книги из ГПНТБ / Вычислительные методы в физике плазмы
..pdf§ 1. Введение |
97 |
движется с жидкостью и сохраняет свою топологию при эволюции системы, так что никаких пересечений или смазываний не про исходит. Более того, площадь между любыми двумя контурами — интеграл движения. Каждая точка (xt, щ) на контуре удовлет воряет уравнениям движения «частицы»:
dx |
dvj. |
■ai(xi, Vj, t). |
(2) |
1 Г ~ Ѵі’ |
dt |
В этой главе мы рассмотрим пример двумерной фазовой электрон ной жидкости, которая нейтрализуется равномерно распределен ным положительным зарядом. Ускорение а = е/(т) Е х(, t) не зависит от плотности и определяется электрическим полем Е, которое удовлетворяет уравнению Пуассона:
СО
< 3 >
—оо
где <Вр = (4лще2)Іт, е — заряд электрона (отрицательная вели чина), т — масса электрона, п0 — средняя плотность частиц
и 2Ѵ — нормировочный |
множитель. Ниже мы будем вместо |
(е/т) Е писать просто |
Е = — дц>/дх. |
В литературе описано несколько методов решения системы уравнений Власова (1) и Пуассона (3) [2, 3]. Так как (1)— диф ференциальное уравнение в частных производных, то, возможно, наиболее прямой способ его решения заключается в использовании разностного метода с прямоугольной сеткой в двумерном про странстве (х, к), который в четырехмерном случае применяли Киллин и Ромпель [4]. Этот метод очень прост, но трудоемок, так как для его реализации требуется несколько тысяч узловых то чек. Кроме того, ошибки аппроксимации приведут к некоторой «диффузии» численных результатов, даже если применить разнос тный метод четвертого порядка [5]. Большинство исследователей используют модель частиц, предложенную Бунеманом [6] и Доу соном [7], в которой непрерывная фазовая жидкость моделируется системой дискретных точек. Локальная плотность этих точек внутри небольшой области фазовой плоскости задает некоторую аппроксимацию / (х, ѵ), которую можно использовать в уравне нии (3) для вычисления распределения заряда. Движение этих точек в соответствии с уравнениями (2) определяет графическую картину течения жидкости [8, 9], хотя из-за статистических флуктуаций плотности заряда, которые вызывают случайные электрические поля, возникает некоторая «диффузия» численных результатов. Ценой существенного увеличения машинного вре мени получены более точные решения системы уравнений Власова и Пуассона с помощью разложений в ряд Фурье и по ортогональ ным полиномам [10, 11].
7 -0 1 2 3 6
98 |
Гл. 3. Модель «водяного мешка» |
Альтернативный метод рассмотрения эволюции системы — наблюдение за каждой контурной кривой Сj [12]. В каждый момент
времени t форма контуров определяет плотность заряда j fdv, что
позволяет из уравнения (3) рассчитать Е (ж). Если Е (х;) и vt изве
стны, то |
уравнения (2) определяют новое состояние системы |
в момент |
t + dt. |
Этот метод особенно удобен в случае, когда функция распреде ления задана конечным числом определенных кривых, т. е. явля
ется, например, |
обобщенной ступенчатой функцией: |
участки, где |
|
/ — константа, |
разделены граничными точками, |
в |
которых / |
изменяется скачком. |
на ней показа |
||
Диаграмма на фиг. 1 иллюстрирует этот случай; |
|||
ны только такие кривые, которые разделяют области с разными значениями /. Если эти граничные кривые известны, то распреде ление определено совершенно точно и нет необходимости следить за точками жидкости внутри областей, даже если эти точки совер шают сложные движения. В § 3 мы покажем, как рассчитать плот ность заряда для произвольной границы. Удобно называть эти границы просто «контурами», так как у них одни и те же главные свойства. Фактически эти границы соответствуют областям фазовой плоскости, где «срастается» большое число контуров.
Первым, кто применил этот численный метод для исследова ния нелинейных свойств неустойчивости типа «отрицательной массы», был Доури [13], а Вудс [14] применил этот метод, чтобы описать захват частиц в «Астроне». Термин модель «водяного меш ка» был предложен Де-Паком [15], аналитически исследовавшим поведение электронных пучков, когда ограниченная область однородной плотности эволюционирует как несжимаемая жид кость в фазовом пространстве аналогично капле воды внутри идеально упругой и деформируемой оболочки.
С течением времени кривые вытягиваются и искривляются. Поэтому, чтобы точность расчета не уменьшалась, мы вынуждены рассматривать дополнительные точки. В конце концов вычисления приходится прекращать либо из-за очень медленного темпа счета, либо из-за нехватки «памяти» ЭВМ. Но прежде чем вычисления достигнут этой стадии, модель «водяного мешка» позволит решить задачу с хорошей точностью при небольших затратах машинного времени. Следовательно, эта модель — полезное добавление к дру гим имеющимся методам.
§ 2. Ф и зи ч ески е сво й ст ва с т у п е н ч а т ы х р а с п р е д е л е н и й
Хотя эволюцию ступенчатого распределения просто рассчитать, детальное исследование таких систем оправдано только в случае, когда их физические свойства подобны таковым для реальных
§ 2. Физические свойства ступенчатых распределений |
99 |
непрерывных распределений. Это верно для явлений, которые зависят главным образом от общей формы функции распределе ния, а не от конкретных деталей. В этом случае часто можно добиться более глубокого понимания физики процессов, если оперировать со ступенчатым распределением, так как становится проще учесть порознь вклады индивидуальных областей фазового пространства. В качестве иллюстрации в этом параграфе мы дадим графическую интерпретацию наших расчетов таких нели нейных величин и явлений, выполненных с помощью модели «водяного мешка», как свободная энергия [16, 17], дебаевское экранирование, осцилляции плазмы, движение пробной частицы и тепловая двухпотоковая неустойчивость.
Хотя эти примеры существенно способствуют пониманию нели нейных процессов в двумерной фазовой жидкости, при экстрапо ляции полученных результатов на случай четырехили шести мерной жидкостей (N = 2 или 3) следует соблюдать осторожность, так как процессы в таких жидкостях поняты много хуже. Напри мер, в обычной гидродинамике известно, что имеются важные качественные отличия в турбулентном движении несжимаемых двумерной и трехмерной жидкостей. Соответственно некоторые явления, описанные в этой главе, могут и не обобщаться на слу чай большей размерности.
1. Свободная энергия
Полная энергия фазовой жидкости пропорциональна выраже нию
(4)
и должна оставаться постоянной при эволюции системы. Оба члена в выражении (4) определяются формой контуров Сj. Член для кинетической энергии можно сравнить с выражением для потенциальной гравитационной энергии системы несжимаемых жидкостей с постоянными, но различными плотностями (нефть
и вода), причем ѵ2 играет роль высоты. |
Если dfldv2 < 0 (нефть на |
воде), то фазовая жидкость устойчива |
и ее свободную энергию |
можно положить равной нулю, а если df/dv2 > 0, то жидкость может потерять кинетическую энергию при движении, когда различные области несжимаемой жидкости поменяются местами (аналогично случаю неустойчивости Рэлея — Тейлора на гра нице двух жидкостей). В этом движении области с большей плотностью «падают» по направлению к оси х, как показано на фиг. 2, отдавая свою энергию электрическому полю, в то время как области с меньшей плотностью движутся в противоположном направлении. Таково происхождение тепловой двухпотоковой
100 |
Гл. 3. Модель «водяного мешка» |
неустойчивости, обсуждаемой в § 2, п. 5. Однако эта гравитацион ная аналогия неточна, так как условие dfldE < 0 достаточно, но не
V
Ф 'и г. 2. Контуры в фазовом пространстве в случае двухпотоковой неустой чивости.
необходимо для обеспечения устойчивости. Нам встретятся случаи устойчивых конфигураций, когда это условие не выполняется.
2. Дебаевское экранирование
Дебаевское экранирование также можно представить графи чески. На фиг. 3 показана стационарная картина контуров одина ковой энергии
%= Y н2 + ф= const, |
(5) |
которая возникает вокруг точечного положительного заряда д. В случае ступенчатого распределения / постоянна между контура ми Сі и С2. Точки на верхнем контуре Сх движутся направо и при тягиваются зарядом q. Поэтому скорость щ (х) увеличивается и Cj возрастает при приближении точки к q и убывает при удале нии. На нижней кривой С2 ситуация аналогична. Эта деформация
контуров приводит к |
увеличению интеграла для |
заряда: |
j |
fdv = f[v1(x) — v2{x)] |
(6) |
и, следовательно, плотность отрицательных зарядов максимальна вблизи q и уменьшается до равновесной величины вдали от д. Захваченные частицы учитываются автоматически, при условии что / всюду постоянна. Это образование нейтрализующего заряда и есть дебаевское экранирование, которое приводит к исчезно вению электрических полей на больших расстояниях. Если бы заряд q был отрицательным, то контуры были бы деформированы
§ 2. Физические свойства ступенчатых распределений |
101 |
к центру, а не от центра, но эффект экранирования был бы со вершенно аналогичен. В случае достаточно малых возмущений имеем из уравнения (1)
6 £ = У 6 і7 + ф = 0, |
(7) |
и |
|
Ф и г . 3. Контуры в фазовом пространстве, возникающие в результате дебаевского экранирования положительного заряда q.
так что для симметричной конфигурации б j fdv = — (2<p)/F, и по
этому уравнение Пуассона (3) принимает вид
d2tp |
“г |
/ |
(8) |
d x 2 |
-zf- ф = |
4я(7. |
|
|
|
Решение этого уравнения (8) есть
Е = — 2nqSg(x)exy ( — y L ) , |
(9) |
где Sg (х) = 1, X > 0 и Sg (х) = — 1, х < 0. Дебаевское экрани рование может быть описано практически этим же методом
и в случае непрерывных распределений, причем величина V за меняется тепловой скоростью.
3. Плазменные колебания
На фиг. 4 показаны два устойчивых распределения, являющих ся монотонными функциями энергии: непрерывное распределение и ступенчатое распределение. В случае электростатических задач каждое распределение приводит к появлению диспергирующих волн, обычно называемых плазменными колебаниями. Диспер сионное соотношение для ступенчатой функции имеет вид
(10)
102 Гл. 3. Модель «водяного мешка»
где со — круговая частота и к — волновое число. Это соотношение точное. В случае же непрерывного (максвелловского) распределе
ния его можно приближенно записать в виде |
' |
||
(О2 |
= |
СОр + З/сѴт |
(11) |
при условии, что фазовая |
|
скорость Ѵф = |
соІк^>ѵт. Эти волны |
можно представить графически как осцилляции / контуров в пло скости XV (аналогично колебаниям поверхности жидкости). При
Ф и г. 4. Два устойчивых распределения: непрерывное и ступенчатое.
этих осцилляциях кинетическая энергия переходит в электро статическую, и наоборот.
Плазменные колебания приближенно можно описать системой уравнений для жидкости, подчиняющейся закону идеального газа
ѵ%п~й= const,
где
v%= j dv к2/ (V, x).
Бетранд и Фикс [18] недавно показали, что в случае ступенчатой функции распределения, показанной на фиг. 4, эти уравнения совершенно точные при условии, что контуры на фазовой плоско сти — однозначные функции х.
Хотя дисперсионные соотношения (10) и (11) очень похожи, имеется важное физическое различие между этими двумя моделями. При ступенчатом распределении линейные осцилляции длятся бесконечно долго, в то время как при непрерывном имеет место затухание Ландау. Это различие возникает из-за локальной структуры непрерывной функции распределения, так как если dfldv2 < 0 в окрестности фазовой скорости волны Уф, то возни кают движения несжимаемой жидкости. В результате такого движения различные области жидкости обмениваются местами, причем скорость областей с большей плотностью увеличивается,
§ 2. Физические свойства ступенчатых распределений |
103 |
а скорость областей с меньшей плотностью уменьшается. Следо вательно, в рамках линейного описания эта «резонирующая» область жидкости непрерывно поглощает энергию из волны.
Если начальная амплитуда волны достаточно велика, то этот процесс поглощения энергии за конечный промежуток времени достигнет насыщения [19, 11], после чего нелинейные процессы
и
X
Ф и г. 5. Контуры в фазовом пространстве в случае стационарных плаз менных колебаний.
вслучаях непрерывного и ступенчатого распределений могут оказаться аналогичными. Чтобы это доказать, рассмотрим в фазо вом пространстве контуры, возникающие из-за колебаний плазмы
сконечной амплитудой, сначала при ступенчатом, а затем при непрерывном распределении. На фиг. 5 в системе покоя волны, фазовая скорость которой равна Ѵф, показаны стационарные кон туры /, которые в равной мере можно интерпретировать либо как линии тока жидкости, либо как контуры постоянной энергии Щ— Ѵгп2 + ср. В лабораторной системе координат нарисованная совокупность контуров движется как единое целое вправо.
При ступенчатом распределении нижние кривые ^ и С2 изо бражают границы жидкости; фазовая скорость волны не находится
вэтой области. Следовательно, кривые Cs — Сб— «виртуальные» контуры постоянной энергии, на которых нет частиц. Кривая модулирована сильнее чем С2, так как частицы на кривой взаимодействуют с фиксированной фазой волны более длительное
время. Время этого взаимодействия обратно пропорционально частоте, смещенной из-за допплер-эффекта, со — кѵ = к (Ѵф— ѵ). Амплитуды модуляции 8щ, 2 определяются формулой
(12)
104 Гл. 3. Модель «водяного мешка»
Площади областей волны, обозначенных через В , меньше чем пло щади областей А; поэтому фазы В, в которых имеет место дефицит электронов, заряжены положительно, а фазы А — отрицательно.
Индивидуальные частицы на контурах постоянно обмениваются энергией с волной, так как всегда имеются различные фазы волны, локальная частота которой смещается из-за допплер-эффекта. Однако из фиг. 5 видно, что в лабораторной системе координат
полная кинетическая энергия возмущенной системы |
должна |
быть больше, чем начальная равновесная энергия, |
так как |
синусоидально возмущенный контур должен образовываться из начального равновесного состояния. Чтобы это произошло, жидкость из областей B t и А г должна перейти соответственно в области А у и В г, причем площадь должна сохраняться. Кроме
того, имеется положительная энергия поля, (2V7co|,) (E2l2)dx,
которая добавляется к энергии системы.
С некоторыми изменениями этот же анализ можно использо вать и для непрерывных распределений, правда, в этом случае нужно рассматривать уже бесконечное число контуров. Хотя это больше и не очевидно из фиг. 5, области В , где контуры образу ют впадину при V < ѵф, заряжены отрицательно, а области А — положительно. Для областей фазового пространства, где ѵ > Кф имеется тенденция к обратному распределению заряда, которая, правда, не очень сильно выражена в случае распределений, экспоненциально спадающих с к2, подобно максвелловскому рас пределению. Как и прежде, можно показать, что средняя кинети ческая энергия в лабораторной системе координат увеличивается в результате возмущения. В приложении 1, рассматривая обоб щенную ступенчатую функцию с большим числом малых ступеней и переходя к пределу, мы докажем эти утверждения.
Другая важная область, показанная на фиг. 5, находится между контурами С4 и Сь. В ней жидкость вращается во впадине
волны с частотой захвата, |
которая приближенно |
равна сот да |
да (кЕ)1/2. Чтобы перейти в |
это состояние из равновесного, |
|
захваченная жидкость должна |
поглотить энергию из |
волны, так |
как в возмущенном состоянии такие контуры /, как С0, с двух сторон огибают уровень ѵ = ѵф, в то время как в обычном равно весии функция имеет большую величину для меньших ѵ. Из факта перераспределения жидкости следует, что в среднем большие величины / увеличиваются, а меньшие — уменьшаются. В при ложении 1 показано, что разница А^кин в плотности кинетиче ской энергии между возмущенным и равновесным состояниями
в области захвата |
равна |
|
|
Аікин ^ (Ау)3у ~ , |
(13) |
где Ак — ширина |
области захвата по скорости, |
(Ак)2 да Е/к. |
§ 2. Физические свойства ступенчатых распределений |
105 |
В переходном случае, когда вначале имелось электрическое поле Е 0 с волновым числом к, резонирующая область будет по глощать энергию и эволюционировать в стационарное состояние. Чтобы это состояние достигалось прежде чем исчезнет электри
ческое поле, начальная плотность энергии поля~(Ѵ/(Ор)ЕІ дол жна быть больше энергии, необходимой для образования ловушки. Из этого неравенства следует, что
Еп |
( J L ) |
кѵ| y |
d&R |
_1_ ш2у Зел |
(14) |
\ дѵЪ )ѵ. Ф |
д(й |
л к ды ’ |
где
{дЦдѵ)ч
дед/öcü
— линеиныи инкремент затухания, ен —■действительная часть диэлектрической проницаемости для действительной со и для плазменных колебаний дгв /да> ж 2/сор. Перегруппировав члены, найдем, что условие достижения стационарного состояния в поле с конечной амплитудой имеет вид
(кЕ0)1/2 = сот > у . |
(15) |
Таким образом, в случае малого, но конечного электрического поля, удовлетворяющего условию (15), должна возникать стацио нарная волна как при непрерывном, так и при ступенчатом рас пределениях.
4.Движение пробного заряда
Вслучае простого ступенчатого распределения (/ Ф 0, |у| < V)
при движении пробного заряда со скоростью |у| < V через плазму имеет место экзотический эффект сверхтекучести. В общем случае торможение D частицы, движущейся со скоростью ѵ, определяет ся как
|
D |
Г |
11. Im [е (ft, to)] |
V |
____________ я________ |
|
( і б ) |
|
J |
fc I е (А, кѵ) |2“г |
а |
ка (де/ди>) (ка, каѵ) (v— Vg) |
’ |
||
|
|
|
|||||
где |
в (к, (о) — диэлектрическая проницаемость [е (ка, |
каѵ) = О |
|||||
для |
действительного ка\ и |
|
|
|
|
||
|
|
|
_ |
/ |
де/дк \ |
|
|
|
|
|
Vg~~ |
\ |
де/ды )k=ka ‘ |
|
|
В случае ступенчатого распределения Im е = 0, и потому тормо жение будет иметь место, только если скорость частицы равна
■106 Гл. 3. Модель «водяного мешка»
фазовой скорости собственной моды колебаний. Из уравнения (11) следует, что | с о / А V,| и, >следовательно, торможения нет, если
\ѵ\ < V. Если же И > V, то пробный заряд непрерывно возбуж дает черенковское излучение и потому теряет энергию и замед ляется.
Этот эффект сверхтекучести не является общей характери стикой непрерывного распределения. Пробный заряд вызывает обменные течения в фазовом пространстве, которые взаимодей ствуют с локальным градиентом скорости /, так что он всегда тормозится, если df/dv2 < 0. [Заметим, что Im s ~ df/dv2 в первом члене выражения (16).]
5. Двухпотоковая неустойчивость
Использование обобщенной ступенчатой функции для описа ния взаимодействия между двумя взаимопроникающими тепловы ми потоками — еще один пример, иллюстрирующий линейные и не линейные процессы [12, 20, 21]. На фиг. 6 показаны две функции
F
Ф и г. 6. Два распределения, соответствующие тепловой двухпотоковой неустойчивости.
распределения, соответствующие равновесному состоянию в случае двухпотоковой неустойчивости, а на фиг. 2 — контуры в фазовом пространстве для ступенчатого распределения. Функция рас пределения постоянна между контурами Сі и С2, С3 и С4 и равна нулю в любом другом месте.
Рассмотрим синусоидальное возмущение с нулевой фазовой ско ростью. Возмущенная конфигурация, которая оставляет площадь инвариантной, возникает из начальной развновесной конфигу рации, если жидкость из областей А с внутренних кривых сме щается в области В и аналогично из областей В с внешних кри