В этих формулах:
R — радиус нормального сечения, полученного в результате разреза тела намотки плоскостью, которая проходит через нормаль к поверхности и касательную тт к кривой витка в точке О; в общем случае этот радиус определяют по формуле
л
^ " cos2 ß — q sin 2 ß ’
Рис. 212. Схема к определению связи между р, R , Rg и Ѳ при расположении нити на круглом цилиндре (а) и конусе (б)
Rg — радиус геодезической кривизны витка в рассматривае мой точке О, т. е. радиус проекции кривой витка на плоскость, проходящую через касательную тт и геоде зическое направление,
_ |
г у (г')2+ 1 |
s |
(/-cosß)' |
Геодезическое направление перпендикулярно касательной тт и нормали п к поверхности. Нетрудно видеть, что геодезическое направление лежит в касательной плоскости тОт и совпадает с осью От.
Исследование формулы (331) показывает: чем больше радиус тела намотки и меньше радиус геодезической кривизны витка, тем больше угол Ѳ и тем дальше располагается виток от равновес ного положения.
В самом общем случае при намотке нити на тело вращения про
|
извольной формы угол геодезического отклонения |
определяют |
|
по формуле |
r' cos ß — г sin |
ßß' |
|
|
tge = |
(332) |
|
cos2 ß — q sin |
2 ß |
В приведенных формулах: г — радиус тела намотки в точке О;
г' |
; |
ß — угол |
подъема витка в точке О (угол между каса |
тельными |
к |
витку и трансверсальному сечению, проходящему |
через |
точку |
0); ß' |
= ^ ; |
|
|
|
|
гг" |
|
|
|
|
Я ~ 1 + ( г ' ) а |
^здесь г" = |
— вторая производная по г/j . |
Чтобы воспользоваться формулой (332), необходимо предва рительно найти зависимость угла ß и радиуса намотки от вели чины у перемещения точки набегания вдоль оси тела намотки.
Рассмотрим наиболее распространенные виды намотки — ци линдрическую и коническую.
Цилиндрическая намотка — это такая намотка, когда при фор мировании каждого прослойка (навивания спирали одного направ ления) должны соблюдаться следующие условия (см. рис. 204, а): радиус намотки г = const; r' ~ г" = 0; угол подъема витков спирали ß = const, т. е. нить располагается по винтовой линии; ß' = 0.
Подставляя эти значения в формулу (332), получим для винто вой спирали tg Ѳ = 0.
Так как угол геодезического отклонения равен нулю, то вин товая спираль на круглом цилиндре является геодезической ли нией при любом угле подъема витков, т. е. винтовая намотка яв ляется равновесной, поскольку всегда соблюдается первое усло вие равновесия — условие формы.
Следует отметить, что практически нельзя осуществить винто вую намотку на всей длине паковки из-за возратно-поступатель- ного движения нитеводителя.
Как установлено выше, в момент смены направления движения нитеводителя теоретический закон раскладки нити нарушается; угол подъема витков изменяется, проходя через ноль. Таким об разом, в момент смены направления движения нитеводителя нить укладывается не по геодезической линии, так как ß =j=const, а Ѳ Ф 0. При этом для случая намотки на цилиндр формула (332) принимает вид
|
tgö = - |
г sin ßß' |
(333) |
|
cos^ |
|
|
|
Для случая навивания нити на круглый цилиндр угол подъема |
витков определяют по формуле |
У_ |
|
|
|
|
|
tgß |
% > |
|
где у — скорость |
перемещения |
точки набегания нити вдоль оси |
паковки; |
скорость точки наматывания. |
|
ц0 — окружная |
|
Нетрудно установить и проверить, что радиус геодезической кривизны Rg имеет минимальное значение при мгновенной смене направления движения нитеводителя и минимальном расстоя нии от точки набегания до направления движения глазка нитево дителя.
Из рис. 208 следует: если нитеводитель мгновенно меняет направление движения, то точка набегания М некоторое время продолжает двигаться в прежнем направлении, а угол ß — изме няться по закону (307).
Зная выражение для tg ß, легко найти sin ß и ß', а затем по формуле (333) — tg Ѳ:
|
sinß |
|
1 / t g ß o |
|
|
|
|
|
|
|
|
1Л + (2e |
V g t |
|
|
|
|
L |
1/ tg2ß0 |
|
|
|
|
|
|
V g t |
|
v 0 t |
dt |
|
2t>0e |
L |
(tgß)' = |
ß' |
tgßo = |
tg ßo |
cos2 ß |
dy |
|
dy |
|
|
|
|
|
dt |
|
2e |
v a t |
|
|
|
L |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
L \2e |
L |
- l ) |
|
|
|
|
V a t |
|
|
|
|
2e |
L COS2 ß |
|
|
|
( . |
V a t |
\ |
|
|
|
L \2e |
L |
- l ) |
|
|
|
|
V a t |
|
|
|
|
2rt |
L |
tgßo |
|
|
|
L і Л + G e |
L - О tg 2 ß0 |
|
При прочих равных условиях угол Ѳ имеет максимальное значение при t = 0, т. е. в точке сопряжения винтовой спирали с кривой закругления
|
|
tg0max= - ^ ^ L . |
(334) |
Для Уого, чтобы крайний виток находился в равновесии, |
необходимо соблюдать |
неравенство |
|
|
|
|
2г |
sin ß0 |
|
(335) |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
Формула (335) позволяет |
определить: |
при заданных |
а) |
максимально |
возможный |
радиус намотки |
значениях |
р, L, ß0 |
|
pL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
ßo ’ |
|
б) максимально возможный угол подъема витков при намотке на паковку максимального радиуса
ßo = arcsin -}£— ;
ьтщах
в) минимально возможное значение L при намотке на паковку максимального радиуса
I 2г sin ßo
р
Менее опасные условия для равновесия крайнего витка со здаются при некотором выстое нитеводителя в крайнем положе нии. В этом случае во время выстаивания нитеводителя (см. рис. 208) угол подъема витка изменяется по закону
• |
tg ßo — |
|
_ |
Ѵаі |
tg ß = = |
|
e |
L tgßo, |
а |
|
|
|
|
|
|
tg Ѳ= |
------- |
|
|
... |
. |
|
I |
f |
t |
L + |
|
|
|
L |
V |
t g 2ß 0 |
При t = 0 должно соблюдаться условие |
ІбѲшаІ = |
^ |
< |
0 . |
|
В действительности закон перемещения нитеводителя в край нем положении зависит от многих факторов и в первую очередь от конструкции мотального механизма и вида замыкания ролика с мотальным кулачком.
При цилиндрической намотке обычно применяют цилиндри ческие кулачки с геометрическим замыканием.
Выше установлено, что в начальный момент смены направле
ния движения нитеводитель перемещается по закону |
|
yH= ; Y R %— (Я sin ос— оrtf |
— Я cos ос, |
(336) |
а угол подъема витка изменяется по закону |
|
tgß = tgß0---- Г + |
= |
(377) |
Если подставить выражение (336) в формулу (337), то получим выражение, не поддающееся интегрированию. В связи с этим сле дует заменить выражение (336) таким, которое дало бы хорошее приближение и в то же время позволило получить интегрирую-
ззз
щееся выражение. Такой зависимостью в рассматриваемом слу чае может служить закон синуса
|
|
|
|
ун = А 0 sin ©о*, |
|
|
|
|
|
где |
А 0 = R (1 — cos а); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я , |
|
, |
R sin |
а |
|
|
|
в |
течение |
которого |
Юо = - 2~іо. причем t0= ——-------время, |
|
нитеводитель пройдет путь, |
равный А 0. |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__ |
я tor |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
'27? sin а ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
yH— R( 1 — cos а) sin |
я/ |
|
|
(338) |
|
|
|
2ь:‘ |
|
|
|
Подставляя |
последнее выражение в формулу |
(337), |
получим |
|
|
|
|
|
_ |
Ѵоі \ |
|
|
Т>['о |
|
|
|
|
j/ = LtgßoU — е |
L } + |
|
X |
|
|
2 |
, |
V0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z. ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(о0 + |
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v „ t |
|
|
|
X |
|
j - sin (o0t — (ü0 cos (i>0t -(- |
G)0e |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vot |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg ß = |
tg ß0e |
L .------- т - ^ Ч г |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 (®o + T j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V p t |
|
|
|
X |
sin щі — ö0 cos a>0t -(- (ö0e |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v „ t |
|
AntünL |
|
|
|
|
|
r sin ß0 |
tg ßoe |
L |
|
X |
|
|
|
|
|
.,2 г 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ÖnL |
+ Vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v „ t |
|
|
|
X |
(Dqcos ö)0; ------ |
co0sin (ü0t -f- |
e |
|
|
tg Ѳ: |
Vot |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V p t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V0 tg ßoe |
L |
+ |
A20<*f°L 2 |
{ -J- cos faV + |
«0 sin |
- |
L |
|
|
|
|
|
|
u0^ ~r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
Исследование |
последнего |
выражения |
показывает, |
что при |
0 и у = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tee |
’ = |
c siri b |
|
1 |
|
я (1 — cos«) |
;p. |
|
|
Іь |
u max |
|
|
|
|
2 sin a |
tg а |
|
|
|
Из формул следует, что при крестовой намотке на круглый цилиндр нельзя брать произвольными ни угол подъема витков, ни диаметр намотки, ни расстояние от точки набегания до направ-
ления движения глазка нитеводителя; очень тщательно следует определять коэффициент трения р.
Коническая намотка — это намотка на круглый конус, когда при формировании одного прослойка должно соблюдаться условие постоянного угла конуса.
В практике наматывания на конус возможна намотка с постоян ной и с переменной скоростью питания, причем намотка может быть винтовой, когда угол подъема витков спирали одного на правления остается постоянным до момента начала смены направ ления движения нитеводителя, и не винтовой, но е постоянным шагом витков в прослойке.
При намотке на круглый конус и движении нитеводителя от меньшего основания к большему с постоянным шагом витков не
зависимо от скорости питания справедливы соотношения: |
|
|
Г = |
Го + |
У tg а; |
|
|
|
|
|
|
|
r' |
= |
|
tg а; |
|
|
|
|
|
|
г" |
= |
0; |
9 = 0. |
|
|
|
|
|
При этих условиях угол |
геодезического |
отклонения |
|
t |
д _ _ cos ß l g |
И — |
(Гр + у tg а ) |
sin |
ßß' |
f 3 3 gv |
|
® |
|
|
|
cos2 ß |
|
|
* |
' |
' |
Подставляя в эту формулу |
выражения |
sin ß = — |
и cos ß = |
= У 1 — sin2 ß |
предварительно |
найдя |
ß', |
получим |
|
|
|
ter fl — |
|
(2 — |
cos2 ß) tg a |
|
|
(340) |
|
0 — |
|
|
cos ß |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При движении нитеводителя от большего основания к мень |
шему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tge----------t g e t ( |
|
|
) . |
|
(341) |
Анализ уравнения (340) показывает, что 0 достигает макси |
мального значения при максимальном |
угле |
подъема |
витков |
ß, |
т. е. у меньшего основания конуса.
При конической намотке на кольцевых машинах угол ß мал (я/60ч-л/36 рад), поэтому первое условие равновесия витка можно представить в виде (ошибка не более 1%):
tg а = tg Ѳ < р.
|
При винтовой намотке |
на конус, когда ß = const, а ß' = 0 |
|
и г" = 0, формула (339) |
примет вид |
|
t g |
Ѳ = |
t g « |
|
cos ß |
|
|
|
Вмомент смены направления движения нитеводителя угол ß уменьшается от ß0 до нуля, а затем увеличивается до ß0.
Вмомент смены направления движения нитеводителя точка набегания перемещается вдоль оси паковки на небольшую вели чину (обычно значительно меньше 5 мм); на этой длине несущест венно изменяются не только радиус намотки, но и величина L.
Учитывая эти обстоятельства можно для конической намотки
сбольшой точностью использовать формулы для определения угла подъема витков в момент смены направления движения нитево дителя, полученные при рассмотрении намотки на круглый ци линдр. По этим формулам следует найти sin ß, cos ß и ß', а затем подставить полученные значения в уравнение (339).
Рассматривая самый неблагоприятный случай с точки зрения равновесности намотки — мгновенную смену направления дви
жения нитеводителя у большего основания конуса, когда tg ß =
I |
а°( |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
= \2е |
L |
— 1) tg ßo и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v a t |
|
|
|
|
|
|
2e |
|
L cos ß |
|
(342) |
|
|
|
ß' = - |
( |
_ |
”tl |
Г* |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
\2 e |
|
L |
— \ ) |
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У tg 0о Sin |
_ |
р0* |
|
|
ter fl — |
t g “ I 2 |
('o |
+ |
ße |
L |
|
|
t g ö — |
C O S ß " Г |
|
|
/ |
_ V o l |
\ |
|
|
|
|
|
|
L \ 2e |
L — \ ) |
|
При t = 0 и у яа H
Ѳтах —
t g « |
+ |
2#o sin |
ßo6 |
(343) |
COS ßo 6 |
t-об |
|
где H — длина прослойка.
При смене направления движения нитеводителя у меньшего
|
основания конуса, |
когда г = R 0— у tg а; г' = —tg а; г" — 0; |
|
<7 = 0, |
|
|
|
|
|
t g 0 = |
— |
t g « |
(Ro— y tg « ) sin ßß' |
(344) |
|
cos ß |
cos2 ß |
|
|
|
|
Подставляя выражение (342) в последнюю формулу, получим при t = 0 и у = Н
tgo = — |
t g « |
2г0 sin ß0M |
(345) |
cos ß0M |
LOM |
В формулах (343), (345):
ßo6 — угол подъема витков у большего основания конуса перед началом смены направления движения ните водителя;
Ром — Угол подъема витка у меньшего основания конуса перед началом смены направления движения ните водителя;
Lo6; ^ом — расстояние от точки набегания до направления дви жения нитеводителя соответственно у большего и меньшего оснований конуса.
Сравнение формул (343) и (345) показывает, что наибольшая опасность стягивания витков к середине паковки характерна для крайних витков, уложенных у большего основания конуса.
Во избежание стягивания крайних витков, необходимо соблю дать неравенство
t g « |
. |
. 2R0 sin ßo6 |
cosßoö |
"Г |
Lo6 |
откуда получим максимально допустимый угол конуса тела на мотки
____ (И^об — 2R0 sin ßo6) cos ßo6 |
. |
t g a ^ |
__ |
При ßo6 -» О
tg а с fx.
Сравнивая формулы (340) и (343), нетрудно установить, что значения Ѳ, найденные по формуле (343), значительно превышают величины Ѳ, найденные по формуле (340). Например, при а — = я/36 рад; 2R0 = 45 мм; Ьоб = 15 мм и ßo6 = я /12 рад получим Ѳм = ІІя/360 рад и Ѳоб = 41jt/180 рад. Следовательно, при про ектировании мотальных и наматывающих механизмов следует пользоваться зависимостью (343).
§ 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ ВИТКА ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ И НАЛАДКЕ МОТАЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Как показано выше, в наихудших условиях находятся крайние витки, вернее часть крайнего витка, у которой угол ß изменяется от + ß о до 0 и вновь увеличивается до —ß0.
Рассмотрим характер изменения угла Ѳ при мгновенной смене направления движения нитеводителя в процессе намотки на кру глый цилиндр (винтовая намотка).
В этом случае:
_ _ v p t \
У = 2 і ( 1 — е M tgßo — vJ\
V a t
L - 1
|
|
|
|
|
|
|
V g t |
|
|
|
tg0: |
|
|
2' tg ß0e |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2ßo + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
V g t |
\ |
V g t |
Угол ß = 0 в точке А |
при |
\2е |
L — 1) — 0, т. е. при е |
L |
_ |
_j_ |
|
|
|
|
|
|
|
— |
2 ‘ |
t — О в точке О, |
принадлежащей винтовой линии, |
угол |
|
При |
Ѳ = 0, |
а в соседней точке О, |
принадлежащей кривой ОАВ, |
|
|
|
|
, |
п |
_ |
2 г sin ßo |
|
|
|
|
1ь umax —1 |
£ |
|
|
|
|
_ Vo£ |
|
|
|
|
|
|
В точке А при е |
2 |
== |
|
|
|
|
tg ѳ
Іь ümln —
Таким образом, при проектировании и наладке мотальных меха низмов, осуществляющих намотку на круглый цилиндр, следует пользоваться формулой (335).
Для уменьшения длины участков с нарушенной формой намотки значение L необходимо брать минимально возможным.
Если задан максимальный радиус намотки, то угол ß0 =
= arc sin — не должен быть больше вполне определенной вели-
ѵп
чины, определяемой неравенством
s m ß o ^ i^ s in ,
откуда скорость нитеводителя
va\iLmin
2тп
Если задан угол ß0, то радиус г намотки можно доводить до величины:
___ H^rnin
^2 sin ß0
Если же заданы значения rmax и ß0, то для получения равно весной намотки необходимо точно установить величину L
L: 2гmax sin ßo
В большинстве случаев коэффициент трения-скольжения нити о поверхность патрона (шпули, бобины) значительно меньше коэф фициента трения нити о нить. Поэтому при определении угла ß0 следует найти два его значения при р.ш1п и rmln, а также при цшах
И 'г шах •
ß _[Amtn^max |
sin poa = ^ |
|
zrn |
|
sm p01 — —k~-------- |
|
n— |
' min |
|
и выбрать при проектировании меньшее из полученных значе ний рог.
То же относится и к скорости нитеводителя
. Нтіп^гДт |
у2н : |
И-тах^п^-п |
2гmin |
2Гmax |
Если необходимо увеличить ß до значения
sin ß0 = EüHbüiL ^max
то необходимо устанавливать патрон так, чтобы шпуля, бобина имели специальное конструктивное оформление. Чаще всего на поверхности предусматривают кольцевые углубления и насечки. Для упрощения технологии изготовления шпуль такие углубле ния необходимо делать только на тех местах шпули, где наматы ваются крайние витки, а на длине уплотненных краев выполняют не только кольцевые углубления, но и углубления под углом к об
разующим не более |
± ß 0. |
|
|
|
При намотке на круглый конус максимальное значение угла Ѳ |
также достигается в точке О, |
т. е. при |
t — О |
|
|
|
|
_ іД |
о _ |
tg « |
I |
2 (г0 + у tg а) sin ße L . |
l ë D — |
cosß |
"г" |
/ |
\ |
|
|
|
L \2e |
L — \ ) |
a до смены направления движения нитеводителя
tg Ѳ
(2 — cos2 ßo) tg a
cos ß0
tee |
= - £ * - |
+ |
IgOmax— cos ßo6 |
Последнюю зависимость следует использовать при наладке и проектировании мотальных механизмов.
При конической намотке с малым углом ß0 < я/90-ья/60 рад
Ѳщах = К < Ц- Тогда высоту конуса намотки Дк легко найти из выражения
