книги из ГПНТБ / Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие
.pdfНеизвестные величины М 0 и Р 0 легко найти совместным ре шением уравнений (157) и (158):
Ф |
(1 |
- р ) . |
-L Л __ü_\ |
Ф |
cos X |
||
К* |
|
|
klr \ |
2 |
) |
R |
од |
|
|
р/ф cos Яод |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 (Ас + фАд) ( Ф - * ) |
(159) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2г |
|
|
ф \ |
О - |
Ф М Ф - |
1 ) |
|
Асга ' |
АДЯ8 ) |
|
|
Ас + ФАд |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
ргф cos0A — 2Р, |
|
|
|
||
м |
„ |
= |
4 (Ас+ фАд) |
|
(160) |
||
|
|
|
|
|
|||
Зная Р 0, F0 и М 0, по формулам (141)—(154) найдем силы и моменты N, ТX, Т 3, М г \\ М 2, а по формулам (127), (128)— напря жения.
По теории наибольших касательных напряжений
®экв ~ °max ^mln •
Так как в фильере переход от стенок стакана к сфере выпол няют плавным с радиусом сопряжения р, то для зоны сопряжения
при % Kq. R 1c |
DO, R 2с |
R 1д |
Р> |
R 2д ~ |
^0С = ^ 0д ~ |
|
— JL- V |
= V |
— о■ F — рг |
|
|
|
|
2 > ѵ ос |
ѵ од |
и > * о |
2 ’ |
|
|
|
В этом случае уравнение (157) и (158) примут вид: |
||||||
|
|
2М0 (кс ф - фФд) ф - Р„ (1 — ф) = 0; |
|
|||
|
|
|
|
_ФV , |
2р |
iL |
|
|
|
|
rkl |
2 |
|
|
|
_Р |
Ü |
|
|
|
|
|
rk |
2 |
) • |
|
|
Если номинальная толщина стенок постоянная, |
то |
|||||
|
К -- £д — k — |
3 (1 - P 2) |
const; |
|
||
|
R22b2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
ф = 1.
Следовательно,
Mo = 0;
pr .
8Ap ’
EL
? '
30
Расчетные уравнения: |
|
|
|
|
для |
стакана: |
|
|
|
|
|
|
|
(161) |
|
|
EL- |
|
|
|
|
2 |
’ |
|
|
|
|
|
(162) |
для |
переходной части |
|
|
|
|
. _ |
рг . |
(163) |
|
|
1 — |
2 |
’ |
|
|
|
|||
|
T2 = pr( 1 |
|
|
(164) |
Последние формулы позволяют построить эпюры изгибающих моментов, задаваясь длиной s дуги меридиана, и убедиться в том, что введение плавного перехода от цилиндра к сфере резко умень шает местные напряжения, не вызывая существенного повышения расчетного напряжения.
Пример. Определить местные напряжения в сферической оболочке из пла тины в зоне перехода стакана в сферическое дно при наличии зоны сопряжения
с радиусом кривизны р срединного меридиана. Дано: |
р — 0,3 |
МН/м2, |
р, = 0,39; |
|||||||||
бх = 0,2 |
мм, |
г = 7,5 мм, р = |
1,5 мм, Е = 1,7- ІО6 |
МН/м2. |
М1 = |
|
Т1 = |
|||||
Решение. |
По |
формулам |
(161— 164) |
при |
s = 0 |
находим |
0, |
|||||
= 0,001125 МН/м, |
Т 2 = —0,00056 МН/м, |
а при s = |
0,5 мм: |
|
|
|
||||||
для |
стакана |
|
|
Тх = 0,001125 |
|
|
Т 2 = |
|
|
|
||
Мх = — 0,052ІО“ 6 |
|
М Н -м/м, |
МН/м, |
0,000788 |
МН/м, |
|||||||
Пішах = |
13,4 МН/м2, |
а 2гаах = |
10,7 МН/м2; |
|
|
|
|
|
|
|||
для |
переходной |
части |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мх = 0,052ІО"« м н /м /м , Тг = 0,001125 |
МН/м, Т 2 = |
0,00191 |
МН/м, |
olmax = |
||||||||
=13,4 МН/м2, о2тах = 17,3 МН/м2.
Сравнивая результаты последних примеров, замечаем, что вве дение зоны сопряжения резко уменьшает местные напряжения.
§ 7. РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
Многие машины для производства химических волокон имеют вра щающиеся валы, диски, цилиндры, ролики.
Угловая скорость дисков и валов достигает больших значений (до 1500—2000 рад/с). В связи с этим необходим расчет дисков не только на прочность, но и на деформацию.
Чаще всего применяют диски постоянной толщины с централь ным посадочным отверстием,
81
Выбор метода расчета диска зависит от соотношения наружного диаметра диска dH и его толщины б. У тонких дисков dH/6 > 4.
При |
расчете таких дисков принимают следующие |
допущения: |
а) по |
толщине диска напряжения распределяются |
равномерно; |
б) в плоскостях, параллельных средней плоскости диска, напря жения отсутствуют (az = 0).
Рассмотрим диск постоянной толщины с центральным отвер стием.
Рис. 40. Схема к расчету вращаю щегося диска:
а — диск постоянной толщины; б элемент диска
о)
Выделим двумя радиальными и двумя окружными сечениями элемент диска толщиной б и рассмотрим его равновесие под дей ствием центробежных сил (рис. 40). В радиальных сечениях, по условию симметрии, касательные напряжения отсутствуют и возникают лишь нормальные напряжения at. В окружных се чениях возникают только нормальные напряжения ог.
При равномерном вращении к» = const на элемент действуют силы: центробежная dC, радиальные R и R + dR, окружная Т.
Центробежная сила
dC = dm-со2/ = — соѴ2б dr dcp,
8
где со — угловая скорость диска; у — удельный вес материала диска.
Радиальные силы
R = or8r dtp;
dR = б d(p d (arr).
82
Окружнаясила
Т = ot6 dr.
Запишем сумму проекций всех -сил на направление центро бежной силы dC:
— R + R + dR — 2Tsin^-^rdC = О
или
dC + dR — Т dtp = 0.
После подстановки значений dC, dR и Т получим |
|
|||
d (°rr) |
„ I у о, |
0. |
(165) |
|
dr |
g |
|||
|
|
|||
Выразим неизвестные функции ot и аг через радиальное пе ремещение и точки элемента и текущий радиус г кольца, на ко тором находится эта точка.
Так как радиальная относительная деформация
|
er ~ |
du |
|
|
|
I F ’ |
|
|
|
а окружная относительная деформация |
|
|
||
U |
1 |
/ |
V |
(166) |
-- r |
~£ \&t |
№г)> |
||
то согласно закону Гука для плоского напряженного состояния можно записать
Е / и . |
du \ |
(167) |
||
( т |
+ |
f* 1 F ) ; |
||
|
||||
/d u |
I |
и \ |
(168) |
|
^ = T |
|
|
||
Подставляя выражения (167), (168) в уравнение (165), получим
d2u |
, |
1 |
du^ |
и |
__ |
dr2 |
' |
г |
dr |
г2 |
~ |
—И |
7 |
г |
(169) |
_Г---i_ |
orг. |
||
Е |
g |
|
|
Решив уравнение (169), находим радиальную деформацию
диска |
|
|
С, |
1 - и 2 |
|
|
|
|
|
|
и — С / + |
JL мѴ3. |
(170) |
||||
|
|
-J- |
8Е |
|
||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
а также |
а затем а( и аг: |
|
|
|
|
|
||
|
Ot |
СХЕ ! |
С2Е |
|
1 + З ц |
Т (оV2; |
(171) |
|
|
|
1 - И ' (1 + И Н 2 |
|
8 |
‘ g |
|
||
|
о, = , СгЕ |
с2е |
|
|
Ü |
. ^ - cöV2. |
(172) |
|
|
г |
1—и |
( 1 + Р ) а2 |
|
|
|
|
|
83
Постоянные интегрирования Сг и С2 определяем по граничным условиям.
При г = гг и г = г2 напряжение сг = 0, a
Ot |
з + Р |
. Y“ 2 , ^ |
^ |
|
І + 3 ^ г2 |
! |
ГѴІ |
||
т - |
т г + |
I _ |
|
3 + J , |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
3 + и |
Yco2 |
^ , |
'z |
|
г. |
2 |
2 |
|
|
— r |
rr 2 |
|||||||
|
|
8 |
g |
H + |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(173)
(174)
Анализ выражений (173) и (174) показывает, что ot имеет ма ксимальное значение на внутреннем радиусе, т. е. при г = гг:
ot , |
Yco2 |
|
|
(175) |
~4g [/"2 (3 |
- f- р ) - f Гі (1 |
■ р )] . |
||
Напряжение ог |
достигает максимального |
значения при г = |
||
Ѵ~г7г- |
_ 3 + р |
Y“ 2 (Г2--Г])2. |
|
|
|
(176) |
|||
Сравнение последних двух уравнений показывает, что |
ot max |
|||
значительно больше огтах. В связи с этим согласно теории |
проч |
|||
ности О. Мора ст9КВ |
ot max. |
|
|
|
Для определения радиальной деформации и диска необходимо подставить выражения (173) и (174) в уравнение (166). В резуль тате найдем радиальную деформацию диска:
Д г = и — |
з + р |
(/2 + |
п ) (1 — р) г 4- (1 + р) |
|||
8 |
Е |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 — ра |
уд |
2г3 |
|
|
|
|
8Е |
g |
|
|
При г = гг
2 2
'V 2
(177)
Ьгг = и = Ä [(3 + р)гЗ + (1 — р) г?]. (178)
§ 8. РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ СПЛОШНЫХ И ПУСТОТЕЛЫХ ЦИЛИНДРОВ
Машины для производства химических волокон снабжены большим количеством как коротких, так и длинных сплошных и пустотелых цилиндров: главные валы машин, цилиндры вытяжных и питающих приборов, отделочные цилиндры, вальцы вытяжных и тянульных механизмов и т. д.
При вращении длинных валов и цилиндров, так же как и при вращении дисков, главными являются радиальные и окружные
84
сечения, в которых возникают напряжения соответственно Gt и Gr . Вдоль оси вала или цилиндра действует третье главное на пряжение сгг.
Для трехосного напряженного состояния можно |
записать: |
|||
е ,= - 7 - == -7 1 = 4 - to — I1 К |
+ °*)]; |
(179) |
||
Or = w = 4 " [ 0 г |
— ^ (а < |
+ |
а*)і; |
(180) |
е г = 4 " I0 * — |
Iх (a t + |
a z)]- |
(181) |
|
При расчете длинных цилиндров полагаем, что поперечные сечения цилиндра, удаленные от его концов, остаются плоскими, и осевая относительная линейная деформация е2 постоянна вдоль оси цилиндра, а следовательно, и аг = const.
Совместное решение уравнений (165), (179), (180), (181) позво ляет найти:
Сі |
|
с 2 |
1+2ц |
.JL соѴ2; |
(182) |
|
|
Г2 |
8 ( 1 — Ц) |
8 |
|
Сі |
+ |
с 2 |
3 —2ц |
.Л со2/-2. |
(183) |
|
г 2 |
8 ( 1 — Н-) |
8 |
Осевое напряжение стг находим из соотношения (181) при опре деленных граничных условиях. Например, если концы цилиндра не могут перемещаться вдоль оси, то ez = 0, тогда
cr* = (*!(°r/ + ffr)- |
( 184) |
Если же концы цилиндра свободны, то осевое растягивающее усилие на торцовых сечениях равно нулю, т. е.
Qz — \° z d F = 0, |
(185) |
F
где
dF = 2лг dr,
г1
Qz = 2л J a /d r — 0.
о
С учетом выражения (181) находим
Qz — 2яГіJ д а+ (i ( а ,-1-0,.)]гdr = 0.
О
85
Постоянные интегрирования С* и С2 определяем по граничным
условиям. При отсутствии внешних |
давлений и с = 0 постоян |
|||||||
ная С2 = 0 |
(так как ог и ot не равны бесконечности). |
|||||||
При г = |
г 2 оу = |
0, а |
|
|
|
|
|
|
|
Сх |
3 — 2(х |
|
« |
2 |
|
||
|
4 (1 — М-) |
|
соѴ2; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(3 — 2[х) r \ — (1 + 2|х) г 2 |
|
|
||||
|
|
|
8 ( 1 |
— |
И) |
|
|
•СО“1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
- |
3-_2Г ( ^ _ г2) V ОТ. |
|||||
|
|
8(1 — IX) |
' |
- |
' f i r |
|
||
Эти напряжения |
максимальны при г — 0: |
|||||||
|
|
|
|
|
■2(Х |
у |
2 2 |
|
|
щах |
— |
max —8 ( 1 — (X) |
— СОГ2. |
||||
|
g |
|
||||||
При ег = |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 — ц) г\ |
|
|
Г2 |
|
|
|
|
|
4(1-Ц) |
|
2(1 — р) |
|
8 |
||
При Qz = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М- |
|
(О (r t~ 2 r % |
|||
|
|
4 ( 1 — Iх) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
_ |
2 |
2 |
_ |
|
2 |
2 |
|
|
рм Уг2 |
PYWг2 |
|||||
|
г max — |
( і — (х) — |
4g(l—|х) ‘ |
|||||
Если вращается пустотелый цилиндр, свободный от внешних и внутренних давлений, то аг равно нулю на внутренней и внешней поверхности. Это обстоятельство позволяет из уравнения (172) найти Сг и С2, а затем и напряжения:
|
3 — 2[х |
2 |
2 |
1 + 2[х |
г |
-ум2 _ |
|
Gt = |
'1*2 |
(186) |
|||||
1 — (X |
|
|
3 — 2{х |
|
Ж ’ |
||
|
|
|
|
|
|||
|
3 — 2р |
|
2Г2 |
г\ |
уот* |
|
|
0-г |
■г\ |
ГѴ2 |
|
(187) |
|||
1— I1 |
|
/ |
8g |
• |
|||
|
|
|
|
||||
При 0Z = О осевое напряжение
(188)
86
Зная ot, аг и ог, по формуле (179) легко найти радиальное пере мещение любой точки цилиндра:
|
A r = и |
= |
-^г |
|
— |
р ( а г + |
а 2)]. |
(189) |
|||
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение o t максимально при г = |
гх: |
|
|
||||||||
|
3 — 2р ( J |
, |
2 1 — 2{Х \ у® 8 |
(190) |
|||||||
^ |
шах — |
J — |
JJ, |
Ѵ > |
+ |
Г > 3 |
- ü |
J |
4 g |
||
• |
|||||||||||
тг — при г = |
] Л ѵ 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
_ |
3 - |
- 2 р |
(f |
, |
yä |
Y<ü2 |
|
(191) |
|
|
° г max |
— |
1 _- | i |
|
Г і) |
8 g |
• |
||||
Сравнивая формулы (175) и (176) с выражениями (190) и (191) соответственно, замечаем, что результаты подсчета несущественно отличаются, причем формулы (175) и (176) дают несколько завы шенные напряжения. Это объясняется тем, что при расчете дисков пренебрегаем напряжением ог.
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В ДИСКЕ ОТ ПОСАДОЧНОГО НАТЯГА
В конструкциях механизмов диски постоянной толщины часто устанавливают на вал с натягом. Нередко диски надевают с натя гом на втулку (пустотелый вал), изготовленную из другого мате риала.
В результате соединения двух деталей с натягом они в месте соединения деформируются; при этом в них возникают местные
напряжения. |
Эти напряжения за |
|
||||
висят от величины натяга |
6, кон |
|
||||
структивных |
размеров |
сопрягае |
|
|||
мых деталей |
и длины I |
посадоч |
|
|||
ной |
поверхности. |
|
|
|
||
Так как соединение осущест |
|
|||||
вляется с натягом, то |
должно |
|
||||
соблюдаться условие (рис. 41): |
|
|||||
|
4 |
= |
К І + І«вІ, |
|
(192) |
|
где |
Цд — Агд — изменение |
поса |
|
|||
|
«з = |
дочного радиусагхдиска; |
Рис. 41. Диск и вал до соединения |
|||
|
Агв — изменение |
поса |
их с натягом |
|||
|
|
дочного радиуса г, вала. |
|
|||
Следует заметить, что при разной длине сопрягаемых деталей контактное напряжение распределяется по посадочной поверх ности неравномерно. Выступающие из диска части вала затруд няют его деформацию; в результате концы диска получают боль
87
шую деформацию, а напряжения на концах диска значительно выше, чем в средней части. Чем больше толщина h диска, тем меньше влияние выступающих частей вала; в первом приближении можно полагать, что давление равномерно распределяется по тол щине h диска.
Среднее перемещение поверхности вала в месте посадки можно
подсчитать по приближенной |
формуле |
|
|
||||||||
|
|
|
„ |
_ |
pdB%П + кв |
|
(193) |
||||
|
|
|
|
вср _ |
2Ев |
1_*2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
р — удельное |
|
давление |
на вал, возникающее в результате |
|||||||
|
|
посадки диска с натягом; |
|
|
|
||||||
|
dB— диаметр |
вала; |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ев — модуль упругости |
материала |
вала; |
|
||||||||
|
kB = |
d0/dB (d0 — внутренний диаметр пустотелого вала); |
|||||||||
|
X — коэффициент, |
зависящий |
от |
отношения |
толщины h |
||||||
|
|
диска к диаметру dB; численно %равен отношению дей |
|||||||||
|
|
ствительного среднего перемещения к перемещению, |
|||||||||
|
|
определяемому |
по |
формуле |
Ляме. |
|
|||||
В |
практических |
расчетах |
|
можно |
принимать % |
= 0,85-г 0,90 |
|||||
при 0,7 с |
hldB < 1 |
1 |
как |
для |
сплошного, так и для пустотелого |
||||||
вала. |
При |
h!dB= |
коэффициент % = |
1. |
|
||||||
Радиальное перемещение «д точки, лежащей на внутренней |
|||||||||||
поверхности диска, |
от воздействия давления р находим, по формуле |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
pdд М -Т k |
|
^д |
(194) |
||
|
|
|
|
|
|
2£л |
|
І + |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1— к |
|
|
|
|
где |
dR = |
dB— диаметр |
внутреннего |
отверстия диска; |
|||||||
|
£ д — модуль |
упругости материала диска; |
|
||||||||
dj.
—(dH— наружный диаметр диска).
д“н
Из (192), (193) и (194) найдем среднее посадочное давление
р УАъ |
(195) |
, \ , <і» p + t i , |
|
Ея Т ^ |
+ Ч + тгд |
Дальнейший расчет сводится к определению at, аг, ыд для вращающегося диска с внутренним давлением р и для вала с на ружным давлением р.
Теперь напряжение сг, на внутренней поверхности диска можно
определить |
как |
£дС2 |
|
|
Or. = |
EpCt |
(3 + Ид) |
(196) |
|
■р = |
|
3 |
||
|
Н |
О + ^д )гі |
|
|
|
|
|
|
88
При г — г2 |
напряжение аг = 0, т. е. |
|
В Д |
ЕяС2 |
(197, |
1 - ^ д |
Ü t ^ . i wVl = o. |
|
( 1 - Ц д ) і |
|
Совместное решение уравнений (196) и (197) позволяет найти Cj и С2, а затем по формулам (186), (187), (189) определить at, аг, и
Q |
£ л |
|
+ |
|
|
|
Д2 |
|
|
|
|
( 1 — ^ д ) Г2 |
О + Р д ) ' |
|
|
+ |
(З + Рд) Y „ 2 ,2 /, |
.. ч |
(198) |
|
— Щ ------- — 0 / 2 ( 1 |
Р-д), |
||
|
с, = |
|
|
(199) |
|
|
. (! — ^д) rl О+^дКі |
|
|
Если вал сплошной (d = 0), то kB = 0.
§ 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСВОБОЖДАЮЩЕЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ
С увеличением скорости со вращения диска возрастает и радиаль ная деформация иА. При некоторой скорости со0св деформация «д диска при г = гг будет равна половине натяга 6, и вал может сво бодно провернуться в отверстии диска. В этот момент р = 0 и ог — 0 при г = гх и г = г2, а постоянные интегрирования
с, = |
О -С д^ |
|
(4+ 4); |
|
|
|
|
^ |
__ ( 3 + |Х д )(1 + |
Рд) Ѵс° 2/' і Г2 |
|
'“'2 |
-- ----------- ос |
_------------ |
• |
Подставляя эти выражения для С2 и С2 в уравнение (170), получим при г = гх
(200)
откуда найдем искомую освобождающую скорость
/ |
2EÄ6g |
(201) |
\ г і [(3 + |
| i ) / f + ( l - p ) r ? ] |
‘ |
89