книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

Переходя к пределу в (69), получаем

т ~ £ г [ с о е л k)]’ (7°)

где символ Р означает главную часть. Мы получили стандартное выражение для энергии волны, непосредственно суммируя вклады от каждой области пространства скоростей.

Выражение для кинетической энергии, которая обусловлена взаимным обменом двух соседних контуров, лежащих в интервале Аѵ друг от друга, мы получим, подставляя в формулу (68) вели­ чину Аѵ вместо бѴі (х) и суммируя по всем контурам в области Аѵ. Так как возмущение энергии на каждом контуре пропорциональ­ но (Ди)2 и контуры лежат в области шириной Аѵ, то возмущение энергии пропорционально (Ди)3, и мы приходим к выражению (13) текста.

П р и л о ж е н и е Б . А н а л и з м ет ода с и н х р о н и з а ц и и

Чтобы проанализировать более детально метод синхронизации, рассмотрим линейное решение уравнения (47) в предельном слу­ чае, когда Ах —>- 0, но At остается конечным. Этот анализ анало­ гичен случаю, когда At ->• 0, и показывает, что линеаризованная модальная реакция выражается следующим образом:

/4\п. <£ — / 7Л

(71)

аза

а

+ (— 1)” Ѳ(О3) Шаexp (inQja)}.

Теперь амплитуда новой антисинхронной моды порядка Ѳ(О3),

вто время как амплитуда синхронной моды остается неизменной

впределах ошибки Ѳ(Q4). Кроме того, метод синхронизации дает начало новой моде смещения с амплитудой

Эта мода получается при горизонтальных смещениях равновесных контуров без какого-либо вертикального перемещения. В случае линейной теории пространственно-однородных конфигураций, ко­ торую мы здесь рассматриваем, этим смещением можно прене­ бречь, так как таким движениям не соответствует какое-либо электрическое поле. В случае же нелинейных движений или пространственно-неоднородных равновесных задач эта мода мо­ жет быть более важной.

Оптимальная частота синхронизации определяется из условия минимизации вносимой ошибки на один шаг по времени. Вначале

При получении этой оценки мы предполагали, что модой смеще­ ния можно пренебречь. Однако, поскольку большинство наших расчетов проделано для нелинейных задач, мы, по-видимому, должны считать, что эта мода смещения при каждой синхрониза­ ции будет источником ошибки искажения, равной Ѳ [(сорДг)2].

В этом случае средняя ошибка на шаг по времени равна

Был разработан метод чередующейся синхронизации, который может уменьшить величину асинхронного остатка до Ѳ (£13), хотя при этом искажается синхронная компонента на величину Ѳ (Q2). Возможно, такая схема будет представлять интерес при рассмо­ трении пространственных задач.

В новой схеме вместо фильтрации контуры той и другой чет­

v f [ ( 21V + у ) At] = Vj (2N At) + E[(2N + i) At, x}]^ .

Антисинхронные компоненты затем отфильтровываются при

которая позволяет вычислить электрическое поле Е [(2п + Ѵ2)А£].

низации устанавливается антисинхронная компонента с ам­ плитудой Ѳ(Q3), и проекция этой компоненты на синхронную

моду дает остаточную амплитуду

Q3 • Q3 exp (NQ) та (сор А7)2 exp (iVcop Ai).

Ошибка на шаг по времени равна

в случае этой схемы таковы:

4 ln (сор At)

Эти оценки ошибок несколько лучше, чем оценка (76), однако они пока еще не использовались в расчетах.

ЛИТЕРАТУРА

1.Berk Н . L ., Nielsen С. Е ., Roberts К . V., «Phase space hydrodynamics of equivalent nonlinear systems: Experimental and computational observa­ tions», Rept. UCRL-71438, Lawrence Radiation Lab., Livermore, Cal., 1959.

2.NASA Rept. SP-153, Symp. Computer Simulation of Plasma and Many Body Problems, Williamsburg, 1967.

3.Los Alamos Rept. LA-3990, Proc. APS Conf. Numerical Plasma Simulation

11.Armstrong T. P ., Phys. Fluids, 10,- 1269 (1967).

12.Berk H . L ., Roberts К . V., [2], p. 91.

13.Dory R . A ., Midwestern Univ. Res. Assoc. Rept., 654., (1962).

14.Woods С. H ., «Interaction of a Vlasov System with dissipative Structures»,.

Rept. UCRL-71302, Lawrence Radiation Lab., Livermore, Cal.; Plasma Phys., в печати (1969).

15.De Packh-D. C., Journ. Electron Contr., 10, 13a (1962).

16.Gardner C. S ., Phys. Fluids, 6 , 839 (1963).

23.Веденов A . А . , Велихов E. 77., Сагдеев P. 3 ., Ядерный синтез, 1, 82 (1961).

24.Drummond W . E ., Pines D ., Nucl. Fusion Suppl., Pt. 3, 1049 (1962).

25.Berk H . L ., Book D . L ., Phys. Fluids, 12, 649 (1969).

26.Baldwin D . E ., Rowlands G., Phys. Fluids, 9, 2444 (1966).^

мерной двумерной сетки (х , у), где задано распределение источ­ ников. Прежде всего предположим, что плотность источников не зависит от третьей координаты z; тогда задача сведется к реше­ нию уравнения Пуассона для двух измерений, а именно

сона, причем специальный вид этих уравнений позволяет умень­ шить вычислительные трудности.

Этот двумерный расчет дает сеточную аппроксимацию по­ тенциала, созданного набором бесконечно длинных стержней, причем каждый стержень вносит свой вклад в величину потен­ циала в каждом узле сетки, примерно пропорциональный ло­ гарифму расстояния до этого узла. В § 4 мы в качестве обобщения опишем метод преобразования Фурье, который позволяет решить задачу с нелогарифмическим законом изменения потенциала взаимодействия; фактически этот закон может быть задан про­ извольным образом. В этом методе потенциал в некоторой узловой точке рассматривается как сумма вкладов от всех остальных узлов сетки в соответствии с данным законом взаимодействия. При вычислении двойной суммы используется разностный аналог теоремы о свертке. Если выбрано взаимодействие с величиной, обратно пропорциональной расстоянию, то наше рассмотрение соответствует потенциалу, созданному системой точечных зарядов, лежащих в одной плоскости. Такая зависимость имеет особое значение при моделировании полей тяготения звездных галактик, которые с хорошей точностью можно рассматривать как совокуп­ ность точечных звезд, движущихся в одной плоскости.

Краевые эффекты в плазме конечной длины можно приближен­ но учесть, если рассматривать взаимодействующие заряды как стержни конечной длины или если принять некоторую зависи­ мость плотности зарядов от координаты z. В обоих случаях можно найти потенциал взаимодействия и использовать его при вычис­ лении потенциала поля. В других приложениях может оказаться полезным представление о плазме как о совокупности экраниро­ ванных ионов, каждый из которых, имея собственное дебаевское облако, создает потенциал взаимодействия, пропорциональный г-1 ехр (—гІКц).

Поскольку потенциал взаимодействия может быть вполне про­ извольным, можно рассчитывать потенциальное поле, созданное набором молекул, что необходимо при изучении динамики моле­ кул [5]. Более того, если ошибки, связанные с разностной аппро­ ксимацией уравнения Пуассона в задаче о взаимодействии беско­ нечно длинных стержней, слишком велики, то всегда можно, взяв строго логарифмический потенциал взаимодействия, получить

1 % от первоначального значения, а в течение первых 20 итераций ошибка может в 30 раз превышать свою начальную величину! То, что обычно делается значительно меньшее число итераций (обычно 20 или меньше), и, по-видимому, с удовлетворительными результатами, возможно только благодаря влиянию «хорошего начального приближения». Мы приведем некоторые результаты для скорости сходимости в модельных задачах, для которых известно точное решение и при хороших, и при плохих начальных приближениях. Как показывают эти результаты, применение итераций неоправданно, если может быть использован прямой метод, поскольку он позволяет получить точное решение разно­ стных уравнений за время пяти или шести итераций метода SOR. Напротив, при сложных граничных условиях нет никаких других методов, кроме итерационных. К сожалению, трудно делать общие утверждения о влиянии хорошего приближения, поскольку вид начального вектора ошибок зависит от распределения зарядов в конкретной задаче, которое будет изменяться от шага к шагу во время вычислений. Если, с другой стороны, во избежание этих трудностей взять такое число итераций, чтобы теория гарантиро­ вала определенное уменьшение ошибки (скажем скромно, до 1%) независимо от точности начального приближения, то необходимое машинное время становится недопустимо большим.

Параграф 5 содержит короткое описание типичной модели частиц, включающей в себя вычисление потенциала. Приведены затраты времени на один цикл расчетов по такой модели для раз­ личных ЭВМ. В § 6 мы обсуждаем приложения таких моделей частиц к ряду физических задач, указывая встречающиеся при этом трудности. В приложении приведены отлаженные рабочие программы.

§ 2. П рям ы е методы

Простейшая разностная аппроксимация уравнения Пуассона в случае двух измерений достигается использованием пятиточеч­

Хокни [6] описал быстродействующий прямой метод решения этих уравнений с помощью разложения Фурье. В его работе указано время счета на IBM 7090 и число операций для программы, решаю­ щей разностное уравнение (3) на сетке 48 X 48 за 0,88 с. Ниже будет описана новая и более общая программа (названная РОТ1), предназначенная для CDG6600 и IBM 360/67, с оценками времени счета на этих ЭВМ.