книги из ГПНТБ / Физика магнитных диэлектриков

(г|) и отклонению температуры от температуры перехода (т = (Т—Тс)/Тс.), может претендовать на то, чтобы быть верной только достаточно близко от точки перехода (х<^1). Однако слишком близко к точке перехода она вместе с тем не может давать хорошего описания, по­ скольку именно вблизи температуры перехода особенно возрастают флуктуации параметра порядка.

Действительно, вероятность со (лД того, что в резуль­ тате флуктуации параметр упорядочения примет значе­ ние т), равна, согласно общим теоремам статистической физики [11, стр. 413],*

ДФ(Г, г))

А — нормировочный множитель, определяемый из уело-

+CD

вия 1 w (т]) d-r]=l. Для краткости опускаем аргумент р

у флуктуаций, считая, например, что давление постоянно, а фазовый переход происходит с изменением температуры. В выражении (2. 185) АФ (Т, д) — разность термодинами­ ческих потенциалов при флуктуированном т) и при равно­ весном значении параметра г)е.

Рассмотрим сначала однородные флуктуации, т. е. будем считать т) константой. Разлагая в ряд по разности (т\— \ ) , получим, поскольку в равновесии (при '<] — '%) термодинамический потенциал имеет минимум,

Из (2. 186) видно, что Ф" определяет крутизну «по­ тенциальной ямы» по отношению к флуктуациям пара­ метра т), так что средняя квадратичная флуктуация

* При этом в формуле (114. 2) из монографии [И ] следует счи­ тать p=const и Т = const.

НО

Однако в точке фазового перехода II рода Ф"=0 (2. 167), так что средняя квадратичная флуктуация при

При рассмотрении фазового перехода в ферромагне­ тике был получен аналогичный закон для температурной зависимости восприимчивости вблизи точки перехода (2. 119). Это не случайность; действительно, так как при наличии однородного магнитного поля Н в равновесии минимален Ф =Ф (М)—МНѴ (2. 159) * (как функция от М,

т. е. (сравнивая с (2. 187))

~д№

Таким образом, восприимчивость пропорциональна средней квадратичной флуктуации намагниченности, чем

иобусловлено сходство выражений (2. 188) и (2. 118). Формулы (2. 187) и (2. 191) получены в предположении,

что флуктуации однородны. На самом деле флуктуации всегда неоднородны. Как же надо понимать в таком слу­

чае входящие в (2. 187) (Аті)2 (и (ДМ)2 в (2. 191))? Пусть

* Для изотропной модели.

111

имеется пространственно неоднородная флуктуация Ц (г), которую разложим в ряд Фурье:

ввиду однородности системы.

Если подставить в формулу (2. 193) §т) (г) из (2. 192), то получим

g(t)= 2 8 ^ k,e,' (k+k')r4,'kr.

k, k'

Поскольку функция g (г) иѳ зависит от r', это означает,

что

Таким образом,

циала для случая неоднородных флуктуаций т] (г). По­ скольку., как мы видели, именно однородные флуктуации возрастают критическим образом вблизи точки перехода, то достаточно ограничиться изучением длинномасштабных, медленно меняющихся в пространстве флуктуаций от) (г). Такие флуктуации можно учесть, добавив в термодинами­ ческий потенциал члены с первой пространственной про­

112

(от]0)3 и (SA/0)2 — среднюю квадратичную флуктуацию ще­ левой Фурье-компоненты коррелятора (2.193) (ср. (2.195)). Поэтому, в частности, соотношение между восприимчи­ востью и флуктуациями намагниченности (2.191) прини­ мает вид

Коррелятор g (г), очевидно, должен стремиться к нулю при г -> со. Характерное расстояние р, на котором спадает g (г), естественно назвать радиусом корреляции флуктуа­ ций. Тогда вследствие возрастания крупномасштабных флуктуаций при Т —> Тс будет, очевидно, возрастать и радиус корреляции. Характер этого возрастания нетрудно определить, вычислив коррелятор по формуле (2. 195)

с помощью I 6т]к |2 из (2.200) ^прп этом, как обычпо> 2 '

(2&0 "):

по степенному закону, пропорционально г-1.

Попробуем теперь выяснить, существует ли-область применимости теории Ландау для магнитных переходов. Поскольку, как мы видели, эта теория сводится к прене­ брежению флуктуациями, то для ее применимости (кроме

114

туаций параметра порядка па расстоянии, равном радиусу взаимодействия (I), был бы существенно меньше квадрата самого параметра порядка. При ферромагнитном переходе параметром порядка является намагниченность М, вместо которой в теории молекулярного поля была введена про­ порциональная ей величина 5 (2. 111). Таким образом, два требования для применимости теории Ландау выгля­ дят следующим образом (поскольку радиус корреляции р ;§> I при Т -> Тс)'-

(2. 203)

Зе — равновесное значение 3, определенное в соотноше­ нии (2. 114), так что пока в (2. 203) неопределенным яв­ ляется лишь параметр /, связанный с коэффициентом при члене (д2о/Зг2)2, который добавится к выражению для сво­ бодной энергии (2. 115) при неоднородном распределении намагниченности. Этот коэффициент можно оценить, ис­

ходя из того, что дополнительный член в bF (2. 115) должен иметь вид гІ2А (дз/дѵ)2 и, очевидно, быть того же порядка, что и член с о2, если 3 существенно меняется на длине, равной радиусу взаимодействия I (т. е. если дз/дг—з/І). Но это означает, что А порядка Іг. Так как плотность сво­

где V— некоторый численный коэффициент, d — по­ стоянная решетки (т. е. ds — объем, приходящийся на один магнитный ион). Сравнение этого выражения с (2.196) дает

(2. 205)

Подставляя эту оценку для f во второе из неравенств

(2'. 203) (вместе с оге из (2. 114) и ß из (2. 112)), получим

8* 115

неравенство, ограничивающее область применимости тео­ рии Ландау температурами

где z =l3/d3 — число магнитных ионов в области взаимо­ действия. Чтобы это неравенство имело смысл, необхо­ димо, очевидно, выполнение условия х<^1. Как видно из (2. 206), физическим параметром, который бы обеспе­ чивал малость Xи тем самым существование области при­ менимости теории Ландау, является отношение постоянной решетки к радиусу взаимодействия, как уже говори­ лось в начале этого раздела. Чем больше длина взаимодей­ ствия, тем лучше условия для применимости теории Лан­ дау, т. е. тем ближе к температуре перехода она «работает». Однако в ферромагнетиках радиус взаимодействия сов­

щего малость X. Однако и при d= l х численно мало, если

ных кристаллах существует область температур, близких к температуре Кюри (но не очень близких, х х), в ко­ торой можно пользоваться теорией Ландау (или теорией молекулярного поля).

Вместе с тем последние исследования по теории фазовых переходов второго рода [15—17 ] указывают на существен­ ную неаналитичность термодинамического потенциала вблизи точки перехода и на связанный с этим иной харак­ тер зависимости физических величин от температуры вблизи точки перехода. На это же указывают и точные измерения, произведенные в окрестности точки Кюри. Для непроводящих гейзенберговских ферромагнетиков, по-видимому, закон изменения намагниченности и вос­

стр. 432], там же — ссылки на литературу по этим во­ просам).

* Неравенство (2. 206) носит иллюстративный характер. Более точные критерии содержатся в работе [14].

116

I 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИЙ ЛАНДАУ

ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНЫХ СТРУКТУР, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ УПОРЯДОЧЕНИИ. СЛАБЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИЗМ

Переход из парамагнитного состояния в магнитоупорядоченное чаще всего происходит как фазовый пере­ ход второго рода. Хотя, как ясно из предыдущего пара­ графа, теория Ландау не описывает удовлетворительно фазовые переходы в магнитных кристаллах, тем не менее она широко применяется для объяснения (по крайней мере, качественного) процессов магнитного упорядоче­ ния. По-видимому, наибольшей достоверностью обла­ дают те следствия из теории Ландау для магнитных пере­ ходов, которые проистекают из соображений симметрии.

Конструирование термодинамического потенциала

Общая схема применения теории Ландау к про­ цессам магнитного упорядочения состоит в следующем. Пусть имеется кристалл, содержащий в одной кристал­ лической ячейкенесколько (п) парамагнитных ионов. Для простоты рассмотрим переходы, при которых период воз­ никающей магнитной структуры остается равным пе­ риоду исходного парамагнитного кристалла, т. е. весь процесс упорядочения полностью описывается заданием средних значений спинов ионов одной ячейки ( £ = 1 , 2 , . . . ,

и ) .

Равновесные значения S, определяются из условия минимальности термодинамического потенциала (2. 160), который в расчете на одну ячейку имеет вид

Основная задача, конечно, — определение вида функ­ ции (р (S.). Как обычно, в теории Ландау делается допу­ щение о том, что при малых |Sf| (вблизи точки магнит­ ного упорядочения) <р(S,.) может быть разложена в ряд

(и квантовой механики) инвариантны относительно изме­

117

нения знака времени, и поэтому термодинамический по­ тенциал также не меняется при обращении времени. Од­ нако момент количества движения меняет знак при изме­ нении знака времени. В силу этого разложение термоди­ намического потенциала должно иметь вид

Но это означает, что магнитные переходы автоматически удовлетворяют критерию я3 = 0 (2. 164), необходимому (но не достаточному) для существования линии фазовых переходов (Тс =Тс(р)), и <р(р , Т, S.) имеет вид, аналогич­ ный (2. 166).

полностью независимыми. Они должны быть связаны друг с другом таким образом, чтобы при всех операциях группы симметрии G кристалла (в его парамагнитной фазе) ер (р , Г, S.) оставалось ішварпаптпым. С другой стороны, при пре­ образованиях (поворотах или отражениях) симметрии меняются как компоненты спинов (индексы а), так и сами ионы «меняются местами» друг с другом (т. е. меняются индексы і). Поэтому при действии некоторого элемента симметрии §

Подобно тому, как это обсуждалось при рассмотрении перестановочной симметрии волновой функции в § 1 на­ стоящей главы, из 3п параметров S ia можно построить новые линейные комбинации, которые разобьются на не­ которое число (д) совокупностей, содержащих соответ­ ственно гх, г2, . . ., г? параметров (r-t-|-r2+ . . .-(-г =3п).

Эти новые параметры

где fj'ka можно выбрать так, что при всех преобразова­ ниях симметрии гѵ параметров (с одним и тем же ѵ) при всех операциях симметрии будут преобразовываться

118

толькочерез параметры а'-Ѵ с другими /', но с тем те самым V.

Т. е.

Это выражение справедливо при любой операции g из группы симметрии кристалла, и при этом никаким выбо­ ром новых линейных комбинаций из величин a{j‘] (с фик­

сированным ѵ) нельзя произвести дальнейшего разбиения совокупности a(/J па совокупности с меньшим (чем гѵ) числом параметров, преобразующиеся только друг через друга под действием всех операций g. О параметрах al/J

с фиксированным ѵ говорят, что они осуществляют не­ приводимое представление ѵ (с размерностью гч) группы G. Можно также сказать, что они принадлежат к определен­ ному (из возможных для группы G) типу симметрии отно­ сительно преобразований группы G. Удобство использо­ вания таких параметров с определенной симметрией состоит в том, что можно доказать важную теорему обинва­ риантах второго порядка, выраженных через параметры

. Прежде чем формулировать эту теорему, сделаем еще одно замечание. Конечно, из гѵ величин a'/J (с од­

ним и тем же ѵ) можно выбрать новые гѵлинейных комби­ наций а'у’1, которые также будут преобразовываться

только друг через друга аналогично (2. 211), но явный вид матриц 2)(ч) (g) будет иной, чем в (2. 211).* В дальней­ шем, когда будет идти речь о разных совокупностях а/(.' и bj'J величин, осуществляющих одинаковое не­

приводимое представление ѵ (принадлежащих к одному ѵ-му типу симметрии), то будет подразумеваться, что эти разные совокупности выбраны таким образом, что законы их преобразования в точности совпадают (т. е. матрицы Dvn (g) в (2. 211) одинаковы для величин и b(/J).

Тогда теорема об инвариантах формулируется следующим образом.

* Т. е. величины a<j'> и a’W осуществляют одно п то же представление ѵ, но в разных формах. Про два таких представления говорят, что они эквивалентны.

119