книги из ГПНТБ / Борисенко А.И. Аэродинамика и теплопередача в электрических машинах

получаем уравнение энергии в виде, характеризующем процессы внутри рассматриваемого элемента,

кый объем) характеризует работу деформации элемента (здесь это работа только сил давления, так как силы вязкости не проявляются). Таким образом, тепло, подве­ денное к газу (Я д2Т/дР), идет на увеличение внутренней энергии рcydT/dt и на работу расширения р dw/dl объ­ ема элемента.

Если нет теплообмена (адиабатическое движение), нет сил трения и жидкость не совершает механической работы, то интеграл уравнения энергии для струйки (1-66) носит название уравнения Бернулли и имеет вид:

Для несжимаемой жидкости, когда изменения внут­ ренней энергии нет и термодинамические процессы, про­ исходящие внутри жидкости, не сказываются на ее дви­ жении, уравнение Бернулли часто пишут в виде

В этой записи все члены имеют размерность длины. Смысл этого уравнения: для всех точек идеальной жид­ кой струйки сумма высот — скоростной (wzl2g), пьезо­ метрической (p/pg) и геодезической (у), отмериваемых от одной горизонтальной плоскости — есть величина по­ стоянная.

Давление р, входящее в уравнение (1-69), в гидрав­ лике называют гидростатическим, а величину р + рш2/2 —

гидродинамическим давлением.

Во многих задачах (в частности, при рассмотрении вентиляции электрических машин) влияние изменения величины у ничтожно; замечая еще, что p = pRT и R =

— сѵ—Сѵ, можно написать:

40

Температура Т0 = Т -\-~^г носит название темпера­

туры заторможенного потока.

Уравнение Бернулли служит основой почти всех ги­ дродинамических расчетов. Сопротивление (потери) учи­ тываются введением дополнительного члена

(1-73)

В векторной форме

pcH 4 r s p * v ( 4 r + wv:r ) + />(Ѵ«0 = ЯѵіТ + pD, (1-74)

где

(xD = p,

— так называемая функция рассеивания (диссипации); это работа сил трения, переходящая в тепло, которое рас­ сеивается в массе жидкости.

Физический смысл этого уравнения: тепло, подведен­ ное к жидкости ХѴ2Т и выделяющееся вследствие работы сил вязкости pD, идет на увеличение внутренней энергии рс dTjdt и на работу расширения p(Vw).

41

Динамический пограничный слой. Отсутствие сколь­ жения на твердых границах («прилипание») приводит к большим градиентам скорости вблизи этих границ и зна­ чительных касательных напряжений т = ц dw/dn внутри тонкого пограничного слоя. В этом слое влияние сил вязкости соизмеримо с влиянием сил инерции, тогда как вне его силы вязкости пренебрежимо малы по сравнению с другими силами (инерции, давления, массовыми) и те­ чение близко к потенциальному.

Расстояние от стенки до места, где скорость течения «почти равна» скорости внешнего течения, называется толщиной пограничного слоя б. Эта величина является несколько неопределенной.

вдоль плоской границы твердого тела (хотя можно пока­ зать, что выводы справедливы и для случая криволиней­ ной стенки). Уравнения неразрывности и движения (при отсутствии массовых сил) при этом запишутся в виде

по нормали к ней. Оценим величины отдельных членов, входящих в это уравнение. Для этого введем характер­ ный масштаб I длин вдоль оси х и в качестве масштаба вдоль у возьмем толщину пограничного слоя б, положив

x=lU У = цЬ,

где £ и г| — безразмерные величины.

Умножая уравнение неразрывности на dy и интегри­ руя его в пределах от 0 до б, получаем вертикальную составляющую скорости на границе пограничного слоя

42

Аналогичной оценкой порядка величины членов третье­ го уравнения получим:

Так как все члены второго уравнения очень малы по сравнению с членом др/ду, то можно принять при боль­ ших Re

т. е. давление внутри пограничного слоя одинаково вдоль нормали к контуру тела и равно давлению на внешней границе слоя на рассматриваемой нормали.

Таким образом, приближенные уравнения неразрыв­ ности и движения в пограничном слое могут быть запи-

Результаты численного решения этих уравнений для плоской пластинки в предположении, что профили ско­ ростей в пограничном слое подобны во всех сечениях x = const, т. е. wx/w0=f(y/Ö) , и сопоставление их с опыт­ ными данными приведены на

рис. 1-15.

Хотя найденное реше­ ние асимптотическое, но, как видно из графика, уже при

= 4 х /У Я ех, скорость'практически равна скорости невоз-

Рис. 1-15. Распределение скоро­ стей в пограничном слое на пла­ стинке при ламинарном режиме течения (сплошная линия — теория).

44

мущенного потока іѵ0. Эту величину можно принять за толщину пограничного слоя для сечения х, в котором сосредоточено все влияние вязкости при ламинарном об­ текании пластинки.

Соответственно двум режимам течения вязкой жидко­ сти различают ламинарный и турбулентный пограничные слои. В ламинарном пограничном слое движение жидко­ сти происходит слоями без пульсаций скорости; в тур­ булентном имеются хаотические, подчиненные только статистической закономерности пульсации скорости и связанное с ними молярное перемешивание жидкости.

Напряжение трения на стенке при этом течении

dw — ? *=о = Г* ----PW’xW'y,

где второй член характеризует молекулярную вязкость, связанную с молярным объемом импульсов.

В непосредственной близости к стенке основную роль играет первое слагаемое, а вдали от нее — второе. Для определения расстояния уо, на котором существенно влияние молекулярной вязкости р, заметим, что в этой

Эту прослойку, как было сказано, называют вязким подслоем. При турбулентном течении продольные состав­ ляющие пульсационных скоростей значительно больше поперечных и течение в вязком подслое также турбулент-

Рис. 1-16. Развитие пограничного слоя на пластине.

45

ное, но с линейным законом усредненных скоростей. Вне области вязкого подслоя (резкой границы между вязким подслоем и остальным потоком жидкости провести, ко­ нечно, нельзя) основную роль играют турбулентные на­ пряжения pw'xw'y.

Из величин, определяющих движение жидкости с плот­ ностью р, создающее напряжение то, можно составить единственную комбинацию, имеющую размерность dwjdy,

а именно У Xolply, и поэтому должно иметь место равен­ ство

где x — так называемая универсальная постоянная, кото­ рая определяется только опытом (по результатам испы­ таний в трубах).

Интегрирование дает логарифмический закон распре­

где г/ш*/ѵ — так называемое безразмерное расстояние от стенки.

Из опыта для труб: х = 1/2,4 и С=5,84.

Для плоской пластинки толщина турбулентного по­ граничного слоя

8 = 0,37//R£T.

Переход от ламинарной формы движения к турбу­ лентной зависит от числа Rex=T2j0x/v. С увеличением ско­ рости при всех прочих одинаковых условиях область пе­ рехода приближается к переднему краю хорошо обте­ каемого тела. Структура пограничного слоя конечной толщины дана на рис. 1-16.

Интегральные соотношения. Помимо нелинейности приближенных уравнений пограничного слоя трудности решения их заключаются в необходимости удовлетворить граничным условиям на стенке, где скорость жидкости равна нулю, и на бесконечности, где исчезает влияние вязкости. Это решение предполагает, строго говоря, без­ граничную толщину пограничного слоя, в которой ско­ рость асимптотически приближается к скорости невозму­ щенного потока. Однако теоретические оценки, приведен-

46

Рис. 1-17. Интегральные соотношения получаются при­ менением законов сохранения к элементу пограничного

ABCD.

ные выше и подтвержденные опытом, показывают, что при ламинарном движении, например, уже на безразмер­

ном расстоянии порядка 1 /|/R e разница между скоро­ стью потенциального обтекания и скоростью в погранич­ ном слое практически исчезает. Эта идея пограничного слоя оказалась весьма плодотворной. Она привела к за­ мене дифференциальных уравнений для каждой точки потока в пограничном слое интегральными соотношения­ ми, которые получаются в результате применения зако­ нов сохранения к элементу длины слоя. Метод интеграль­ ных соотношений по своему замыслу, оперирующий с не­ которым образом усредненными параметрами, оказывает­ ся сравнительно малочувствительным к точности приня­ того в расчет закона распределения продольной скорости по нормали. Расчеты показывают, что во многих случаях достаточно, чтобы принятое распределение было только более или менее правдоподобным.

Изменение количества движения в объеме ABCD (рис. 1-17) должно быть равно секундному импульсу сил,

гг

47

или, замечая, что при р = const получаем p-f-рДОд /2 =const

и, следовательно, dpfdx — — pwa dwjdx,

dy.

О

Знак 6, оо означает, что с некоторого значения б прак­ тически безразлично, до какого расстояния от стенки про­ изводят интегрирование.

Величины б* и б** имеют размерность длины и носят название толщины вытеснения и толщины потери импуль­ са соответственно.

Это основное интегральное соотношение теории по­ граничного слоя было выведено Карманом и называется уравнением импульсов.

Уравнение энергии Л. С. Лейбензон получил анало­ гичным путем, применяя закон сохранения энергии к эле­ менту ламинарного пограничного слоя. В ней фигуриру­ ет толщина потери энергии

Условные толщины пограничного слоя. Толщины вы­ теснения б*, потерь импульса б**, энергии б*** значи-

48

тельно точнее характеризуют область влияния вязкости, чем расплывчатое понятие толщины пограничного слоя как расстояния от стенки до места, где скорость стано­ вится близкой к скорости в ядре потока.

Толщина вытеснения — расстояние, на которое нужно отодвинуть поток газа от стенок тела, чтобы не изменил­ ся массовый расход его при обтекании тела потенциаль­ ным потоком несжимаемой жидкости. Толщина потери импульса — дополнительное к толщине вытеснения рас­ стояние, на которое должен быть отодвинут от стенки те­ ла поток, чтобы не изменилось количество движения при обтекании тела потенциальным потоком несжимаемого газа.

Отметим, что распределение давления по телу хорошо совпадает с опытом, если расчет вести по теории потен­ циального обтекания тела невязким газом для тела, на контур которого наращена толщина вытеснения.

При наиболее грубом приближении — линейном рас­ пределении скорости (wx= w0yl6) в пограничном слое не­ сжимаемой жидкости имеем:

6* = 6/2; б** = 6/6; 6*** = 6/4.

Опыт показывает, что при движении жидкости с поло­ жительным градиентом давления в некоторой точке, точ­ нее говоря области, у поверхности тела возникает воз­ вратное движение жидкости. Физически это можно объ­ яснить тем, что при движении жидкости в направлении возрастающего давления частицы жидкости, лежащие ближе к поверхности тела и имеющие под действием тре­ ния наименьшую скорость, затормозятся и затем под влиянием давления, направленного против основного те­ чения, начнут двигаться обратно, создавая таким обра­ зом отрыв пограничного слоя. Из графика распределения

к стенке у самой стенки обращается в нуль. За местом отрыва вследствие возвратного движения образуется об­ ласть возникновения вихрей конечных размеров, которые проникают в область внешнего течения и изменяют фор­ му движения. __

Так как для ламинарного слоя S//~ 1 / у Re; W yj W x ^ 1 / У Re

и при изменении Re изменяются только поперечные мас­ штабы длины и скорости, а движение сохраняется подоб-