книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы

системы. Из уравнения (12) следует, что в предельном устойчивом случае потери кинетической энергии пропорциональны і/ѵ2—1/щ, где Ѵі и уг — скорости соответственно на внешних и внутренних кривых.

Неустойчивость может возникнуть только в случае, если возможно такое отклонение от равновесия, которое не меняет полной энергии. В рассматриваемом случае потери кинетической энергии на внутренних кривых при «падении» жидкости из обла­ сти А в область В компенсируются частично за счет энергии поля и частично за счет увеличения кинетической энергии на внешних кривых. И действительно, в этом случае возникает неустойчивая мода, линейное приближение которой имеет вид, аналогичный показанному на фиг. 2.

В случае двух тепловых потоков внешние кривые играют не­ существенную роль в возникновении неустойчивости. Из типа модуляции скорости на внешних кривых [см. (7) и (12)] видно, что эти кривые экранируют заряды, генерированные внутренними кривыми, как объяснено в § 2, п. 2. Однако, чем более они разде­ лены в пространстве скоростей, тем менее эффективно экраниро­ вание, как следует из уравнения (8). В случае такого разделения, когда внешними кривыми можно пренебречь, система полностью характеризуется полостью в фазовом пространстве между кривы­ ми С2 и С3. Следовательно, эту задачу можно рассматривать как задачу эволюции полости в электронной фазовой жидкости. Показано [25], что такое рассмотрение совершенно эквивалентно эволюции одномерной гравитационной системы, для которой функция распределения постоянна между С2 и С3 и равна нулю в любом другом месте.

Фиг. 7 иллюстрирует нелинейные эффекты в задаче с двумя потоками, рассчитанные на ЭВМ [21]. Полость перерождается в устойчивые структуры в фазовом пространстве, которые ана­ логичны одномерным звездам [22]. В приближении, когда внеш­ ними контурами можно пренебречь, анализ единственной полости показывает, что она устойчива. Однако можно ожидать, что система полостей будет неустойчива, так как полости должны притягиваться друг к другу. На фиг. 7 можно видеть структуры двух полостей в процессе слияния из-за этих сил притяжения. Наличие внешних кривых не меняет существенно интерпретации, так как они только экранируют силы притяжения. Поэтому под системой, показанной на фиг. 7, можно понимать систему грави­ тирующих звезд, притягивающихся друг к другу в соответствии с дебаевским (или мезонным) потенциалом, который удовлетво­ ряет уравнению, аналогичному (8). Из фиг. 7 видно, что за выче­ том мест около острых пиков две внешние кривые изменяются

108 Гл. 3. Модель «водяного мешка»

адиабатически и только экранируют положительные заряды поло­ стей в противоположность неадиабатическому изменению внут­ ренних кривых.

Проведенный анализ двухпотоковой неустойчивости остается в силе и в случае непрерывных распределений; расчеты на ЭВМ для непрерывных распределений привели к аналогичным резуль­ татам [11, 8].

Ф и г . 7. Эволюция полости в случае двухпотоковой неустойчивости.

6. Вихри в фазовом пространстве

Так как полость заряжена положительно, она окружена по­ тенциальной ямой, в которую попадают электроны с близлежащи­ ми скоростями. В окрестности полости фазовая жидкость вращает­ ся по часовой стрелке. В фильме, снятом с помощью ЭВМ путем расчета траекторий частиц, каждая полость выглядит как вихрь в жидкости [21]. Таким образом, вихри в фазовой жидкости при­ тягивают друг друга, и, что очень интересно, аналогично ведут себя вихри конечного размера в реальной несжимаемой жидкости в двумерном случае. Расчеты постоянно совершенствуются, так что можно надеяться на прогресс в понимании этого явления.

§ 3. Ч и с л е н н ы е методы

В наших расчетах каждый контур Cj аппроксимировался цепочкой лагранжевских точек Pjt г, соединенных друг с другом прямолинейными отрезками (сегментами), как показано на фиг. 8. Соседние точки должны быть расположены достаточно близко друг от друга, чтобы сумма площадей трапеций с хорошей точно­ стью аппроксимировала постоянную площадь внутри контура. Чтобы включать или исключать точки, когда сегменты вдоль контура оказывались слишком длинными или короткими, в про­ цессе расчетов использовалась разработанная техника вычисле­ ний, которая описана в § 3, п. 2.

Точки Pi, і представлялись в виде целых констант с фиксиро­ ванной запятой, так как в задачах с периодическими граничными условиями слежение по координатам в этом случае оказывается особенно эффективным. Жидкость в верхней половине фазовой

V

Ф и г . 8. Численная аппроксимация непрерывного контура.

Точки соединены прямолинейными отрезками; стрелки показывают направление цепочки.

плоскости постоянно движется направо, так как ѵ > 0, а в ниж­ ней половине — налево, что приводит к возникновению горизон­ тального течения. Таким образом, кривая, которая сначала цели­ ком лежит внутри области с основным периодом 0 ^ х < L, в кон­ це концов может пересечь левую или правую границы несколько раз. Использование целых констант для представления координат без труда позволяет спроектировать точку Pj, г на основной период. Для этого нужно лишь дешифровать номер периода, который хранится в самой важной части координатного кода. Это означа­ ет, что нет необходимости проверять для каждой частицы, пере­ секла ли она границу периода или нет. Более подробно этот вопрос обсуждается в п. 1.

HO Гл. 3. Модель «водяного мешка»

Уравнение Пуассона или интегральная форма этого уравне­

равной толщины Аж. Чтобы из уравнения (17) определить электри­ ческое поле, необходимо вычислить площадь Aj,m между конту­ ром j и осью X для каждой эйлеровской полосы т. Для этого рассматриваются по порядку точки на С;- и для каждой пары соседних точек определяется площадь трапеции. Если площадь выходит за пределы одной эйлеровской полосы, то для каждой полосы вычисляется связанная с ней площадь. Без какой-либо дополнительной проверки этот метод автоматически обеспечивает правильность вычислений для контура произвольной формы, включая кривые с многими значениями ѵ при данном х. Для контуров в виде многоугольников этот метод точен.

Если поле в эйлеровских точках хт вычислено, то поле в каж­ дой лагранжевскойточке Р/, t можно определить, используя линей­ ную интерполяцию между концевыми точками эйлеровского интервала, внутри которого лежит точка x t. Затем рассчитывает­ ся эволюция во времени формы контура с помощью метода «с пере­ шагиванием» второго порядка:

x t Цге + 1)Аг] = Хі [(re—\)At] -f- 2Ѵі [nAt]At,

Vi [(re + 1)Аг] = Vi [(re—1))Аг] + 2E t [nAt]At.

Этот метод вычислений рассматривается в § 4, где показывается, что он неустойчив. Однако это слабая неустойчивость, и можно добиться устойчивости, если периодически синхронизовать кон­ туры, связанные с нечетными и четными шагами по времени.

Для диагностики очень полезной оказалась усредненная функ­

ция распределения (1IL) \f(x,v)dx для данного момента времени.

тельной, как бы далеко не сдвинулась точка. Это делается для того, чтобы арифметические операции не зависели от способа представления отрицательных чисел в любой конкретной ЭВМ. Имеется несколько преимуществ в использовании степеней 2. Например, становится легче использовать операции типа MASK в Фортране (если они имеются в применяемом варианте языка) или перейти на автокод ЭВМ, чтобы наиболее трудоемкие участки программы считать как можно быстрее. Восьмеричная запись легко интерпретируется. Показатель а характеризует точность, с которой можно определить координату. Имеется несколько свободных разрядов для согласования между тремя частями «а»,

где V и R — целые константы, представляющие соответственно 2vAt и ArАР, а г — ускорение. Такое представление позволяет избежать всех ненужных умножений. По истечении некоторого времени большинство точек выйдет за пределы начального периода через одну из его границ х = 0, L и попадет в соседний период. Однако нет необходимости проверять этот уход точек (на что понадобилось бы машинное время), так как для расчета плотности заряда, электрического поля и ускорения частиц мы просто про­ ектируем координаты на основной период 0 ^ X < AL, затирая все значащие разряды, кроме а + I последних. Это можно сделать на Фортране с помощью оператора

ющие операторы присваивания очень удобны при решении задач, подобных задаче Власова или других, где имеют дело с частицами, так же как и при манипуляциях с цифрами. К сожалению, этих операторов нет на всех ЭЕМ и нет в ASA FORTRAN.

*) Программа была написана для CDC 3600 в Калифорнийском универси­ тете Сан-Диего и переработана для ICL KDF9 в Калэмской лаборатории. Обе машины используют 48-разрядный код. Программа также использова­ лась на CDC 6600 в Лоуренсовской радиационной лаборатории (Ливермор). У этой ЭВМ 60-разрядный код. Все три варианта Фортрана очень схожи.

ходимо вводить новые точки. Мы можем ввести точку у между точками а и ß следующим образом:

(изъять первую ячейку из списка «свободных мест» и включить ее в число ячеек, в которых хранятся точки кривой Cj) и

(вставить новую ячейку между ячейками Іа и Zp в цепочке). Новая точка у размещается в середине сегмента (а, ß), т. е. в общем случае

Нужна некоторая осторожность в случае, если сегмент совпадает с (Е , В), но мы этого касаться не будем.

Точку ß, которая лежит между а и у на кривой /, можно изъять, а ячейку, в которой она хранилась, включить в список «свобод­ ных» мест:

как функцию X. Так как фазовая плоскость поделена на области постоянной плотности, то / (х 0, ѵ) — ступенчатая функция ѵ для каждого значения х 0. Пусть контур Cj разделяет две области Rj и Zij-i с фазовыми плотностями fj и /;-_4. Область Rj должна оставаться справа, если двигаться по контуру Сj в положительном направлении. Определим

Предположим, что Сj пересекает вертикальную линию х = х0 произвольное число раз (возможно, и ни разу) в точках Vj,q, и определим функцию Sj,q, которая равна + 1 , если контур пере­ секает эту линию в направлении увеличения х, и равна —1 в про­ тивном случае. Тогда

39

Врасчетах мы будем предполагать, что каждая кривая — много­

угольник, т. е. ломаная линия. Нам нужно вычислить интеграл

xm

в каждом из интервалов

Добавляя новые точки в случае, если сегмент пересекает одну из вертикальных линий на границах интервалов, мы можем пред­ ставить каждый член в (35) в виде суммы по всем подсегментам, лежащим внутри интервала (36):

Нетрудно проверить, что выражение (37) приводит к правильным результатам, какова бы ни была форма сегментов.

Следовательно, вычислительная процедура довольно проста: мы движемся вдоль каждой кривой в положительном направлении и с помощью операций MASK и деления целых чисел (см. п. 1) определяем ж-интервалы, в которых помещаются две концевые точки каждого сегмента. Затем каждому интервалу, внутри которого имеется сегмент, приписывается в соответствии с форму­ лой (37) некоторое добавочное количество заряда, которое вычис­ ляется в режиме с плавающей запятой.

Когда кривые ломаные, этот расчет приводит к точной величи­ не полного заряда внутри каждого эйлеровского интервала, если не считать ошибки округления. Электрическое поле на границе каждого интервала легко затем рассчитать по интегральной фор­ муле

(АЕ)т = 4я {Qm — g0), ' (38)

где Qm — заряд внутри т-то интервала, д0 — однородно распре­ деленный положительный заряд фона, который подбирается таким,

8*

чтобы суммарный заряд в точности равнялся нулю, и

(39)

Уравнение (39) точное, но, чтобы наложить условие периодичности

L

(40)

о

мы должны предположить, что внутри каждого эйлеровского интервала поле Е (х) изменяется линейно. Эта аппроксимация также нужна для расчета значений электрического поля в лагранжевских точках x t, которые подставляются в уравнения (18).

Следовательно, на каждом шаге по времени два небольших фактора приводят к ошибкам в расчете электрического поля. Во-первых, мы предположили, что кривые Cj — ломаные линии, но это свойство кривых нарушается с течением времени, так как сегменты искривляются. Во-вторых, мы приняли, что величину Е (X) можно рассчитать, пользуясь линейной интерполяцией значений в узлах эйлеровской сетки, в то время как в действи­ тельности электрическое поле имеет более сложную структуру: величина cPEldx2 в каждой точке x t изменяется от одного постоян­ ного значения к другому. Первый тип ошибок можно свести к минимуму, если увеличить число лагранжевских точек на кон­ турах, а второй — если увеличить число эйлеровских интервалов. Имеется и третий источник ошибок при расчете движения конту­ ров, который зависит от величины шага по времени At. Этот ис­ точник рассматривается в § 4.

4.Подправление контуров

Впроцессе счета два контура или две части одного и того же контура часто сближаются друг с другом, пока площадь между ними не становится исчезающе малой на отрезке конечной длины.

Вэтом случае две кривые превращаются в одну «двойную» кри­ вую, которую не имеет смысла проходить дважды. Если величина / на каждой стороне «двойной» кривой одинакова, то, исключив совсем «двойной» участок кривой, мы не изменим состояния

системы.

Фиг. 9 иллюстрирует три возможных случая образования «двойных» кривых. Проще разобрать диаграмму на фиг. 9, а; с нее мы и начнем наш анализ. В этом случае цепочка Сt переделывается следующим образом: точку С соединяют с точкой D и образуют новую замкнутую кривую, начинающуюся в точке А и оканчиваю­