книги из ГПНТБ / Борисенко А.И. Аэродинамика и теплопередача в электрических машинах

ных — больше, чем это должно быть по закону Лам­

берта.

Закон Кирхгофа устанавливает связь между излуча­ тельной и поглощательной способностями тела. Рас­ смотрим тепловое равновесие двух параллельных пло­

полностью поглощается им. Серое тело излучает энер­

к его поглощательной способности равно лучеиспуска­ тельной способности черного тела при той же темпера­ туре. Так как £ = е£о, то

т. е. коэффициент поглощения и степень черноты чис­ ленно равны друг другу.

Интегралы дифференциальных уравнений. Законы,

описывающие какой-либо физический процесс, форму­ лируются математически в виде дифференциальных уравнений. Общие интегралы этих уравнений содержат постоянные интегрирования (или произвольные функ­ ций), и, таким образом, они дают бесконечное множест­ во решений, удовлетворяющих данному дифференциаль­ ному уравнению или системе их.

Однако в действительности физические процессы, описываемые искомой функцией, происходят единствен­ ным образом. Отбор единственного решения из беско­ нечного множества решений производится из конкрет­ ных условий поставленной задачи.

Так как рассматриваемый физический процесс про­ исходит в пространстве, то заданная область опреде­ ленным образом связана с окружающим пространст­ вом. Взаимодействие, происходящее на границах обла­ сти, имеет вполне определенный наперед заданный ха­ рактер, и найденная функция должна включать их в себя; она должна удовлетворять граничным условиям, вполне конкретным для данной задачи.

60

Прохождение физических процессов во времени тре­ бует, чтобы в определенный момент времени — будем называть его начальным — искомая функция принимала также вполне определенные значения, соответствующие данной задаче; говорят, что искомая функция должна удовлетворять начальным условиям.

Эти дополнительные условия — начальные, связан­ ные со временем, и граничные, связанные с границами области, — позволяют выделить из бесконечного мно­ жества решений, даваемых общим интегралом, единст­ венное решение, отвечающее действительности.

Начальные условия должны иметь место, конечно,

Граничные условия аэромеханики могут быть заданы на свободной поверхности или на твердых границах.

Пусть, например, рассматривается движение жидко­ сти, которая соприкасается с поверхностью, уравнение которой F (х, у, z, і) = 0. Если эта поверхность непро­ ницаема для жидкости и совершенная жидкость к ней примыкает без пустот, то граничные условия будут со­ стоять в том, что во всех точках поверхности скорость может быть только касательной к ней, координаты частиц должны совпадать с координатами поверхности

этого момента времени координаты частицы должны удовлетворять уравнению.

Ограничиваясь первыми членами разложения в ряд Тейлора и деля на dt, получаем граничное условие в следующей форме:

Если поверхность не деформируется с течением вре­

тельная скорость должна обращаться в нуль.

Примером динамического условия может служить равенство давления на свободной поверхности внеш­

61

Граничные условия при теплообмене более разно­ образны. Так, может быть задано распределение тем­ пературы по поверхности тела для каждого момента времени. Это будут так называемые граничные условия I рода.

Можно задать тепловой поток q в каждой точке по­ верхности тела в каждый момент времени — это гранич­ ные условия II рода. По сути, в этом случае задается производная по нормали от температуры на поверхно­ сти тела

Более сложным, но весьма важным для практиче­ ских приложений является решение задачи о распро­ странении тепла в каком-либо теле, если задан закон теплообмена с окружающей тело средой,— это гранич­ ные условия III рода. Уже было сказано, что в общем случае теплообмен является сложным явлением. В ка­ честве суммарной характеристики сложного теплообме­ на принимается так называемый закон Ньютона, по которому тепло dP, отдаваемое площадью diS поверх­ ности с температурой Тс окружающей его среде с тем­ пературой Гж за единицу времени, пропорционально разности температур и площади diS, т. е.

Множитель пропорциональности а носит название

коэффициента теплоотдачи. В этом параметре сосредо­ точены все факторы, определяющие теплообмен тела с окружающей средой: проводимость, перенос и излуче­ ние одновременно.

Так как это тепло подводится к поверхности тела из внутренних частей путем теплопроводности, то гра­ ничное условие III рода может быть записано в форме

Вэтом случае должны быть заданы значения а и Тж

вкаждой точке поверхности для каждого момента вре­ мени.

1-4. Моделирование

Виды моделирования. Моделирование применялось уже на ранних этапах развития науки. Моделью назы­ вают какое-либо сооружение или машину, изготовлен-

62

ные подобно натуре — обычно в уменьшенном виде. В моделях для научных исследований особенности, под­ лежащие исследованию, воспроизводят, соблюдая про­ порции, очень точно, например геометрические формы, жесткость конструкции и т. п. На моделях проводить исследования проще: облегчается возможность модифи­

что в натуре осуществить иногда практически невозмож­ но. В этом так называемом физическом моделировании

соответственные величины модели и натуры имеют оди­ наковую природу (например, испытание модели колеса компрессора турбогенератора на воздухе вместо водо­ рода).

В очень многих случаях уравнения, описывающие различные явления, различаются только обозначениями. «Единство природы, — писал Ленин, — обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к различным областям явле­ ний» (В. И. Л е н и н , изд. 5-е, т. 18, с. 306).

Например, потенциальное поле несжимаемой невяз­ кой жидкости и электрическое поле в хорошо проводя­ щей среде описываются совершенно одинаковыми урав­ нениями

\ѵ= Ѵф и divw = 0,

где

о конкретной задаче, и найденное решение формально будет справедливо как в электро-, так и в гидродина­ мике. Использование этой аналогии и позволяет моде­ лировать гидромеханические процессы электродинами­ ческими и наоборот. На такого рода аналогиях по­ строены многие схемы расчета методом замещения.

Моделирование, основанное на аналогии уравнений, т. е. па одинаковом математическом описании различ­ ных но своей природе явлений, -называют математиче­ ским. Это, по сути, численное решение уравнений, а математическая модель — это вычислительная маши­ на. В модель — вычислительную машину — вводятся исходные данные; процессы, происходящие в ней, дают

63

решения математической задачи, которые она затем выдает в виде показаний регистрирующих приборов. В настоящее время математическое моделирование яв­ ляется мощным инструментом эксперимента— получе­ ния численных оценок, проверки и изучения новой идеи.

Модель — это некоторый объект, искусственный или естественный, реальный или воображаемый, находящий­ ся в определенном соответствии с изучаемым объектом. Это соответствие может быть полным или частичным, т. е. модель может отражать все или только некоторые

а аналогии.

Единицы измерения. Физические явления математи­ чески описываются при помощи зависимостей между величинами. Физические величины могут измеряться различными единицами. От выбора единиц измерения (масштаба) зависит численное значение физических величин. Систему единиц измерения, конечно, удобнее выбирать так, чтобы уравнения, связывающие величины на основе законов природы, были проще.

Единицы измерения данной физической величины выражаются через единицы измерения величин, поло­ женных в основу системы единиц.

Уравнения, описывающие физические явления, под­ чиняются принципу однородности:' единицы измерения всех слагаемых в уравнении должны быть одинаковы.

Произвольно задать единицы измерения можно для всех величин, входящих в уравнение, кроме одной, которая называется производной величиной в отличие от осталь­ ных, которые называются основными. Принятые для основных величин единицы измерения соответственно называются основными. Единицы измерения производ­ ных величин в соответствующей системе определяются через основные. Количество основных единиц измере­ ния и выбор их определяются соображениями удобства.

варя 1963 г. в СССР предпочтительной утверждена Международная система единиц СИ. В ней принято

64

шесть основных величин: длина — метр, масса — кило­ грамм, время — секунда, температура — Кельвин, сила тока — ампер, сила света — свеча.

Единицы измерения А, В, С основных величин про­ порциональны первой степени принятой единицы изме­ рения. Так как отношение двух численных значений производной величины не должно зависеть от выбора

степенным одночленом из единицы измерения основных величин

U = Aa'B?'C'\ Ѵ = Аа2В?2С'і2.

Кроме того, в уравнения могут входить безразмерные

F = С т'™2 , единица измерения которой [С ]= н-м 2/кг2).

Теория подобия. В результате опыта, проведенного для решения какого-либо вопроса, устанавливаются определенные соотношения и закономерности между не­ зависимыми переменными, параметрами и их функция­ ми. Эти соотношения, вообще говоря, справедливы только для того случая, из которого они получены. Распространить эти результаты на другие аналогичные случаи, обобщить и определить границы их примени­ мости можно только соблюдая определенные правила — эти правила устанавливают теория подобия и анализ размерностей (единиц измерения). Термин этот заимст­ вован из геометрии, где подобие фигур означает равен­ ство соответственных углов и пропорциональность сход­ ственных длин. Множитель пропорциональности назы­ вается коэффициентом (масштабом) подобия.

Распространяя понятие геометрического подобия, говорят, что два физических явления подобны, если от­ ношения сходственных физических величин одинаковы в сходственные моменты времени во всех сходственных точках пространства. Отсюда каждый член уравнения, описывающего какое-либо явление, будет равен в на­ туре соответствующему члену уравнения для модели, умноженному на постоянное число. Другими словами, если написать уравнения для модели и натуры в без­ размерной форме, то они должны быть одинаковы. Рас-

смотрим как пример установившийся процесс теплооб­ мена плоской пластинки с потоком несжимаемой, не­ вязкой жидкости, описываемый уравнением (1-83):

где а=\/рс.

Предполагая граничные условия III рода, к этому уравнению нужно добавить уравнение

Примем за масштаб переменных величин какие-либо определенные значения их в определенных местах и обозначим безразмерные величины теми же буквами, я масштабы отметим индексом 0. Тогда оба уравнения можно переписать в виде

Я° С Я( ду У) — а‘>'Гоа (Гж Тс)

Деля на множитель из масштабов при каком-либо слагаемом каждого из уравнений, получаем их безраз­ мерные формы

Для подобия безразмерные формы уравнений моде­ ли и натуры должны быть одинаковы, поэтому коэффи­ циенты перед безразмерными ^переменными — критерии подобия — должны быть одинаковыми

( щ!о \ _ _ /к Д Л . f >о N _ / Х0 \

66

дифференцирования на 1/т и разделить все члены урав^ нения на один из них. Аргументы входящих в уравнение неоднородных функций являются критериями подобия.

Критерии подобия характеризуют величину каждого из членов уравнения по сравнению с величиной одного из них, принятой за единицу. В энергетическом уравне­ нии они будут характеризовать энергии отдельных сла­ гаемых, в силовом — сил. В уравнении (1-120) слева стоит величина, пропорциональная изменению темпера­ туры, связанному с перемещением частицы — величиной, пропорциональной конвективному переносу тепла. Спра­ ва — изменению температуры, связанному с переносом тепла проводимостью — молекулярным процессом в этой же среде. Отношение этих величин дает безразмерный критерий подобия — число Пекле

характеризующий отношение конвективного теплообме­ на к молекулярному.

Уравнение (1-121) носит несколько иной характер — левая часть характеризует теплопроводность среды, омывающей твердую поверхность, а справа записано тепло, получаемое (или отдаваемое) этой твердой по­ верхностью. Отношение их тоже дает безразмерный па­ раметр — число Нуссельта

Nu=«//A. (1-124)

Из граничных условий III рода (1-117), относящихся к одной и той же поверхности тела, следует:

связывающий параметры одной и той же среды и ха­ рактеризующий отношение внутреннего теплового со­ противления к внешнему.

Иногда вместо числа Нуссельта удобнее пользовать­

Сводка критериев подобия. Кроме рассмотренных выше критериев подобия (Ре и Ві) и безразмерных коэффициентов теплообмена (Nu и St) аналогичным путем найдем другие, весьма важные для анализа дви­ жения жидкости (газа) и теплообмена критерии подобия.

Систему (1-58), (1-62) и (1-75) можно представить в виде (предполагая ji = const, Cy= const, A = const)

= w0/(kR То) 1/2 — число Маха.

68

w vw = w x дх + Щ ду

Число Струхаля Sh дает отношение конвективной со­ ставляющей ускорения к локальной. При установившем­ ся движении критерий Струхаля выпадает.

Число Фруда Fr характеризует отношение сил инер­ ции к массовым. Естественная конвекция совершается вследствие изменения плотности жидкости от нагрева; возникающая добавочная сила (массовая) пропорцио­ нальна ßATf. Критерием подобия, характеризующим свободную конвекцию, является число Архимеда

Так как при свободной конвекции скорость w не является определяющим параметром, то удобнее ее исключить; это можно сделать, если ввести число Грасгофа

от какого-то уровня. Число Ей характеризует отношение сил перепада давления и сил инерции.

Число Рейнольдса — это отношение сил трения к си­

В некоторых задачах нестационарного теплообмена удобно связать скорость изменения температурного по­ ля, физические константы среды и размеры тела числом

69