книги из ГПНТБ / Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие

Ниже приведены значения рі, которые удовлетворяют уравне­

нию (33):

р 4/ = 1,875 = а 4;

р3/ = 4,694 = ö2;

р31 = 7,855 = а3;

р4/ = 10,950 = а4;

р,./ = щ.

Из этих данных имеем:

Частоту собственных колебаний балки легко найти по формуле

Рассматривая аналогичную балку, лежащую свободно на кон­

Это уравнение справедливо при следующих значениях про­

30

Значение с{ для различных і указаны ниже:

Для балки длиной I с заделанными концами (рис. 13) уравне­ ние частот имеет вид

Это уравнение имеет решение при

рг1 — 1,5я = Ьг;

р21 = 2,5я = 62;

P-J = 3,5я = Ь3\

рх1 — 4,5я — Ь4;

Ptl = ьі-

Для этого случая закрепления балки

(40)

31

Для балки на двух опорах А и В с выступающей консолью постоянные интегрирования в уравнении (29) следует определять с учетом амплитудной реакции R в опоре В (рис. 14).

Для сечения сопряжения консоли b и пролета а всегда спра­

иФ* = Фх = при X — I = а А- Ь. При этих условиях получим:

Вх sin ра + D sh ра — 0;

32

Решая это уравнение, получим выражение для определения р при заданных значениях а, b и /:

(sh pb + sin pb) (sh pa cos pi + sin pa ch pi) — (ch pb +

Уравнение частот (47) является трансцендентным и имеет бесконечное количество значений р.

При определении р удобнее пользоваться графическим методом, при этом выражение (47) приравнивают переменной z и, задаваясь

значением р, строят кривую г = f (р). Точки пересечения кри­ вой z = f (р) с осью абсцисс р дают искомые значения корней уравнения.

Критическую скорость балки, лежащей на трех опорах с про­ летами одинаковой длины /, подсчитывают по формуле (рис. 15)

§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ МНОГООПОРНЫХ ВАЛОВ, ШТАНГ И БАЛОК

В машинах для производства химических волокон имеется мно­ жество упругих систем, которые при расчете критических скоро­ стей можно уподобить многоопорным балкам (цилиндры пита­ ющих и вытяжных приборов, нитеводительные штанги, много­ опорные приводные валы, кольцевые планки, веретенные брусья и т. д.).

При определении критических скоростей таких систем обычно применяют приближенные методы, позволяющие определить пре­ делы интервала, внутри которого лежат наибольшая и наименьшая частоты многоопорных балок.

Метод, предложенный Е. С. Сорокиным, заключается в сле­ дующем.

Рассматривая каждый пролет как балку, свободно лежащую на двух опорах, находим для него основную (первую) критическую скорость по формуле (36). В результате определим столько кри­ тических основных скоростей, сколько имеется пролетов и в том

числе минимальную /£?іп и максимальную /^вах

Затем, рассматривая все промежуточные пролеты как балки, заделанные по краям, а концевые — как балки, заделанные в од­ ной опоре и свободно лежащие на другой, находим основные ча­ стоты соответственно по формулам (40) и (38). Среди этих частот

Значения / т1п и /тах определяем по эмпирическим формулам

(49)

(50)

§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЫ С УЧЕТОМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС

В практических расчетах можцо найти основную (низшую) ча­ стоту колебаний приближенным методом Рэлея, суть которого заключается в замене распределенной массы сосредоточенной (при­ веденной) массой, приложенной в сечении, опасном с точки зрения амплитуды колебаний.

Вэтом случае, например, консольную весомую балку длиной I

сраспределенной массой (рис. 16, а) надо заменить невесомой балкой с приведенной массой тпр, приложенной на конце консоли

(рис. 16, б).

Приведенной является масса, которая дает невесомой балке

такую же основную частоту колебаний, какую имеет весомая балка с распределенной массой; приведенная масса имеет кинети­ ческую энергию, равную кинетической энергии весомой балки.

Кинетическая энергия: приведенной массы

34

весомой балки с распределенной массой

Fydx • а

Ч у •

В этих выражениях:

упр — скорость колебательного движения приведенной массы (Упр — смещение приведенной массы);

у— скорость колебательного движения центра тяжести элементарной массы dm, удаленной от начала координат на расстояние х ; (у — смещение центра тяжести эле­ ментарной массы, удаленной от начала координат на

расстояние х);

F — площадь поперечного сечения балки;

Рис. 16. Консольная балка:

а — весомая с равномерно распределенной массой; б — невесомая с приведенной массой^ на конце

Из условия Е пр = Е р находим

Заменяя отношение скоростей отношением деформаций, полу­ чим

I

^пр

Прогибы у и упр находим для невесомой балки с приложен­ ной к ее концу силой Р .

Опуская выводы, получим

Следовательно, основную частоту собственных колебаний ве­ сомой консольной балки с распределенной массой можно опреде­ лить по формуле (4), заменив т на тпр:

Рис. 17. Балка на двух опорах:

а — весомая; б — невесомая с приведенной массой посредине

Если балка длиной I свободно лежит концами на двух опорах, то масса т пр, сосредоточенная в середине балки, составит (рис. 17)

Рис. 18. Балка на двух опорах с выступающей консолью:

а — весомая с распределенной массой; б — невесомая с приведенной массой на конце консоли

Для балки на двух опорах с выступающей консолью (рис. 18)

Энергетический метод определения критической скорости. При­ меняя принцип сохранения энергии к незатухающим колебаниям системы, получим (см. рис. 5)

К + П — const,

36

где К и П — соответственно кинетическая и потенциальная энер­ гия колеблющейся системы;

(56)

где Qi — вес і-то груза;

Уст. і — статический прогиб балки под грузом Рассмотренный метод можно применить и при определении

основной критической скорости весомых балок. Для этого необ­ ходимо разбить балку на несколько частей, приложить в центре тяжести каждой части сосредоточенный груз Qit равный весу этой части, найти смещение уст { для каждого груза и по формуле (56) определить fci. Смещение грузов или прогибы лучше опреде­ лять из уравнения упругой линии для балки с равномерно рас­ пределенной нагрузкой.

37

Из формулы (56) следует, что для определения низшей крити­ ческой скорости необходимо найти статические прогибы г/ст £вала в местах крепления грузов Q,. Эти прогибы можно определить аналитическим и графо-аналитическим методами, причем анали­ тически прогибы удобно находить при расчете валов постоянного сечения с небольшим числом грузов.

Аналитический метод определения прогибов уст валов пере­ менного сечения с несколькими сосредоточенными нагрузками очень громоздок и трудоемок, поэтому в таких случаях пользуются графо-аналитическим методом, сущность которого заключается в следующем.

Балку (вал) переменного сечения, нагруженную несколькими сосредоточенными нагрузками, разбивают на отдельные участки; причем каждый участок должен иметь постоянное сечение. Уча­ сток с постоянным сечением можно разбить дополнительно на несколько равных частей; с увеличением числа частей возрастает точность результатов. Затем определяют веса Qt всех частей и сосредоточивают вес і-й части в ее центре тяжести.

В результате получают невесомую балку, нагруженную только сосредоточенными нагрузками (рис. 19). Балка имеет пять участ­ ков. Каждый участок длиной с постоянным сечением дополни­ тельно разбит на две равные части; следовательно, вместе с си­ лами Р г, Р г, Р 3, Рі имеем 14 сосредоточенных нагрузок (рис. 19, а).

Для построения силового многоугольника (рис. 19, д) и эпюры изгибающих моментов (рис. 19, б) необходимо найти реакции R в опорах А и В. Для упрощения расчетов вал и нагрузки полагаем симметричными.

Эпюру изгибающих моментов получают построением силового многоугольника (рис. 19, д) и соответствующего ему веревочного многоугольника (рис. 19, б).

Для определения численного значения изгибающего момента

впроизвольном поперечном сечении балки необходимо измерить соответствующую ординату Я на эпюре моментов в этом сечении

вмасштабе для чертежа и умножить ее на полюсное расстояние h, измеренное в масштабе сил силового многоугольника (рис. 19, д).

Для получения кривой изгиба оси балки необходимо вычер­ тить второй веревочный многоугольник (рис. 19, г). При этом построенную ранее эпюру изгибающих моментов (рис. 19, б) следует рассматривать как фиктивную эпюру нагрузки. Для учета переменного поперечного сечения балки интенсивность этой фик­ тивной нагрузки в каждом-сечении умножаем на отношение / 0// (где /„ — момент инерции наибольшего поперечного сечения вала,

/— момент инерции рассматриваемого сечения). В результате получаем так называемую фиктивную эпюру редуцированных изги­ бающих моментов (рис. 19, в).

Имея эпюру изгибающих моментов, легко построить эпюру как называемых редукцированных изгибающих моментов, т. е. таких моментов, которые в балке постоянного сечения диаметром d

38

вызвали бы те же прогибы, что и в рассматриваемой балке. Обычно величину d принимают равной одному из действительных диаме­ тров ступеней балки, чаще всего максимальному диаметру d3.

Значения редуцированного изгибающего момента (рис. 19, в) находим умножением действительного изгибающего момента (рис. 19, б) в данном сечении на коэффициент редуцирования k, причем для первого участка

39