книги из ГПНТБ / Физика магнитных диэлектриков

составить полностью антисимметричные волновые функ­ ции (2. 11)

указывается связанный с ними однозначно суммарный спин 5.*

Невозмущенную энергию е (1, 1; 5) состояний конфи­

сит от спиновых переменных и симметричен относительно

Из функций Ф; (П. 4. 2) можно составить одну анти­ симметричную функцию, соответствующую S —2 (ѵ2 = 1). Далее известно [2], что для четырех частиц спину.5 = 0 соответствует двумерное представление (ѵ0=2),т. е. суще­ ствуют две линейные комбинации из функции Ф{(ЧД'Д, отвечающие 5 = 0 .

Спину 5 =1 отвечает трехмерное представление (ѵ1 = 3), т. е. остальные три линейные комбинации из функций Ф,.

170

При получении нормировочных множителей N 0 и

N х учтено, что для любого оператора W, симметричного относительно перестановок электронов, выполняются следующие соотношения между матричными элементами:

W3i = waa = wi i = w ss = w0,

{ W = {l)ik).

Из соотношений (П. 4. 5) и (П. 4. 4) (с учетом (П. 4. 6)) получаем

Можно убедиться, что {34} и Жзі содержат квадрат перекрытия волновых функций (ада и f 6) магнитных ионов, так что в пренебрежении этим перекрытием можно считать Жз4 =0, (34} =0. Что же касается Ж ж и {23}, то в них есть такие слагаемые, которые пропорциональны лишь квадрату перекрытия функций немагнитного иона и маг­ нитного иона а. Поэтому, разлагая в ряд знаменатель вы­ ражения (П. 4. 7) для е (1, 1; 0), получим

С точностью до членов, пропорциональных l2ao, из соот­ ношений (П. 4. 1)и(П. 4. 2) для <Ж2зполучается выражение

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ТЕОРЕМА О ГРУППОВЫХ ИНВАРИАНТАХ

Пусть имеются величины {яу^}, [bil’,1}, преобра­ зующиеся по неприводимым представлениям ѵ и ѵ' не­ которой группы G. V, ѵ' пробегают совокупность всех не­ приводимых представлений группы G, а }ѵ(/.„') — при­

171

нимают значения от 1 до т\ (?ѵ), где гѵ размерность неприводимого представления ѵ.

Составим квадратичную форму

V,

и потребуем, чтобы она была инвариантна относительно всех преобразований группы G. Покажем, что при этом F имеет вид

браны таким образом, что матрицы двух эквивалентных представлений ѵ, по которым преобразуются а1£ и і»уѵ’, тождественны. Доказательство разобьем на два этапа: доказательства необходимости и достаточности условия

(П. 5. 2).

1. Покажем, что выражение (П. 5. 2) является необхо­ димым условием инвариантности (П. 5.1).

Если F — инвариант, то

матрица неприводимого представления ѵ, соответствую­ щая элементу g группы G. (По g суммирование проводится

по всем элементам глупіты G) Т-То мят/гиим л (&) удап.тсотпа ряют известным соотношениям ортогональности

(П. 5. 1) была инвариантом, необходимо, чтобы оиа имела вид (П. 5. 2).

172

ловием инвариантности выражения (П. 5. 1), для чего проверим просто, что (П. 5. 2) — действительно инвариант относительно произвольного преобразования £ из группы G.

Действуя оператором g на выражение (П. 5. 2), по­ лучаем

Но поскольку матрицы неприводимых представлений выбираются унитарными, ОД.1* = (П(Ѵ)-1),7;, отсюда сразу следует, что

т. е. F инвариантно относительно всех преобразований группы G.

Таким образом, доказано, что необходимым и доста­ точным условием инвариантности квадратичной формы (П. 5. 1) относительно всех преобразований группы G является требование, чтобы она имела вид (П. 5. 2).

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

ВЕКТОРА І<»> ПРИ ФЕРРОМАГНИТНОМ УПОРЯДОЧЕНИИ

1.Сначала докажем необходимость обращения

внуль всех 1ІѴ), кроме 1(Ѵ) = 1Ш = т а, при ферромагнитном

типе упорядочения в подрешетке. Т. е. докажем теорему

отом, что если все <т. одинаковы, то все 1'Ѵ) =0, кроме 1(Ѵ) ==

—1 1 = т <г

Если все а. одинаковы, то Дѵ’ (2. 226), очевидно, не меняется из-за перестановки спинов ионов <т; под действием

173

всех операций группы (повороты снипов по учитываются). Поэтому можно написать, что (только при а,. =const)

( II . 6. I)

Здесь суммирование по g ведется по всем элементам g группы, N g — полное число элементов в группе. T lJ?j (g)—

матрица,- соответствующая элементу g группы в неприво­ димом представлении ѵ. Ыо из теории групп известно, что

обращения всех 1(Ѵ), кроме Іт =1!1) г- т и, в нуль для того, чтобы упорядочение в подрешетке было ферромагнитного типа. Т. е., если все 1^’ —0, кроме 1т =1 11 = т д, то все а. одинаковы.

Будем рассматривать соотношения (2. 229), выража­ ющие 1^ через спины ионов at., как систему т уравнений относительно а,.. Из условия теоремы следует, что эта система имеет вид

тт

ное рашение. Но только что было доказано, что послед­

Поскольку решение (П. 6. 3) системы (П. 6. 2) един­ ственно, то теорема доказана.

174

Л и т е р а т у р а к г л а в е 2

1.Л. Д. Л а н д а у , Е. М. Л и ф ш и ц. Квантовая механика. Физматгпз, М., 1963.

2.И. Г. К а п л а н . Симметрия миогоэлоктронных систем.

10.П. А. М. Д II р а к. Принципы кваптовой механики. Фпзмат-

гиз, М., 1960.

11.Л. Д. Л а н д а у , Е. М. Л н ф ш п ц . Статистическая физика. «Наука», М., 1964.

12.Дж. С м а р т. Эффективное поле в теорип магнетизма. «Мир»,

М., 1968.

13.Л. Д. Л а п д а у, Е. М. Л и ф ш и ц. Электродинамика сплошных сред. Гостехиздат, М., 1957.

14. В. Г. В а к с , А. И. Л а р к и н , С. А. П и к и н. ЖЭТФ,

■51, 361, 1966.

15.L. Р. K a d a n o f f , Rev. Mod. Phys., 39, 395, 1967.

16.В. П. П о к р о в с к и й. УФН, 94, 128, 1968.

175

Г л а в а 3

ЭЛЕКТРОННО-ЯДЕРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

§ 1. ЯВЛЕНИЕ ЯДЕРНОГО МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА

Общим вопросам ядериого магнитного резонанса (ЯМР) в настоящее время посвящен уже ряд монографий

11-41.

Поэтому в даппом параграфе мы дадим только самые необходимые пояснения, касающиеся основных парамет­ ров ЯМР. В дальнейшем основное внимание будет уделено специфическим свойствам ЯМР

в магнитных материалах.

На

Многие атомные ядра обладают спином I и, следова­ тельно, имеют магнитный момент

I и д означают максимальные проекции этих моментов на ось квантования, — ядерное гиромагнитное отноше­ ние. Если такое ядро находится в постоянном магнитном поле Н, то состояние ядра описывается энергетическими уровнями, зависящими от ориентации момента р по отно­ шению к направлению поля Н (рис. 3.1). Если отсутствуют другие взаимодействия, то уровни расположены эквиди­ стантно. И переходы между любыми ближайшими уров­ нями происходят на одной частоте

Заметим, что правила отбора А т = ± 1 допускают пе­ реходы только такого типа. В этом случае наблюдается одна линия перехода для всех уровней.

Ядра с I > 1/2 обладают квадрупольньш электричес­ ким моментом, т. е. распределение зарядов внутри ядра отличается от сферического. Такое ядро, будучи помещенным в неоднородное электрическое поле, имеет различную энергию взаимодействия квадрупольного момента с этим полем в зависимости от того, какова ориен­ тация спина по отношению к направлению градиента электрического поля. Но ориентация ядра задается на­ правлением момента механического вращения, т. е. спина. Поэтому, естественно, что энергия квадрупольного взаимо­ действия зависит от проекцииI на направление Н, и ядерные уровни, включающие квадрупольпое взаимодействие, неэквидистантны. При этом частоты перехода между двумя ближайшими уровнями будут различными для разных пар уровней. Появляется несколько частот переходов вместо одной. Изучение квадрупольных взаимодействий и квадрупольного резонанса представляет самостоятель­ ный интерес и выходит за рамки данной работы. Поэтому

вдальнейшем мы не будем учитывать квадрупольных вза­ имодействий или будем оговаривать их особо.

Явление ядерного магнитного резонанса заключается

врезонансном поглощении или испускании электромаг­ нитной энергии системой ядерных магнитных моментов, находящихся в магнитном поле. Если к системе ядер, находящихся на уровнях, изображенных на рис. 3.1,

приложить переменное магнитное поле с частотой / 0 = (Y,,/2k)H, т о п о д действием И , , будут происходить сти­ мулированные переходы ядер в соответствии с правилами отбора А т —+1. Вероятность стимулированного перехода вверх и вниз одинакова, но заселенность нижнего уровня больше. Отношение заселенностей между двумя ближай­ шими ядерными уровнями (Еп и Ет) определяется выра­

жением

Нң—Ет

k B T

е

где кв — постоянная Больцмана, Т — температура. По­ этому будут происходить преимуществеиио переходы с ниж­ него уровня на верхний. При этом ядериая система будет поглощать энергию переменного магнитного поля. В то же

178

время существуют переходы с верхнего уровня на нижний с излучением радиочастотной мощности. Как поглощение энергии, так и излучение могут быть зарегистрированы хорошо известными радиотехническими устройствами.

Интенсивность сигналов ЯМР довольно мала и связано это в первую очередь с тем, что фактическая разность за­ селенностей уровней оказывается невелика. Например, при I =112, (о0=2 к ; Ю7 и Т = 300° К отношение заселен­ ностей составляет всего 1.6 ■10_е [3]. При эксперименталь­ ном изучении всегда имеют дело с ансамблем ядерыых спи­ нов, состоящим из большого числа (-—1019-f-10'22) частиц. В этом случае, если не учитывать взаимодействие ядер между собой, оказывается весьма плодотворным макро­ скопическое описание явления ЯМР.

В этом приближении рассматривается результирующий макроскопический ядериый магнитный момент ш. Его величина определяется так же, как для любого парамагне­ тика и на единицу объема приходится значение

новской экспоненте е 1б5Г«, который характеризует отноше­ ние заселенностей уровней. В общем случае Тs может не совпадать с температурой решетки, если на систему спи­ нов подается электромагнитное возмущение.

Рассмотрим кратко движение вектора ядерной намаг­ ниченности т . Если іи отклонен от положения равновесия вдоль оси квантования Z, то будем постулировать, что движение m к положению равновесия можно описывать уравнением Блоха. Хотя условия применимости урав­ нения Блоха очень часто не выполняются в твердом теле, тем не менее эти уравнения полезно кратко рассмотреть, так как они дают наглядную физическую картину процесса.

Уравнение Блоха имеет вид [1]

Первое слагаемое в выражении (3. 4) описывает пре­ цессию момента m вокруг поля II и представляет собой

12* 179