книги из ГПНТБ / Физика магнитных диэлектриков

тензором четвертого ранга, •симметричным по переста­ новке индексов внутри первой и второй пары и по переста­ новке пар. Соответственно 'в самом общем случае тензор Cijkl имеет 21 независимую компоненту, и для кристалла

низшей симметрии упругая энергия записывается в виде

1

где компоненты тензора упругих постоянных даны в мат­ ричных обозначениях, причем c;j.kl =с при любых р и q.

В гексагональных и кубических кристаллах число не­ зависимых компонент тензора cfj kl составляет соответ­

ственно 5 и 3 [14], и выражения для упругой энергии имеют следующий вид: в кубическом кристалле

и в гексагональном —

Последнее слагаемое в выражении (4. 2) \ѴЩ= ~^ijkiuijajc ai представляет собой магнитоупругую энергию. Тензор магнитоупругих постоянных bijkl симметричен

по перестановке индексов внутри первой и второй пары и, таким образом, по свойствам симметрии подобен тензору пьезооптических коэффициентов п , [14]. В общем слу­

чае число независимых компонент тензора bijkl равно 36,

однако, учитывая зависимость магпитоупругой энергии только от направления намагниченности, но не от ее вели­ чины [7], получаем, что в общем случае в выражение для магнитоупругой энергии входит лишь 30 независимых комбинаций bfjkl. При записи энергии в явном виде удобно

300

можно записать магиитоупругую энергию для кристалла любой симметрии. Так, для гексагональных (точечные группы D3h, C6ll, De и D6h) и кубических (точечные группы Td, О и 0 Л) кристаллов, согласно табл. 4.1, имеем соот­ ветственно

Для кубических кристаллов обычно принято вводить следующие обозначения: Ь11—Ь12= В 1, Ь ^ —2Ьугу. —В 2, при

этом формулу (4. 28) можно записать в следующем ком­ пактном виде:

В табл. 4.2 в качестве иллюстрации приведены зна­ чения констант анизотропии и магнитоупругих постоян­ ных для некоторых кристаллов. Упругие постоянные сік для диэлектрических кристаллов по порядку величины составляют ІО12—ІО11 эрг/см3, а константы обменного взаимодействия аік по порядку величины равны ІО"6 эрг/см.

ЗОі

также кристаллы некоторых ферритов. Хотя эти кристаллы и не являются ферромагнетиками, наличие в них магнитных подрешеток не проявляется в эффектах, которые рассматриваются в настоящей главе, поэтому изло­ женная в §§ 2, 3 теория магпптоупругого взаимодействия в ферромагнетиках применима н к этим кристаллам.

о ыагнитоупругих волнах, кратко рассмотрим характери­ стики распространения несвязанных упругих и спиновых волн.

Уравпеипе движения для несвязанных упругих волн получается из выражении (4. 1) и (4. 6) при условии, что

где "и и у-к — направляющие косинусы вектора смещения и волнового вектора. Учитывая, что ш/д =ѵ есть скорость

302

распространения упругой волны и вводя обозначения

рѵ2= Х и с.кІшхкхт= Г,.,, получаем

Записанное в сокращенном виде уравнение (4. 32) пред­ ставляет собой систему трех однородных линейных урав­ нений относительно у;. Такая система имеет отличные от нуля решения при условии равенства пулю детерми­ нанта из коэффициентов при у,, т. е.

Это выражение является уравнением третьей степени относительно X и определяет три значения скорости упру­ гих волн, которые могут распространяться в кристалле вдоль данного направления, заданного волновым векто­ ром q. Подставляя определенные из уравнения (4. 33) скорости в (4. 32), можно найти ~{п соответствующие каждой упругой волне, т. е. найти возможные направле­ ния поляризации упругой волны.

Анализ решений уравнений движения показывает [15], что для любого направления распространения в кристалле существуют три независимых плоских волны со смеще­ ниями во взаиімио перпендикулярных направлениях. В об­ щем случае ни один из трех векторов смещений не совпа­ дает с направлением распрострапения.

Волну, вектор смещения в которой наиболее близок к направлению распространения, принято называть квазипродольной, две другие волны — квазипоперечными.

Отклонения вектора смещений в квазипродольпой волне от направления распространения (и соответственно векторов смещений в квазипоперечных волнах от нормали к направлению распространения) могут достигать не­ скольких десятков градусов. Эти отклонения тем меньше, чем более упруго изотропен кристалл, и полностью отсут­ ствуют в упруго изотропной среде для любого направле­ ния распространения.

Что касается анизотропных сред, то в них имеются два типа особых направлений. Вдоль одного из таких направ­ лений, которые мы будем называть чистыми, упругие волны распространяются, как в изотропной среде, в виде чистых мод, т. е. вектор смещений одной из воли паралле-

303

леи направлению распространения (продольная волна), а векторы смещений двух других волн перпендикулярны этому направлению (поперечные волны). Другое особое направление характеризуется тем, чтоодна из трех воли, распространяющихся вдоль этого направления, является чисто поперечной, а две другие — квазипоперечной и квазипродольпой.

Некоторые из особых направлений в кристаллах можно найти, исходя просто из соображений симметрии. Так, легко видеть, что чистыми направлениями являются оси симметрии любого порядка, а также направления, пер­ пендикулярные плоскостям симметрии. Отметим здесь же, что если направление распространения совпадает с осью симметрии более чем второго порядка, то такое направле­ ние является вырожденным для поперечных волн, т. е. для этих волн возможны любые векторы смещений в плос­ кости, перпендикулярной направлению распространения, и скорости этих волн одинаковы. Аналогично из соображе­ ний симметрии следует, что для любого направления рас­ пространения, лежащего в плоскости симметрии, одна из воли обязательно является чисто поперечной.

Помимо чистых направлений, которые можно найти на основе соображений симметрии, в кристалле могут существовать и другие чистые направления. Для опре­ деления таких направлений требуется проведение конкрет­ ных расчетов, исходя из известных модулей упругости кристалла. Общие формулы для чистых направлений в кристаллах различных точечных групп приведены в ра­ боте [16].

Перейдем далее к несвязанным спиновым волнам.

честве примера случаем кристаллов кубической и гексаго­ нальной симметрии и получим дисперсионные соотноше­ ния для спиновых воли при различных направлениях внешнего магнитного поля Н0 и волнового вектора q. Начнем со случая, когда поле Н0 направлено вдоль оси Z, а волновой вектор q находится, скажем, в плоскости Z Y под углом 0 к оси Z (направление осей координат выби­ рается обычным образом, т. е. в кубическом кристалле оси

304

Как видно из этого выражения, при 0=0 спиновая волна характеризуется круговой поляризацией, совпадаю­ щей по направлению вращения с направлением прецес­ сии сппиа электрона в поле ГТ. При 0=4=0 спиновая волна поляризована эллиптически по отношению к внешнему магнитному полю и более сложным образом поляризована по отношению к волновому вектору q.

Следует указать, что комбинации констант анизотро­ пии, которые входят в формулы для частоты спиновых воли, не всегда можно представить в виде некоторого эф-

1

Рис. 4.1. Спектр сппповых воли.

фектпвного • поля анизотропии # Л. Для кубических кри­ сталлов, например, эффективное поле анизотропии можно ввести еще в тех случаях, когда внешнее магнитное поле

При произвольной ориентации внешнего магнитного поля константы анизотропии входят в шт таким образом, что их нельзя представить в виде единого эффективного поля

Н&.

Так, например, в случае распространения спиновой волны вдоль направления [001 ] кубического кристалла при магнитном поле, параллельном направлению [011J, для частоты спиновых волн получается следующая фор­ мула:

<, = Т2 ( в + + Dq*) ( il - + Dg* + 2к/1/0) . (4. 38)

Для гексагонального кристалла в случае, когда волно­ вой вектор спиновых воли и магнитное поле лежат в плос­ кости базиса под углом 0 друг к другу, имеем

306

Отметим, что в гексагональном кристалле вид диспер­ сионного соотношения (4. 39) не зависит от направления q и II в базисной плоскости (это, конечно, имеет место только при записи !Т7ап в форме (4. 22), когда не учиты­ вается анизотропия в плоскости базиса).

§ 6. МАГНИТОУПРУГИЕ ВОЛНЫ

Перейдем далее к составлению линеаризованных уравнений движения для магнитоупругих волн. Рассмот­ рим общий случай одноосного кристалла, в котором маг­ нитоупругие волны распространяются вдоль оси симмет­ рии Z, а постоянное магнитное поле находится в плоскости YZ под углом 0 к оси Z. В целях сокращения мы не будем выписывать в уравнениях движения члены, обусловлен­ ные энергией анизотропии и обменной энергией, а вклю­ чим их лишь в конечные формулы в соответствии с резуль­ татами § 5.

Используя формулы (4. 1)— (4. 7) и выражения для упругой и магнитоупругой энергий, получаем в рассмат­ риваемом случае следующую систему уравнений для амплитуд плоских волн (ось X' совпадает с осью X, ось

Здесь vs ж ѵ1— скорости несвязанных поперечных и продольных упругих волн (ось Z в данном случае является,

как уже отмечалось, вырожденной для поперечных волн), а эффективные магнитоупругие постоянные В равны

ß sl .= 652 sin 20 -р bsi cos 20, Bsi —b42 sin 20 -p ö44 cos 20,

Из соотношений (4. 40) и (4. 41) следует, что попереч­ ные упругие волны связаны со спиновыми волнами при всех значениях угла Ѳ. Для продольных волн связь отсут­ ствует при Ѳ, равном 0 и 90°, и имеет наибольшее значе­ ние при Ѳ=45°. Отметим, что при распростраиеиии вдоль оси Z продольные упругие волны оказываются связанными со спиновыми волнами при Ѳ=0 и 90° только в тех слу­ чаях, когда отличны от нуля магнитоупругие постоянные ЬЗІ или Ъзъ и йзв. Это имеет место для кристаллов триклин­ ной симметрии.

Из равенства пулю детерминанта системы уравнений (4. 40) можно получить дисперсионные соотношения для магиитоупругих воли. Проведем вывод этих соотношений для частного случая кристаллов кубической и гексаго­ нальной симметрии и для угла Ѳ, равного 0 и 90°.

Согласно табл. 4. 1, для кубических и гексагональных кристаллов точечных групп Та, О, Оп и D3/l, С3г., De, Deh имеем

B*i=Bsi = 0,

Be2= B2 cos 20, Bs3 = Bn cosO,

Bt = Bi sin 20,

где В2—Ь44, а ВХ=Ъ33—Ъ31 и В1 = Ь11—Ь12 соответственно для гексагональных и кубических кристаллов.

При Ѳ=0 получаем

(4.42)

I (ш2 — ufgr2) иг = О,

308

где скорости поперечных и продольных упругих волн равны ѵа= \/cj.,/p , vt = \/ с 33/о и для гексагональных м vt =

= \Jculр для кубических кристаллов.

Отметим, что если проводить расчеты в рамках строгой теории магнитоупругого взаимодействия, то в выражения для скоростей упругих волн, помимо упругих постоянных срд, в общем случае войдут магиитоупругие постоянные b ,

константы анизотропии К, намагниченность насыщения М 0 и магнитное поле II. Аналогичным образом в эффек­ тивные магнитоупругие постоянные В , кроме b , в общем

случае войдут константы анизотропии, намагниченность насыщения и магнитное поле. Все это поправки, однако, как уже отмечалось, являются малыми.

Запишем решения связанных уравнений (4. 42) в виде волн с круговой поляризацией т±=тх +іт и w±=n_c ±іи . Тогда

Здесь шот — частота спиновых волн, равная, в соот­ ветствии с (4. 36),

ш,„ = {В + На + 0?2))

где для кубических кристаллов ІІА=2К 1/М 0 и D = a/M0,

где введена безразмерная константа магнитоупругой связи [5] 1=ВУ pv2sM 2a. Проведем оценку величины этой константы для кристалла типа феррита-граната иттрия. Используя значения В2 = ІО7 эрг/см3, р=5 г/см3, уя= 4 х

309