книги из ГПНТБ / Авдеева А.А. Контроль топлива на электростанциях

С неоднородностью топлива, потребляемого на элек­ тростанциях, приходится считаться не только при уста­ новлении норм его эксплуатационного опробования, но и при анализе и оптимизации топочных режимов.

2-2. ХАРАКТЕРИСТИКА С Р Е Д Н Е Г О КАЧЕСТВА И Н Е О Д Н О Р О Д Н О С Т И ТОПЛИВА

На практике для определения степени неоднородности опробуемого топлива отбирают и анализируют опреде­ ленное количество порций топлива. Подробно о методах определения неоднородности, сказано в гл. 4. Результаты анализа отобранных порций сводят в вариационный ряд, представляющий собой последовательность результатов анализа, расположенных в возрастающем порядке. Ва­ риационный ряд, составленный из результатов анализа проб, отобранных методом выборки, позволяет оценить распределение исследуемого признака (или качества) во всей массе испытуемого топлива, так называемой его ге­ неральной совокупности. Генеральная совокупность ха­ рактеризуется средним показателем качества или мате­ матическим'ожиданием исследуемого качества, случайно распределенного в топливе. Важной характеристикой распределения случайной величины (показателя качест­ ва) язляется дисперсия, представляющая собой меру рассеивания случайной величины около ее математиче­ ского ожидания.

На практике исследователь всегда располагает лишь ограниченным числом значений случайной величины, представляющим собой некоторую выборку. По выборке могут быть рассчитаны выборочные статистические ха­ рактеристики (выборочное среднее, дисперсия и т. п.), которые являются оценками соответствующих генераль­ ных статистических характеристик (параметров). Каж­ дую выборочную характеристику также нужно рассма­ тривать как значение некоторой случайной величины, изменяющейся от выборки к выборке. Среди всевозмож­ ных оценок особую ценность представляют состоятель­ ные и несмещенные оценки [Л. 7]. Оценка называется состоятельной, если с увеличением объема выборки она стремится (по вероятности) к оцениваемому параметру. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно оцениваемо­ му параметру. Состоятельные несмещенные оценки мате-

матического ожидания и дисперсии имеют следующий вид:

(пробе); п — число вариантов, т. е. проанализированных порций (проб); о2 —оценка дисперсии.

Поскольку в дальнейшем мы будем иметь дело только с оценками параметров генеральной совокупности, опре­ деляемыми по рядам выборок, то опустим слово «оцен­ ка», а оценку математического ожидания будем имено­ вать средним арифметическим.

Среднее арифметическое обладает рядом свойств: сумма квадратов отклонений от средней арифметиче­

ской меньше, чем от любого другого числа; постоянный множитель (или делитель) можно выве­

сти за знак средней; , алгебраическая сумма отклонений от средней инди­

видуальных значений признака равна нулю.

В практике отбора проб часто отдельные порции от­ бирают не от равного количества топлива. Для того что­ бы повысить точность определения среднего значения качества всей массы опробуемого топлива, его определя­ ют как средневзвешенное. При этом перемножают ре­ зультат анализа отдельных порций на массу топлива, от которого она представлена в ряде, затем складывают эти произведения и делят на общую массу исследуемого топ­ лива. При отборе порций из потока считают, что масса порции пропорциональна массе представляемого ею топ­ лива, и рассчитывают средневзвешенное значение опре­

Формула (2-3) по второму свойству среднего арифметического применительно к отбору порций из потока топлива в условиях рав­ номерной его подачи, т. е. при равенстве масс всех порций, преоб­ разуется в формулу (2-1). Другими словами, в этом случае нет смысла определять среднюю методом взвешивания вариантов. Пред­ ставляет практический интерес и первое свойство среднего арифме­ тического. Оно позволяет произвести промежуточный контроль стати­ стических расчетов. Это свойство заключается в том, что сумма отри­ цательных отклонений должна быть равна сумме положительных отклонений всех значений показателей в ряде. Строго говоря, в ре­ зультате приближений при подсчетах отклонений абсолютная сходи­ мость сумм отрицательных и положительных отклонений практически получается редко. Однако по близости их значений можно довольно хорошо судить о точности проделанных расчетов. Первое свойство среднего арифметического лежит в основе метода наименьших квад­ ратов, применяемого при более глубоком математическом анализе статистических данных для аппроксимации зависимости между двумя величинами, изменяющимися по случайному закону. Иногда для бо­ лее детального изучения свойств топлива используют и другие так называемые характеристики расположения, к которым относится и среднеарифметическое [Л. 8]. Подобными характеристиками являются медиана и мода. Медиана определяется из условия, что половина результатов анализов имеет значения, равные или превышающие ме­ диану, и половина имеет значения, равные или меньшие ее. Мода же характеризует наиболее вероятное значение исследуемого показателя качества топлива.

большим) и первым (наименьшим) показателями качест­ ва в вариационном ряде. Существуют и другие не рас­ сматриваемые нами характеристики рассеивания.

Формула (2-2) для вычисления дисперсии может быть путем несложных преобразований представлена в дру­ гом виде:

п.

°2 = - п

т. е. дисперсию можно вычислить как разность среднего квадрата и квадрата средней величины исследуемого ка­ чества. Однако более употребителен способ подсчета по­ средством формулы (2-2), дающий возможность сделать при расчетах промежуточную проверку выполненных опе­ раций, использовав указанное выше свойство отклонений

от средней. Дисперсия, как и среднее арифметическое, обладает рядом свойств:

если все значения вариационного ряда увеличить на одну и ту же величину, то дисперсия останется без из­ менения;

если все значения ряда умножить на одно и то же число k, то дисперсия увеличится в k2 раз;

если совокупность разбита на несколько частей, то общая дисперсия является суммой средней величины дис­ персий внутри отдельных частей совокупности (частных дисперсий) и среднего квадрата отклонения частных средних от общей средней.

Последнее свойство, называемое правилом сложения вариаций, используется три подсчете неоднородности в общем ряде нескольких ее определений, например, при подсчете суточной неоднородности, если по ряду причин при испытаниях имелась возможность опреде­ лить изменение качества топлива только в пределах сменных по­ ставок.

Наиболее приемлемым, в большей мере характери­ зующим рассеивание, является среднеквадратическое от­ клонение—корень квадратный из дисперсии:

(2-4)

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату ана­ лизируемой величины, и поэтому имеет недостаточно чет­ кий физический смысл, особенно в тех случаях, когда анализируемый признак выражается в процентах. Поэто­ му в качестве основной меры неоднородности обычно применяют среднее квадратическое отклонение, имеющее ту же размерность, что и анализируемый показатель.

Для относительной оценки величины неоднородности по различ­ ным показателям качества принято пользоваться коэффициентом ва­ риации, представляющим собой среднее квадратическое отклонение, выраженное в процентах к анализируемому показателю:

Коэффициент вариации позволяет выявить наиболее варьирую­ щий показатель в тех случаях, когда средние значения двух или нескольких сравниваемых распределений значительно отличаются

более варьирующий показатель качества, по которому необходимо рассчитывать нормы отбора порций. Обработка сведенных в ряды

ности распределения карбонатов. Коэффициенты вариации этих по­

Таким образом, вопреки абсолютным значениям показателей не­ однородности, наиболее неоднородны сланцы по содержанию карбо­ натов, так как коэффициент их вариации по этому параметру боль­ ше коэффициента вариации по зольности.

По показателю неоднородности наиболее варьирую­ щего показателя качества производится расчет норм от­ бора, так как обеспечение условий получения представи­ тельных проб по наиболее варьирующему показателю заведомо гарантирует их представительность по осталь­ ным показателям, за исключением тех, которые изменя­ ются в процессе хранения проб (например, содержание влаги). Это обстоятельство следует учитывать при орга­ низации опробования топлива. Исследования варьирова­ ния показателей качества углей показали, что наиболее варьирующим показателем является зольность. Поэто­ му все расчеты норм отбора проб углей ведутся с учетом неоднородности по зольности, рассчитанной на сухую массу.

2-3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ З А К О Н О М Е Р Н О С Т И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАЧЕСТВЕННЫХ П О К А З А Т Е Л Е Й ТОПЛИВА

Сведения о,.показателях неоднородности по 'наиболее варьирую­ щему показателю еще недостаточны для расчета объема выборки — числа порций, подлежащих отбору в первичную пробу (суточную или сменную). Для того чтобы рассчитать нормы отбора при задан­ ной точности, необходимо знать закономерность распределения рас­

рядов результатов анализа большого количества порций или проб. Разберем пример такого статистического анализа ряда, получен­ ного при изучении распределения качественных показателей в сланце на Прибалтийской ГРЭС (табл. 2-1). Попутно познакомимся с дру­ гими способами подсчета среднего арифметического и среднеквадратического и с графическим изображением вариационных рядов и

интерпретацией статистических характеристик.

Определенные по формулам (2-1) и (2-2) среднее арифметиче­ ское и среднеквадратическое являются лишь параметрами, которые могут принадлежать любому закону распределения. Сам вид закона распределения при новой постановке задачи может оставаться гипо­ тетическим и нуждается в проверке. Наиболее распространенным критерием проверки то данным выборки гипотезы о том, что данная величина подчинена определенному закону, является критерий соот­ ветствия — %2 -критерий Пирсона. Процедура проверки гипотезы со­ стоит из построения вариационного ряда по данным выборки и про­ верки гипотезы с помощью этого критерия.

Наиболее распространенным законом распределения случайных величин является закон нормального распределения Лапласа — Гаус­ са. Поэтому правомерно проверить гипотезу о распределении иссле­

Пирсона накладываются дополнительные'ограничения. Этот критерий имеет v = k—/—1 степеней свободы, .где i &—количество интервалов вариационного ряда и / — колииество оцениваемых параметров в за­ коне распределения. При нормальном законе распределения оцени­ ваются дисперсия и математическое ожидание, т. е. 1 = 2.

Прежде чем приступить к построению интервального вариацион­ ного ряда, на основании предварительной оценки среднего и диспер­ сии о 2 производят корректировку данных. По ожидаемому закону нормального распределения отклонения от среднего значения, превы­ шающие Зо, имеют ничтожную вероятность в 0,003. Поэтому по так называемому правилу трех сигм из дальнейшего расчета исключают­ ся варианты, отличающиеся от среднего в большую или меньшую

Т а б л и ц а 2-1

Пример статистической обработки результатов анализа порций сланца, сведенных в ранжированный вариационный ряд

Преобразованная в интервальный вариационный ряд выборка может изображаться в виде графика. Если на ось абсцисс в масшта­ бе нанести границы интервалов в единицах исследуемого показателя качества, а по оси ординат отложить, также в масштабе, относитель­ ную частоту, то получим ступенчатое изображение распределения, называемое гистограммой (рис. 2-1).

Сравнивая результаты подсчета среднего значения показателя содержания карбонатов и его среднего квадрэтического отклонения, произведенные по формулам (2-4) и (2-2) и по формулам (2-6) и (2-7), можно заметить небольшое расхождение соответствующих оп­

Рис. 2-1. Гистограмма и кривая плотности вероятно­ стей нормального распре­ деления.

16,30 18,58 20,86 23,П

произведена без учета массы порций и после его корректировки, за­ ключающейся в выбросе из ряда значений вариантов, разнящихся от среднего более чем на 30. Однако расхождения результатов двух подсчетов параметров ряда незначительны. Эти расхождения тем

ко нарушается пропорциональность массы каждой порции массе топлива, за которое она призвана отвечать. Поэтому если требуется

нужно стремиться обеспечить примерно равномерную загрузку кон­ вейера тошгавоподачи. При близости масс порций их можно в расчет

объединить в один увеличенный по длине интервал два первых интер­ вала исходного ряда; общее количество интервалов в выровненном ряде становится при этом на один меньше, чем в исходном. Соот-