книги из ГПНТБ / Физика магнитных диэлектриков

получаем

Подставляя эти выражения в формулу (4. 8), переходя от т]/т к градиентам смещений н сохраняя члены только

до второго порядка но градиентам смещений, получаем

Если ферромагнетик находится во внешнем магнитном поле, то в выражение для энергии войдут еще слагаемые

Перейдем далее от лагранжевых координат к эйлеро­ вым с точностью до квадратичных членов по градиентам смещений

Кроме того, будем рассматривать малые колебания маг­ нитного момента около положения равновесия а7с= a£ + ät .

Тогда, учитывая, что в положении равновесия

290

{dFAT1ld gc )0=0, получаем окончательное выражение для энергии

Коэффициенты в этом выражении имеют тот же смысл, что и коэффициенты в соотношении (4. 2) с учетом того, что в одном случае энергия отнесена к единице массы, а в другом — к единице объема. (В (4. 10) включен также член с коэффициентами B'.jklmn, описывающими магнито­

упругие эффекты второго порядка; такой же члеи можно ввести и в выражение (4. 2)).

При необходимости, продолжая разложение (4. 8), в выражении для энергии можно учесть и другие слагае­ мые более высокого порядка, например обменную стрикцию.

Сравнивая выражения для энергии (4. 10) и (4. 2), можно видеть, что в (4. 10) в «упругой» и «магнитоупру­ гой» энергиях появились дополнительные слагаемые. Как следует из формулы (4. 10), магнитоупругпе коэффи­ циенты вносят непосредственный вклад в упругую энер­ гию и, кроме того,возникает добавка к упругой и магнито­ упругой энергии, связанная с энергией магнитной кри­ сталлографической анизотропии. Однако значения упру­ гих и магпитоупругпх постоянных и констант анизотро­ пии для большинства кристаллов таковы, что дополни­ тельные слагаемые в выражении (4. 10) оказываются ма­ лыми. Так, их вклад в упругую энергию составляет

10-5, а в магнитоупругую — ^ 10-2. Поэтому во мно­ гих случаях дополнительными слагаемыми в энергии можно пренебречь, и тогда выражение для энергии (4. 10) сво­ дится к (4. 2).

Запишем далее уравнения движения и выражения для эффективных полей и напряжений, которые исполь­ зуются в строгой теории магнитоупругих взаимодей­ ствий [5].

19* 291

Уравнения движения без учета диссипации имеют следующий вид:

Здесь d/dt=d/dt-\-c,- (дідх.) — материальная производ­ ная в пространственном описании [12], где с. — компо­ нента скорости элемента ферромагнетика.

Выражения для силы и эффективного магнитного поля получаются на основе закона сохранения, исходя из пол­ ной энергии ферромагнетика:

Первое из уравнений (4. 12) написаио в предположе­ нии, что внутреннее статическое магнитное поле яв­ ляется пространственно однородным (образец имеет форму эллипсоида).

По закону сохранения импульса, сила /, может быть представлена в виде /, =дз1к/дхк, где аІк — некоторый тензор напряжений, в отличие от обычной теории упру­ гости не являющийся здесь симметричным.

К уравиепиям (4. И) нужно добавить уравнения Максвелла

в виде плоских волн и сохраняя только члены, линейные по малым переменным, получаем следующие соотношения

292

учитывается дополнительное слагаемое Мк {dhh.ldx,) в урав­ нении движения для упругих смещений,, связанное со взаимодействием магнитного момента с неоднородным маг­ нитным полем, и появляются дополнительные слагаемые ш уравнениях движения, связанные с изменением плот­ ности при упругих деформациях. Кроме того, в уравне­ ния движения войдут также новые слагаемые, обусловлен­ ные изменением выражения для энергии (4. 10) по сравне­ нию с приближенным выражением (4. 2). Если пренебречь

.малыми поправками, которые вносят все эти дополни­

При исследовании больших магиитоупругих эффектов, (связанных с резонансным взаимодействием упругих и (Спиновых волн, экспериментальные результаты, как пра­ вило, хорошо описываются в рамках приближенной теоірии магнитоупругого взаимодействия. С другой стороны, (если малые магнитоупругие эффекты исследуются вдали ■от резонанса или для ветвей спектра, где магнитоупругая ■связь отсутствует, то такие эффекты могут быть полностью объяснены только с помощью строгой теории магнитсупругого взаимодействия. Примером этого могут служить эксперименты по измерению скорости упругих воли в ферромагнетиках в зависимости от магнитного поля и ориентации [13].

Настоящая глава посвящена исследованиям магнитоупругих взаимодействий при резонансе или в условиях, ■близких к резонансу, поэтому в дальнейшем, как уже отме­ чалось, мы будем пользоваться приближенной теорией магнитоупругого взаимодействия. При необходимости не­ трудно провести расчеты и в рамках строгой теории, используя формулы, приведенные в этом параграфе.

§ 4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКА

В данном параграфе более подробно будут рас­ смотрены отдельные слагаемые в выражении (4. 2) для плотности потенциальной энергии ферромагнетика, т. е.

293

обменная анергия, энергия магнитной кристаллографи­ ческой анизотропии и упругая и магиитоупругая энергии.

Обменная энергия

w __ !_ да.;. daLk

‘ ' обм —~ 2 а ,ѵ дхі

выражается через градиенты намагниченности и тензор обменного взаимодействия а,... Последний представляет собой симметричный тензор второго ранга (<*.. =а.,.).

В общем случае кристалла самой низкой симметрии такой тензор имеет шесть независимых компонент, а в одноосных и кубических кристаллах — соответственно две и одну независимую компоненту [14].

Обменная энергия записывается для одноосных кри­ сталлов в виде

В кубических кристаллах обменную энергию обычно принято выражать через постоянную D, которая связана с а соотношением D =а!М0.

При записи энергии магнитной анизотропии W а|Г = =X-ij а , - а у + о с (а. а.];а, в явном виде следует учесть, что

энергия зависит лишь от направления намагниченности, поскольку модуль магнитного момента предполагается постоянным [5, 7].

Энергия магнитной анизотропии выражается через тен­ зоры магнитной анизотропии второго и четвертого ранга У-fj и X,. .д.;. (Отметим, что следующими членами в разложе­

нии энергии анизотропии по степеням а,- являются члены' шестого порядка, однако, как правило, обусловленный ими вклад в энергию мал).

Тензор У-fj обладает такими же свойствами симметрии, как тензор а,-., и характеризуется таким же числом незави­

симых компонент. В случае кубических кристаллов по­ этому имеем = xi,-aiaJ =x(di+a^+di), т. е. в соот­

ветствии со сделанным выше замечанием члены второго порядка по а{ не вносят вклада в энергию анизотропии.

294

Для одноосных кристаллов получаем W ан =%гх (я|+сф -[-

где К = хс —ххх.

Энергию анизотропии четвертого порядка удобно запи­ сать в матричных обозначениях:

“ У*іjklaiaj akal ^ Хрд Саа)р (яя)(р

Компоненты %в тензорных и матричных обозначениях связаны следующим образом:

сов, поэтому число независимых компонент % легко полу­ чить, например, из матриц упругих податливостейs [14],

если учесть дополнительные свойства симметрии по пере­ становке индексов тензора х,--к1 по сравнению с тензором

Sj .kl. Тогда в случае кристалла низшей симметрии полу­ чаем, что тензор Xijkt имеет 15 независимых компонент.

При этом самое общее выражение для энергии анизотро­ пии четвертого порядка будет иметь следующий вид:

295

Для кристаллов гексагональной и кубической симмет­ рии это выражение значительно упрощается.

Т а б л и ц а 4. Іа

Матрицы тензора анизотропии четвертого порядка в одноосных и кубических кристаллах

Тригоналыгая система

D 3 . C Zv • ° 3 d

296

Матрицы тензора магшітоунругііх постоянных в одноосных II кубических кристаллах

Тригоналъпап система

297

Используя табл. 4.1, в которой приведены матрицы тензора Xijti Для кристаллов разной симметрии, и исклю­ чая из энергии слагаемые типа а^+ сс^-{-а?, получаем

следующее выражение для энергии анизотропии кубиче­ ского кристалла:

IVa = K№ + K#t

Объединяя это выражение с (4. 19), получаем оконча­ тельную формулу для энергии магнитной анизотропии гексагонального кристалла

где

1 = Хгг ' Х.хх 6 Xl3 2уц,

К2 = Хзз + Хп — бхіз-

Ввыражение для упругой энергии WY—1/2 (с^.к1 utjUkl)

299