І )

будет произведением четырех трехдиагональных. Очевидно, что процесс повторяется, и нужно лишь вычислять и запоминать

диагональные элементы матриц-сомножителей. Элементы верхней и нижней диагоналей всегда равны —1. Общая формула такого факторизованного представления была дана Базби и др. [14].

Диагональный элемент матрицы Z?« быстро возрастает и имеет

порядок 42*. Для сетки 128 X 128 I = 7 и диагональный эле­ мент будет иметь порядок ІО78, что приведет к переполнению для некоторых вычислительных машин (например, для серии IBM 360 с максимальным представимым числом ~ 1075). Во всяком случае, для весьма небольших п переполнение произойдет на любой из существующих ЭВМ, если в ней использована встроенная длина действительного числа. (В GDC 6600 с максимальным вещественным числом ~10307 переполнение случится для сетки 512 X 512.) Можно хранить показатель экспоненты в виде отдель­ ного целого числа и иметь специальную подпрограмму для пере­ множения чисел в форме с плавающей запятой, однако лучше использовать исправленную форму рекуррентного соотношения, которое содержит умножение на матрицу, обратную к В, вместо бамой матрицы В. В этом случае может произойти скорее обра­ щение величины в машинный нуль, чем переполнение, что не создает трудностей, так как в большинстве ЭВМ обратившаяся в нуль величина автоматически заменяется точным нулем и вычис­ ления продолжаются.

Примененные Бунеманом [13] исправленные рекуррентные соотношения должны на каждом уровне редукции строить пере­

то можно использовать несколько более простую форму этих рекуррентных соотношений.

Неизвестные значения потенциала вычисляются во время