
книги из ГПНТБ / Физика магнитных диэлектриков
..pdfдует, что оператор |
должен быть функцией от S2. |
Поскольку для спинов sx=s., =1/2 все степени (S2)k вы ражаются через S'3 (см. (2. 36) и ниже), то
P°1., = A + ß ( â 1 + у з , |
(П .1.3) |
так что собственные значения |
равны А + BS (S -|- 1). |
|
Из условия, что эти значения |
равны 1 |
(при 5 = 1) или |
—1 (при 5 = 0) заключаем, что |
А = — 1, Б = 1 .Т ак к ак |
|
§2= §;=3/4, то пз (П. 1. 3) имеем |
|
|
Р Ъ — ~2 + 2 (§і§о). |
(П.1,4) |
В том, что Рі2, определяемое выражением (П. 1. 4), дей ствительно удовлетворяет условию (1.1.1. 1), легко убедиться и непосредственно. Любую функцию Ч" ( а , , с2) можно пред ставить в виде разложения
W (сц, а.,) = с+а + (сц) a+ (а,) + с _ а _ (в,) а_ (а2) + |
|
+ с(+-)а+ (аі) а- (аг) + е(- +)а- (аі) °+ (аз)> |
(Л. 1. 5) |
где а±(а(.) спиновая функция |
г'-ого электрона |
с s. = |
+1/2. |
|||||
Представляя (11.1.4) |
в виде |
|
|
|
|
|
||
РІ2— ~2 "Ь |
|
+ |
«1+^2- ~Ь 4’і-^2+ (^'± = |
Sjx І |
tëjy) |
(Л. 1. 6) |
||
и учитывая, что [1] |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j) = ± Y а±’ |
sJ-a+ |
(ay)> |
|
|
(П .1.7) |
|||
s j+a_ (aj) = |
(oj ) , |
sJ+a+ ( nj ) = £j_ a _ |
(oj) = |
0, |
|
|
||
убедимся, что оператор (П. 1. 4) обладает |
свойством (II. 1. 1). |
|||||||
П Р И Л О Ж Е Н И Е г |
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКИЙ ГАМИЛЬТОНИАН |
|
|||||||
ДЛЯ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ |
АТОМОВ |
|
|
|||||
а) Вывод |
формулы (2. 44). Подста вляя (2. 39) |
|||||||
в первый член (2. 43), получим |
|
|
|
|
||||
Яо = < ^ вл°(?1. •••• |
w |
W i’ |
ÜA') I * 1l4 №) (Si, |
• • ■ - ^ a; |
||||
|
|
’а |
4 |
|
|
|
|
|
^a+l' •••> ^)> = ^ |
|
2 |
2 |
\ (dr)N<?JSa) (Г1- |
•••> |
TNa)X |
*, i'~l J t J '=1
160
X Vj (« 4 ) ( г Л'а+1............ |
(г1> • • • • гЛ'а) ? (Si) ОѴо+І- |
■• • ’ Сѵ) Х |
|
W |
М ^ Г Ѵ і- |
°м). |
(П.2.1) |
|
|
|
Оператор Ж симметричен относительно любых пере становок электронов (в том числе внутри группы электро
нов (1, 2,. |
. Na) и {Na + |
1, Na + 2, . . N)). С другой |
|
стороны, |
функции |
и |
(pW осуществляют неприво |
димые представления групп перестановок соответственно Na и Nbэлементов. Но для функций /№, осуществля
ющих неприводимые представления (д) и (q') одной и той же группы G, существует теорема [26, стр. 40], утверждаю
щая, что при любом операторе W, инвариантном по отно шению к элементам группы G,
j n ^ w ^ tndz = 8и ,8ѵ 1 2 J / | (з)И ^ М т (П. 2. 2)
к=1
(ѵ — размерность представления q). Т. е. интеграл отли чен от нуля лишь для функций, относящихся к одному и тому же.представлению \q=q') и имеющих один и тот же номер (і= і), причем этот интеграл не зависит от номера функций.
Из выражений (П. 2. 2) и (П. 2. 1) следует, что
£ о = 5 ^ )(г1>г2, . . . 1гл,я)ср*№) (:Гма+1- Г Ма+2> |
•••' T n ) X |
|||
X ЗД0*о) (i'i, |
Г2, |
. . . . г л,а) |
(ЧгЫ’ гма+2- |
|
X 2 2 |
S |
x l f v) («і........-д) xif>. <* |
№ 2. 3) |
|
і=1 у=] {<Г} |
|
|
|
откуда и получается (2. 44), так как функции у ^ М] норми
рованы, т. |
е. S Х*(/ Ж)ХИЖ) = 1- (в (П. 2. 3) і„, |
/„ — любые |
||
из і и /). |
<*> |
|
|
|
б) П р е о б р а з о в а н и е |
/ku (Ж) (Ж = |
Ж — 2?0/). |
||
Согласно |
(2. 47), |
|
|
|
|
( І ) = < ¥ < я ж > I |
I |
NaNh. |
( П . 2. 4) |
11 Физика магнитных диэлектриков |
161 |
Поскольку энергия от М не зависит/ вычислим |
(11.2.4) |
|||||||||||||||
при |
M = S, |
подставив |
|
|
из |
(2.39).* |
Тогда получим |
|||||||||
/ ” > ( £ ) |
= Л\,ЛЪ (ѵвѵ4) - і 2 |
>' |
|
2 |
|
2 |
|
(SaSbmamb\SS)x' |
||||||||
|
|
|
|
|
J I j ' |
ma+'"b=mi+ m'b=s |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а (Гі, •••’ пОХ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч. .. ■’ Чѵа- 1’ |
Чѵ) X |
|
(П. 2. 5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0i> |
|
ч » )х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■• |
аЛга-1> °ЛГ) X |
|
|
||
|
|
X l f bm) (■ |
|
|
|
|
**„)■ |
|
|
|
|
|||||
Для |
дальнейшего |
удобно |
выбрать функции y{sama) п |
|||||||||||||
®(*о) |
Wfb) ц ^(/Ѵ'і)) |
таким образом, чтобы рассматриваемые |
||||||||||||||
как |
функции своих |
|
первых |
Na— 1 (Nb— 1) |
аргументов |
|||||||||||
они относились |
к |
определенным неприводимым |
представ |
|||||||||||||
лениям |
группы |
|
(?дгд_1 |
(Слд-і) |
перестановок |
(Na— 1)-й |
||||||||||
((Nb— 1)-й) частиц |
[2]. При этом нетрудно убедиться, что |
|||||||||||||||
разные функции |
|
|
|
и ®(.fa) (j |
j') |
относятся либо к раз |
||||||||||
ным |
схемам Юнга |
|
из (Na— 1)-й клетки, |
т. е. |
к |
разным |
||||||||||
представлениям группы |
|
|
либо к одинаковым |
схемам |
||||||||||||
Юнга из (Na— 1 )-н клетки, но с разным заполнением этих |
||||||||||||||||
Na— 1 клеток, т. е. являются разными функциями одного |
||||||||||||||||
и того |
же |
"представления |
группы |
Gua-\. |
Аналогичные |
|||||||||||
утверждения |
можно |
сделать |
и |
относительно |
функций |
|||||||||||
X\Sa\ |
|
|
Поэтому можно воспользоваться теоремой |
|||||||||||||
(П. 2.2), |
и |
в формуле |
(П. 2. 5) |
останутся |
лишь |
члены |
||||||||||
с і — і1, |
} = |
]'; |
кроме того, |
сумма |
по всем і и / |
может |
||||||||||
быть заменена суммой по различным представлениям ГѴ0_і |
||||||||||||||||
и ГЛ^_Х групп Gjva_1 |
и |
G,vi-i, к каким относятся |
разные |
|||||||||||||
функции |
и |
|
|
|
Каждому |
неприводимому представ-- |
||||||||||
лениго Г,ѵа_! II Глу-! |
групп перестановок соответствует опре |
|||||||||||||||
деленное |
значение |
|
спина (Na— 1)-й |
и (Nb— 1)-й |
частиц |
|||||||||||
S'a — Sa + 1/2 и S'b= |
|
Sb+ 1/2. Таким образом, |
все ѵа функ |
|||||||||||||
ций ^(.*тяЯ|я) разобьются |
на |
две совокупности: |
1, |
|
С^а+Ѵ=) |
|||||||||||
(i = |
1 * 2......... V (Sa+1/2)) |
и х?«та) (Ѵ/ц (г = |
2, ... , |
|||||||||||||
y(Sa— 1/2)), |
где |
|
|
v(S'a) — размерность |
представления |
|||||||||||
Гма-і (S'a) (v (Sa |
1/2) + |
V |
— 1/2) = |
ve). |
Через |
|
|
* Это позволит далее воспользоваться соотпошеиием (П. 2.10).
162
(i = |
l, |
2, . . |
|
v(S'a)), следовательно, обозначены те из функ |
|||||||||||
ций |
|
S ’a |
(°і> °2> •••> °лгв-ь |
aNa), |
которые |
соответствуют |
|||||||||
спину |
(N |
— 1)-й частиц |
(1, |
2, |
|
|
Na— 1). Аналогич |
||||||||
ным |
|
образом |
определяются |
и ^ (S w )(sp (а,ув+1, о,уя+2, . . |
|||||||||||
on-ü |
аN), |
а |
|
также |
cp(s«Hs') (гг, . . |
гЛѴі; |
r,yj и |
||||||||
|
|
(rjve+li |
. . |
гдг-ь’ |
Глг). |
Поэтому |
выражение |
(П. 2.5) |
|||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
/п) (jf) = |
NaNb (ѵЛ )-і 2 |
2 ѵ т а * т а ф |
s i) X |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Si |
SJ), |
|
|
(П.2.6) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
ХГ(5; |
5;, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф( ^' . ^ ) = |
5 |
|
|
|
|
•••• |
Bva- r |
H Ü X |
|
||||||
|
Х |
^ |
)(^ |
|
(‘Ѵя+і , . . . , |
|
TN) |
|
|
|
(Pl, ... |
|
|||
|
|
• • ■. |
тЯ г 1 , |
тя ) <P^i)(Ss) ( г Яа+1, |
. . ., |
ГЯ_ Ѵ Г^); |
|
||||||||
|
Г(5; |
S'a, |
S | ) = 2 x ^ , № i ) («i. |
|
|
<4-i' |
Чн’ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
{<T> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0ЛГа+1> ■• |
• >°JV-1. |
°Лг) |
^SaS^ (al ............ °jVa- l , |
aNl |
(П .2.7) |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a A ’a + 1 ’ • • • ’ СЛ'-1> а ,Ѵй); |
|
|
|
|
|||||
|
|
,isM)(s'as'b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
'oJo |
|
|
( а ь |
■ ■ • * |
с лгя ’ |
°лга + і > |
• • • > |
q n ) — |
|
|
|||
= |
|
2 |
|
(SaS bmamb I SM) |
|
^ |
|
(аь |
. . ., o^) x |
|
|||||
|
нід+иі^Ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A'a+l> • • • > |
|
|
|
|
|||
В формулах |
(П. 2. 7) i0 (/0) — любое из совокупности зна |
||||||||||||||
чений |
1, |
2, . . ., |
V(5') (1, |
2, . . ., |
ѵ(£і)), поскольку, согласно |
(П. 2. 2), матричные элементы зависят лишь от того, к ка
кому представлению |
ГѴ^ |
и |
(т. е. к какому |
спину |
||||
Sa и Sb) относятся соответствующие |
функции. В |
(П. 2. 6) |
||||||
от спина S зависит |
лишь |
Г (б1; S ’a, |
Sb). |
Перейдем |
теперь |
|||
к вычислению Г (5; |
S'a, S'b). |
|
|
|
|
|
||
Ф у н к ц и и |
^(So«>a)(Sa)(a i) |
. . ., О ^ - ь |
a ,y j |
ЯВЛЯЮТСЯ |
С уП вр- |
|||
• п о з и ц и е й п р о и з в е д е н и й ф у н к ц и й |
(Na — 1)-й ч а с т и ц ы (1,2,... |
|||||||
. . ., Na— 1) с |
с у м м а р н ы м с п и н о м |
S'a и |
S'z = па |
(^, |
■. . |
|||
• • •> °Na-1 ) и |
ф у н к ц и й |
Xpa(aNa) ч а с т и ц ы Na с о с п и н о м |
5 = |
1/2 |
||||
и п р о е к ц и е й s , = ц а = + 1 / 2 , |
п р и ч е м э т а с у п е р п о з и ц и я |
д о л ж н а с о о т в е т с т в о в а т ь с у м м а р н о м у с п и н у Na ч а с т и ц Sa
11* 163
и его проекции Ss = та. Ясно, что эта суперпозиция имеет вид (2. 38) с заменой (SaSbmamb \ Sm) на (SÂ1/2 пара| Sama), т. е.
х$*в*в)ф)(01....... |
|
сУя) = |
2 |
(5 '1/2 naPa15a ) X |
|||||
|
|
|
|
= |
|||||
|
Хх'Д''а)( ^ |
|
«a+/'«=>»а |
|
(П. 2. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J W |
( si)fa |
|
0 |
0 \ |
= |
V |
(6/ l/2re4p4| S4w4) X |
||
7-і |
(°лга+і> |
•••> °лг- |
і>°jv) |
||||||
|
|
|
|
|
»b+Pb=i»b |
|
(Г1. 2. |
||
|
X |
|
(ajV0+i> |
• • • |
°#-i)Ttp4 (“Л')- |
|
|||
Подставим выражения (11.2.8) |
и (11.2.9) |
в |
формулу |
||||||
(П. 2. 7) и выпишем явно четыре |
слагаемых |
с ра = + 1 / 2 |
|||||||
и рь = + 1/2, воспользовавшись соотношением |
|
|
|||||||
|
(SaSb, т а+ 1, |
mb— i\SS) = —{S„Sbmamb\SS)X |
|
||||||
X [($„ + |
та + 1) (Sa — ma) p z [{Sb- |
mb + |
1) (Sb + mb)\~'/=. (П. 2. 10) |
||||||
В результате получим |
|
|
|
|
|
||||
T(S;S^,S't) = |
2 |
(SaSbmamb \SS)*{(S'a ll2, |
ma - i / 2 , |
||||||
|
|
ma+mfj=S |
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |.Seme)2 (S'b 1/2, mb - |
1/2, l/2\Sbmb)i + (6/ 1/2, ma + |
1/2, |
|||||||
—1/2 I Sama)2 (S'b 1/2, |
m4+ l/2 , -1 /2 |
| Sbmbr- -[(.? „ + ma + 1) X |
X (Sa—ma)]1/:[(5(, + m4) (Sb — mb + 1)Г‘/2(6' 1/2,ma-\-1/2, —lj2\Sama) X
X (S ;i/2 , |
via + |
1/2, 1/2 |S„, |
me + l) ( S ; i/2 , |
i»4- 1 /2 , 1/2 | S4i»4) X |
||||
X (SJ 1/2, |
m4 - |
1/2, —1/2 I S4, |
- 1) - \{Sb + |
mb + 1) (Sb - |
//i4)Jv- X |
|||
X 1(5« + ma) (Sa ~ m a + І)ГѴ=(S' |
1/2, ma - 1/2, |
1/2 | Samu) X |
||||||
X (S ;i/2 , |
тяв— 1/2, |
-1 /2 , |S e, |
m „ - l) ( S il/2 , |
m4 + l/2 , |
||||
—1/2 I Sbmb) {Sb 1/2, |
m4 + l/2 , |
1/2 16-4, |
i»4 + l)}. |
(П .2. 11) |
Явные выражения для коэффициентов |
(Д 1/2 |
[ jin) |
|||||||||
(т — 7Щ-f- т2, |
tn2= |
+ 1/2) |
удобно |
представить |
в виде |
||||||
таблички |
|
/ i = / — |
|
|
Я = |
j + |
|
1/2 |
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|||||
|
1/w ) = |
] / |
/ - " * |
|
f |
І + |
m |
+ |
1 |
7ге.2 = — 1/2 |
|
(Я 1 /2 |
r |
2/j + |
l |
Г |
2/j + |
|
1 |
|
(П.2.12) |
||
|
|
1 / |
/ + m |
I |
— »i + |
1 |
ти2— +1/2 |
||||
|
|
Г 2Д + |
1 |
Г |
2 h + |
1 |
|
|
|||
Подставляя |
для |
каждого |
из |
значений S'a = |
Sa + 1/2, |
||||||
£ 4 = 54 + |
1/2 в |
формулу (П. 2.11) |
соответствующие коэф- |
164
фициенты из (ГГ. 2. 12), убедимся, что выражение в фигур ной скобке содержит переменные суммирования та и ть лишь в форме (та+ ть) (та+ Щ -j- 1) = S (S + 1) (так как та+ mb = S). Это позволяет воспользоваться условием ортонормированности
2 (SaSbmamb\Sm)2 = і. ma+mb**m
В результате вычислений получим для каждой пары зна чений S'a, SI свои Г (iS; S'a, S'b), которые можно объединить общей формулой
Г (5; S'a, S'b) =
1 |
(_1\(sa-Sâ)-(Sb-S'b) |
|
L J J ---------------------------2< s „ s ,,> |
(П. 2. 13) |
|
2 |
(25І + 1) (25^ + 1) |
|
Здесь введено обозначение |
|
|
2 <(S0S4> — S (iS + 1) — ‘5a (iSa -( - l) — Sb (Sb |
1) (П .2 . 14) |
для собственного значения оператора |
2SaS4 в состоянии |
с суммарным спином (обоих атомов) |
S, образованном из |
состояний атомов а и Ъ со спинами Saи Shсоответственно. Таким образом^, с помощью соотношений (П. 2. 13), (П. 2. 6)
ползучим /я” (Ж). Учтем еще, что
Ѵ і = ѵ(/Ѵа,і; s a, ъ) И v {S ’at ь) = ѵ(1Уа, ь — 1; S'aib),
где V(ГѴ; S) — размерность представления группы переста новок N частиц, соответствующего спину S, равная
[2, стр. 55]
ѵ(/Ѵ; |
S) = |
|
N \(2S ■ |
|
(П. 2. 15) |
||
( y + S + l ) i ( 5 - s ) l ' |
|||||||
|
|
|
|||||
Подставив / s ’ (Ж) |
в выражение (2. 48), |
получим |
|||||
ESaSb (S) - Е0= - { у |
2 |
2 |
( - i f a~S'a)~{Sb~S'b) (25І + |
1) (25j + 1) X |
|||
t |
S'a |
s'b |
|
|
|
||
X J {S'a, |
S'b) + |
2 < S A > 2 |
2 1 (s i . s ^)) • |
( П . 2 . 1 6 ) |
|||
|
|
|
S'a |
S'b |
J |
|
165
Здесь
n s'tt< S'b) = |
( - l ) ^ ~ 4 ) I W t) [(2Se + |
i) (2Sb + 1)]-1 X |
|
X |
~N |
1/2 |
X |
! + {Sa -~S'a) (2Sa + 1) + |
|||
+ |
( S 6 - 5 i ) ( 2 S i + l H - l / 2 ] ® ( S ; , |
S'b). (П. 2 .16a) |
Единственная зависящая от суммарного спина S часть энергии— последний член справа в выражении (ГГ. 2. 16), который является собственным значением спинового гамиль тониана
< |
х = |
- 2 Jahè ß b, где |
(S'a, |
S'b)- |
(П .2.17) |
|
|
|
4 4 |
|
|
i |
S'a = |
В частности, для двух атомов водорода (Sa=Sb = ^-, |
||||||
=S;=0) |
пз |
формул (П. 2. 17), (П. 2. |
16), |
(П. |
2. |
14) и |
(2. 44) получается выражение (2. 52) для обменного интег рала.
До сих пор считалось, что орбитальное вырождение (связанное с пространственной группой симметрии) от сутствует. Однако можно показать [37J, что и при наличии орбитального вырождения в низшем приближении по «перекрытию» гамильтониан обменного взимодействия имеет гейзенберговский вид; по «обменные интегралы» являются в этом случае матрицами, действующими в про странстве орбитальных состояний. Если орбитальные состояния атомов а и Ъотносятся к некоторым неприводи мым представленпям Гй и Г4 (с размерностями ѵ(Гв) и V(Г4)) пространственной группы симметрии, то в резуль тате обменного взаимодействия возникают орбитальные состояния пары атомов, относящиеся к тем представле ниям Г, на которые разбивается прямое произведение
предствлений Гах Г 6. |
Гамильтониан обменного взаимо |
|
действия в этом случае имеет вид |
|
|
^ех= |
2/§п§(|, |
(П. 2. 18) |
где К и / — матрицы, действующие |
в простраистве |
|
V(Га) V(Г4) орбитальных состояний. Собственные значе |
||
ния этих матриц К (Г) и J (Г) вырождены с кратностью |
||
V(Г) представлений Г ( 2 |
ѵ(Г) = ѵ (Га) ѵ(Г4Д . Величины К (Г) |
166
и / (Г) — того же порядка по перекрытию орбит разных атомов, что и JаЬ (П. 2. 17) в отсутствие орбитального вы рождения. Таким образом, если есть орбитальное выро ждение, вместо одной серии из (2Sb -|- 1) уровней энергии, изображенной на рис. 2. 1, имеется несколько таких се рий (столько, сколько представлений Г содержится в пря мом произведении Г0 X ГА представлений Га и Г^).
П Р И Л О Ж Е Н И Е 3
ОПЕРАТОР СУММАРНОГО СПИНА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
Оператор суммарного |
спина |
N |
|
s = 2 s <- |
( п . з . і ) |
і=і
где §; — оператор спина і-ого электрона, а суммирование ведется по всем N электронам. Общая процедура вторич ного квантования такова, что всякому так называемому одночастичному оператору Ü, т. е. оператору, имеющему вид
•г? = 2 ‘Ч У . |
(П .3.2) |
і=і
где й (^.) — оператор, действующий только на перемен ные і-ого электрона как спиновые (а,.), так и простран ственные (г,.), сопоставляется оператор вида
0 = 2 |
|
= 2 2 ' |
qx^q'x^qx’ |
(П. 3. 3) |
|
|
|
q r~ f q x |
|
|
|
Здесь Uj’j — матричный |
элемент |
между |
состояниями /' |
||
и j одночастичного оператора й (I). |
|
|
|||
Ид'т', 5Т = 2 |
а Sd3r(Ppr' (г. °) |
“ (г, о) V |
( г , а)- |
( П . 3 . 4) |
|
Поэтому оператору S (П. 3. 1) сопоставится |
|
||||
s = 2 2 ( §)w ^ ' V |
|
(п -3-5) |
|||
|
х х ' |
q |
|
|
|
167
(Поскольку оператор спина действует лишь иа спиновые переменные, он не вызывает переходов между различными орбитальными состояниями, так что в выражении (П. 3. 5) q' =<?).
Оператор квадрата суммарного спина
§2 = SI + 4 { S j - + £ Д ),
где
S ± = Sx ± i S v . |
(П .3 .6 ) |
Так как у оператора § единственные отличные от нуля элементы имеют вид (ср. (П. 1. 7))
(^+ )+ -= О Н -)- + = 1> (^г)++= |
(^ г)-- = '2 'і |
(П. 3. 7) |
то из соотношения (П. 3. 5)
Нетрудно показать с помощью соотношений коммута ции (2. 73), (2. 77), что
j (S j _ + S j +) = j (JV- |
2 |
s) + |
2 |
& ^ Ѵ а» 'Л '+ * (П- |
3 |
- |
9 |
) |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
чФя' |
|
|
|
|
|
|
|
& == (®g+a04- T |
1aq—)> 7 = |
|
|||
|
1 |
|
|
? |
|
Оператор Я , очевидно, имеет смысл оператора полного |
|||||
числа электронов. |
Оператор |
О дает |
отличный от нуля |
||
результат |
(равный |
единице) |
только для тех состояний q, |
||
в которых |
находятся |
электроны как |
с s, =-}- 1/2, так |
||
и с ss = — 1/2. Т. о. |
20 имеет смысл оператора числа спа |
||||
ренных электронов, |
а потому Я 1= (Я — 20) можно считать |
оператором числа иеспаренпых электронов.
16S
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТРИПЛЕТНОЙ' ПАРЫ ЭЛЕКТРОНОВ а*
С ТРИПЛЕТНОЙ ПАРОЙ ЭЛЕКТРОНОВ ob
Координатная функция состояния двух элек тронов, соответствующая суммарному сииыу, равпому единице, антисимметрична (спиновая — симметрична) от
носительно |
перестановок электронов (см., например, |
|
(2. 25), (2. |
26)). Поэтому пространственная |
волно |
вая функция состояния, в котором два электрона |
(1 и 2) |
находятся на ионе а, а два других (3 и 4) на ионах о и Ъ, причем суммарный спин каждой из пар Sa = Sob = 1, может быть выбрана, например, в виде
ф(1’ |
2> 3’ |
4) = |
27^*“ ;(1, |
2)* |
>(3’ |
<>. |
|
||
9 о а ' ( К |
2 ) |
= |
? a (r l ) t?a ' |
(г2) — |
9а (r ä) У а ' |
(й)> |
(П .4. 1) |
||
«Роі * (3 . |
4) = 9 о |
(гз) % |
(і’4) — ? о (г4) |
(г3)> |
|
(а, а' — два разных состояния электрона на ионе а). Функция Ф (П. 4. 1), однако, не принадлеяшт к опре деленному типу перестановочной симметрии. Различными перестановками аргументов из функции Ф можно, ана
логично (2. 56), образовать 6 функций
<М і, |
2, |
3, |
4) |
= |
Ф ( 1, |
2, |
3, |
4), |
|
Ф2 (1, |
2, |
3, |
4) |
= |
Ф (1, |
3, |
2, |
4), |
|
Ф3 (1, |
2, |
3, |
4) |
= |
Ф (1, |
4, |
2, |
3), |
|
Ф* (1, |
2, |
3, |
4) |
= |
Ф(2, |
3, |
1, |
4), |
(П .4.2) |
Ф5 (1, |
2, |
3, |
4) = |
Ф (2, |
4, |
1, |
3), |
|
|
Ф6 (1, |
2, |
3, |
4) = |
Ф (3, |
4, |
1, |
2). |
|
Из этих 6 функций следует образовать линейные ком бинации такие, чтобы они относились к определенному типу перестановочной симметрии (т. е. к определенному неприводимому представлению). Тогда из функций тех типов перестановочной симметрии і 1'^ , которые не запре щены правилом (сформулированным на стр. 40), можно в комбинации со спиновыми функциями соответствующей перестановочной симметрии (которые являются одновре менно функциями с определенным суммарным спином S)
169