книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

щуюся в точке В. Точки между С — А и В — D становятся не­ нужными и их прибавляют к списку «свободных мест».

В случае фиг. 9, б точки двойной кривой левее А, С и правее D, В можно включить в список «свободных мест». Кроме этого, необходимо образовать замкнутую кривую, точки которой должны располагаться друг за другом по часовой стрелке. Для этого

Ф и г. 9. Три случая срастания контуров.

звено кривой между точками А жВ нужно перевернуть. В програм­ ме оператор CALL REVLINK (ІА, IB) изменяет направление звена между точками А и В соответственно с серийными номерами ІА и ІВ; после этого можно соединить точки А я С, а также D и В.

Остается еще одна трудность, так как значения координат меж­ ду А и С и между D и В могут отличаться на кратное длине пери­ ода L. В этом случае вызов подпрограммы MASCUR (ІС) исправит положение, и координаты точек на вновь образованной кривой ІС будут изменяться непрерывным образом.

На фиг. 9, в показан третий случай, когда двойная кривая разделяет две области 1 я 3 с разными значениями /. Вначале эти

Эти расчеты не так точны и занимают больше времени, чем вычисление распределения заряда. Однако они проводятся только в диагностических целях и не выполняются после каждого шага по времени.

§ 4. У ст о й ч и во ст ь м ет ода «с п ер еш а ги в а н и ем »

Лагранжевские точки на контурах удовлетворяют уравнениям движения частиц (2). На первый взгляд могло бы показаться, что решение уравнения Власова с помощью вычисления движения этих точек аналогично расчету движений индивидуальных частиц по программе, в которой вычисляются траектории большого числа частиц. В любом случае выгодно слегка поварьировать координа­ ты, скорости и ускорения, чтобы при интегрировании по времени добиться точности до величины второго порядка малости. Таким образом, в случае, когда силы не зависят от скорости, ускорение в момент t = геДг можно использовать для вычисления прира­ щения скорости от момента (п — V2) At к моменту (п + 1/2) Аt,

а эту скорость — для расчета приращения координат от момента

Эту схему можно использовать для вычислений, так как плотность заряда, которая нужна для расчета Е в момент t, зависит только от координат x t (t) и не зависит от скоростей, которые, следова­ тельно, не обязательно должны быть определены к этому моменту времени. Однако если используется модель «водяного мешка», то плотность заряда определяется формой контура, которая в каж­ дый момент зависит как от координат, так и от скоростей в тот же самый момент времени. Поэтому требуется более разработан­ ная разностная схема *).

г) Как недавно сообщил нам К. Саймон, интеграл j fdv, определяющий

плотность заряда, может быть вычислен, если использовать значения ско­ ростей в момент времени, смещенный на Аі/2, так как, согласно первому уравнению системы (45), все контуры при фиксированном х смещаются в этом случае как единое целое в вертикальном направлении. Из этого следует, что уравнения (45) можно использовать для расчетов с точностью до членов второго порядка по Д£ и в случае модели «водяного мешка». В период написа­ ния программы мы не обратили внимания на это обстоятельство и использо­ вали метод «с перешагиванием», который описывается в данном параграфе.

1. Нечетные и четные фазовые пространства

Метод, позволяющий проводить вычисления с точностью дочленов второго порядка,— это схема «с перешагиванием». В этом методе используются два фазовых пространства: нечетное про­ странство 5 0, в котором координаты и скорость определены в «не­ четные» моменты времени (2п + 1)А4 и четное пространство S e, в котором эти величины определяются в «четные» моменты времения 2nAt (п — 0, 1, 2, ...). Четное пространство определяет движе­ ние контуров в нечетном пространстве, и наоборот. Разностныеуравнения имеют вид

где индексы о и е обозначают соответэтвенно нечетные и четные значения.

2. Неустойчивость расчета

Трудность, с которой приходится сталкиваться при использо­ вании различных схем «с перешагиванием», состоит в том, что могут возникать ложные движения точек. Эти движения возникают

Ф и г . 11. Сопряженные нечетное и четное пространства.

Форма контура в Se используется для расчета изменения формы в S 0 , и наоборот.

потому, что в этом случае при численном интегрировании степеней свободы в 2 раза больше, чем в реальной физической системе. В случае нашей модели каждый физический контур определяется двумя сопряженными кривыми С0 и Се, как показано на фиг. 11. Каждой точке (х0, ѵ0) соответствует сопряженная точка (хе, ѵе) на Се. Конфигурация контуров С0, е позволяет рассчитать поля Е 0і е

приращения к х еі0и р е, 0. В пределе при At -> 0 эта спаренная система представляет исходную физическую систему, если вначале контуры С0 и Се были точно синхронизованы друг с другом. Однако любая десинхронизация может привести к совершенно искаженным движениям, и за конечное время возникнут большие отклонения от действительного состояния.

В разностной схеме с конечным At нельзя ни определить конту­ ры С0 и Се точно в один и тот же момент времени, ни вычислить их истинные движения. Следовательно, нельзя требовать, чтобы они все время оставались согласованными. Асинхронные движения обязательно возникнут. Поэтому, чтобы предотвратить возник­ новение больших расхождений между двумя системами кривых, их необходимо периодически синхронизовать, усредняя сопря­ женные координаты.

В применении к плазме мы установили, что асинхронные дви­ жения приводят к слабой линейной неустойчивости расчета, кото­ рая аналогична неустойчивости Джинса в соответствующей физи­ ческой гравитационной системе и которая в первом приближении не зависит от At. Интересно отметить, что асинхронное движение в случае гравитационной задачи не столь велико, так как оно приводит к устойчивым вычислительным модам, аналогичным плазменным колебаниям.

Проанализируем теперь асинхронную неустойчивость с коли­ чественной стороны и опишем используемый в настоящее время

3. Синхронная и антисинхронная моды

Рассмотрим равновесное состояние, в котором функция рас­ пределения представляется N горизонтальными контурами Cj, определяемыми уравнениями vj (х) = Vj = const. Скачок в ве­ личине/на каждом контуре равен Afj = fj — fj-i- В случае равно­ весия нечетные и четные контуры идеально синхронизованы.

Линеаризованные уравнения движения, описывающие возму­ щение равновесного состояния, имеют вид

(47)

(48)

(49)

где б — характеризует отклонение кривых от начального состо­ яния.

Вследствие симметрии уравнений можно выделить два незави­ симых класса решений: синхронные моды с

и антисинхронные моды с

з

Заметим, что уравнения (53) и (54) не зависят от (52) и образуют замкнутую систему. В антисинхронном случае эти два уравнения инвариантны по отношению к преобразованию Е~ —>■—Е~, (Ор —>■—(dp, которое трансформирует их в систему уравнений, используемую при исследовании неустойчивости Джинса.

4. Обобщенное дисперсионное соотношение

Так как уравнения линейны и описывают возмущения про­ странственно однородной системы, мы можем использовать анализ Фурье и искать решение в виде А (х , t) = А (к) ехр (— + ікх). Если это выражение подставить в уравнения (53) и (54), то полу­ чим следующее обобщенное дисперсионное соотношение:

синхронной; 2Ѵ — 2 MjVj и иі = Vj/V. Это соотношение описы­ вает все линеаризованные физические и вычислительные моды.

В частном случае N = 2, Ft = — V2 = V дисперсионное соотношение сводится к формуле

которую легко проанализировать. Верхний знак соответствует физическим плазменным колебаниям, а нижний — приводит к не­

устойчивости расчета типа Джинса, если |&| < F/top. Этот резуль­ тат — общее свойство распределений, монотонно уменьшающихся

5

Ф и г. 12. Схематическая диаграмма функции G (£).

Область неустойчивости находится в промежутке а — Ь.

с ѵ2. При ступенчатой функции для получения аналогичного результата надо предполагать, что Аfj >> 0, если Fj > 0, и Аfj < < 0, если Vj < 0. В общем же случае ответить на вопрос, будет ли неустойчивость, можно, если исследовать диаграмму функции

N

kV

то его корни определяются местами пересечений G (сolkV) с гори­ зонтальной линией. Эта линия проходит в верхней половине плоскости в синхронном случае, и в нижней — в антисинхронном. Мы видим, что для монотонных распределений, соответствующих фиг. 12, имеется N вещественных корней для всех к2 в синхронном случае. В антисинхронном случае два корня в области 0 < к2 < к20

пропадают, где Ң « Wp/V2. Эти два корня лежат в комплексной плоскости (а>/&) и соответствуют двум комплексным корням, кото­ рые определяются из уравнения (56). Аналогичным образом можно исследовать немонотонные распределения.

Следует отметить, что уравнение (56) — самое общее соотно­ шение, если уравнение Власова интегрируется методом «с пере­ шагиванием». В предельном случае непрерывных распределений оно имеет вид

С точки зрения численных приложений гравитационная неустойчивость — слабая вычислительная мода, так как в разно­ стной схеме можно использовать много шагов по времени [порядка (сорЛг)-1], прежде чем асинхронное поведение станет заметным. Следовательно, периодическая, но нечастая синхронизация нечет­ ных и четных контуров вполне достаточна, чтобы подавить неже­ лательные неустойчивые движения.

5.Синхронизация контуров

Вбольшинстве расчетов используется следующая процедура синхронизации. Предположим, что на некоторой стадии вычисле­

ний координаты, скорости и ускорения для нечетных контуров в момент (2п + 1) At и для четных в момент 2nAt известны. Асин­ хронная компонента затем отфильтровывается введением следу­

можно определить новую систему пар контуров. Приращения рассчитываются с помощью разложения в обычный ряд Тейлора:

Более полный анализ приводится в приложении 2.