книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

образом.

IВ СХ = 1. Потенциал на границе принимает заданные зна­

Аналогично определены возможности IBCY = 1, 2, 3.

Для обращения к этой программе необходимо задать вели­ чины IQX, IQY, HX, HY, ІВСХ, IBCY и распределение заря­ дов, а в случае ІВС = 1 — граничные значения потенциала. Для примера на фиг. 1 показана сетка задачи при IQX = 4,

IQY = 3, ІВСХ = 3, IBCY = 1.2

2.Программа разложения Фурье

Все, за единственным исключением, прямые методы вычисле­ ния потенциала основаны на преобразовании Фурье с конечным числом членов. Поэтому мы сначала опишем подпрограмму FOUR67, предназначенную для выполнения вещественного фурьепреобразования заданной в п узлах вещественной сеточной функции.

Идея метода восходит к Рунге [10] и заключается в том, что члены с общим множителем группируются прежде, чем выпол­ няется умножение. Процесс группировки содержит только опера­ ции сложения и вычитания, и его можно интерпретировать как перегибание пополам графика заданной сеточной функции, после чего совместившиеся значения функции складываются или вычи­ таются. Хокни [11] систематизировал этот процесс. В прило­ жении А дана программа FOUR67 на языке Фортран IV. Пере­ гибание сеточной функции осуществляется подпрограммами TFOLD и TFOLD1. Такое перегибание продолжается до тех пор, пока синусоидальные функции сохраняют свойство симметрии, после чего коэффициенты Фурье выражаются существенно уко­ роченными суммами. В этих укороченных суммах уже нельзя избежать перемножений, и они вычисляются подпрограммой KFOLD с помощью рекурсивной процедуры, аналогичной алго­ ритму быстрого преобразования Фурье. Подпрограмма FOUR67

имеет два входных параметра IQ и ІВС, которые задают коли­ чество узловых точек задачи и граничные условия аналогично тому, как это определялось параметрами подпрограммы РОТ1.

ІВС — 1. Прямое или обратное синус-преобразование опре­ деляется формулой

S = 1

Переход к фурье-образу и обратный переход по этой формуле приводят к умножению исходной сеточной функции на га/2.

ІВС = 2. Прямое или обратное косинус-преобразование опре­ деляется формулой

Последовательный переход к фурье-образу и обратно по формуле

(5) приводит к умножению исходной функции на га/2.

ІВС = 3. Разложение в ряд Фурье определяется формулами

ІВС = 4. Переход от коэффициентов Фурье к исходной функ­ ции определяется формулой

Последовательное применение операций разложения в ряд Фурье

(6) и суммирования ряда (7) приводит к умножению исходной функции на 2га.

щие перегибания и тех и других компонент постепенно разделяют гармоники на группы. Первая группа состоит из гармоник с нечет­ ными номерами, вторая — из гармоник с номерами, образован­ ными умножением нечетного числа на два, затем на четыре, на восемь и т. д. Когда гармоника уже не допускает дальнейшего перегибания, она принимает одну из двух форм:

Эти суммы гораздо короче чем исходные, а область измене­ ния аргументов синусов или косинусов измеряется полуцелым значением л.

Такие укороченные суммы вычисляются с помощью рекурсив­ ной процедуры, сходной по замыслу и скорости с алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Однако эта процедура имеет некоторые особенности, так как она была разработана для непо­ средственного вычисления вещественных сумм (9) по интервалам, измеряемым полуцелыми значениями я, минуя вычисление ком­ плексных сумм по интервалам, кратным 2я, которые входят

валгоритм быстрого преобразования Фурье. Введем рекуррентные соотношения

S?+i) (к) = S ? (к) + {cos(Ѳ) S%hK2m) (к) + sin (Ѳ) C%h/(2m) (к)},

Начальные условия задаются значениями S° (1) и С® (1). Если S™ = IS'“’ = 0, то результатом применения рекуррентных

ходимых для получения образа Фурье от заданной в N точках вещественной сеточной функции, определяется следующим обра­ зом.

Синус-преобразование:

Однако в последующих оценках с достаточной точностью' можно ограничиться первыми двумя членами приведенных выра­ жений.

Сравним число операций для периодических граничных усло­ вий с аналогичной характеристикой обычного быстрого преоб­ разования Фурье (см. [12]). Взятая из этой работы оценка дает 2,5N log2 N — 1,25# арифметических операций для ^-точечной вещественной сеточной функции и показывает, что подпрограмма FOUR67 может оказаться значительным шагом вперед по сравне­ нию с обычным алгоритмом для преобразования Фурье веще­ ственной сеточной функции. Однако на практике это преиму­ щество может быть утрачено ввиду крайней сложности алго­ ритма.

Проведенное недавно усовершенствование метода быстрого преобразования Фурье, как сообщил автору Кули, показало, что синус- и косинус-преобразования требуют не больше времени, чем разложение в полный ряд. В этом случае оценки числа опе­ раций и времени счета, данные ниже для программы решения уравнения Пуассона с периодическими граничными условиями, справедливы и для произвольных граничных условий.

При использовании CDG6600 время, необходимое для разло­

Для достижения такой скорости пришлось наиболее важные части программы программировать в машинных кодах (на авто­ коде COMPASS). Вариант подпрограммы, составленный целиком на Фортране, работал в 5,7 раза медленнее и потребовал 0,125 с для того же самого расчета.

В табл. 1 приведено машинное время, необходимое для разло­ жения в ряд Фурье (ІВС = 3) при различных количествах задан­ ных точек, а в табл. 2 — машинное время для 1024 точек при различных типах допустимых граничных условий.

Таблица 1

Машинное время (в секундах), необходимое для разложения в ряд Фурье ( І В С = Ъ ) с помощью подпрограммы FOUR67 при различном числе узловых точек

° Использован второй вариант (уровень Н) компилятора для модели 67-1.

Таблица 2

Машинное время (в секундах), необходимое для разложения в ряд Фурье и фурье-синтеза

° CDC Фортран IV.

6 Программа на Фортране IV; второй вариант (уровень Н) компиля­ тора для модели 67-1.

3. Метод Хокни (FACR)

Прямой метод фурье-анализа с применением циклической редукции (FACR) основан на разложении Фурье по одной коорди­ нате (например, по координате х), что позволяет затем решать гармонические уравнения по другой координате, пользуясь циклической редукцией. Если граничные условия достаточно просты, как, например, в случаях, допускаемых подпрограммой

156 Гл. 4. Методы расчета потенциала

нате у потенциал принимает заданные значения. Исходную раз­ ностную систему уравнений можно записать в виде

где векторы ф( и qj — потенциал и свободный член для t-то ряда

Ф и г . 4. Различные стадии алгоритма FACR.

Точками показан шаблон разностного оператора на каждой стадии. Четные ряды узлов сетки изображены сплошными линиями, а нечетные — пунктирными.

узлов сетки

Матрица А определяет пятиточечныи разностный оператор