книги из ГПНТБ / Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие

Выражения (306) и (307) позволяют найти время, по истечении которого скорость точки набегания или угол подъема витков будут равны нулю:

*ß = o = 0,693 ± .

Ѵ0

За это время точка наматывания пройдет путь

Уmax ~ 0,307/, tg ß0.

Следовательно, при мгновенной смене направления движения нитеводителя точка набегания М никогда не дойдет до своего возможного крайнего положения, если L Ф 0, причем уменьше­ ние высоты намотки с одного конца составляет

Д # х = 0.693L tg ßo,

а общее уменьшение высоты

АЯобщ= l,4L tgß0.

320

Перемещение глазка нитеводителя в момент смены направления движения по закону синуса (наиболее близкому к действительному закону):

“o+ tt

Перемещение точки набегания при увеличении угла подъема витков от нуля до заданного значения ß0 при постоянной ско­ рости нитеводителя. Пока ролик мотального рычага или штанги перекатывается по мыску или выемке мотального кулачка, точка набегания перемещается на небольшую величину (меньше L tg ß0) и только при обратном движении нитеводителя угол ß в какой-то момент принимает нулевое значение. Скорость нитеводителя в этот момент практически постоянна, т. е.

У»= v j - v01tg ß0.

Вэтом случае выражение (304) принимает вид

У+ , ^ У = -x ^ g ß o .

Исследуя формулу (310), приходим к выводу, что заданный

получим только тогда, когда расстояние L = 0, т. е. когда гла­ зок сливается с точкой наматывания, или при t = оо.

Так как в действительности всегда L > 0, а время t перемеще­ ния нитеводителя в одном направлении измеряется секундами и их долями, угол ß теоретически никогда не достигнет заданного значения ß0, а скорость точки набегания никогда не будет равна скорости нитеводителя. Путь, пройденный глазком, не равен пути, пройденному точкой набегания за то же время.

Формулы (308)—(310) позволяют точно ответить на вопрос: можно ли в практических расчетах принимать один и тот же закон движения для точки набегания и глазка нитеводителя.

Для этого следует определить время, по истечении которого

угол ß практически не отличается от ß0.

Отсюда следует очень важный вывод: если общая длина участ­ ков, на которых происходит искажение формы намотки (;=«4L tg ßo), не превышает 5% от общей высоты намотки, то при проектировании мотальных механизмов можно отождествлять точку набегания с глазком нитеводителя.

Анализ полученных формул и зависимостей позволяет сделать следующие выводы,

322

Независимо от времени выстоя нитеводителя в крайних поло­ жениях длина участка, на котором происходит заметное искаже­ ние структуры и формы намотки, при L Г> 0 не может быть меньше

2L tg ß0.

Уменьшение длины этого участка возможно только при умень­ шении L или ß0.

Учитывая, что точка набегания в момент смены направления движения нитеводителя в подавляющем большинстве случаев перемещается на небольшую величину по сравнению с общей вы­ сотой намотки, формулы (303)—(311) можно в практических рас­ четах использовать и при намотке на тело недилиндрической формы (конус, сложная форма). На небольшой длине, равной Ltg ß0, радиус намотки и величина Ьу изменяются несущественно.

§ 4. ВЫВОД УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ НАМОТКИ

Выше установлено, что при формировании паковок заданной формы нитеводитель необходимо перемещать по вполне опреде­ ленному закону, зависящему от формы шпули (катушки, бобины), конструкции мотального и наматывающего механизмов. Если скоростные или силовые режимы наматывания, форма шпули (катушки, бобины) выбраны неправильно, то нить при навивании на тело намотки будет располагаться не по расчетной кривой, а стремиться занять более устойчивое положение.

Следовательно, необходимым условием качественной намотки на тело любой формы является условие устойчивого, равновес­ ного расположения витков.

Витки нити находятся в равновесии при вполне определенных значениях угла а наклона образующей тела намотки к оси вра­ щения, угла ß подъема витков и натяжения Т нити. Если значе­ ния этих параметров больше критических величин, то витки спол­ зают, стягиваются, перетягиваются и даже слетают с тела намотки. Таким образом, первостепенной задачей является определение критических значений а, ß и Т. Эта задача была решена проф. А. П. Минаковым [14].

Условия равновесия витков на теле намотки

Рассмотрим равновесие элемента витка на теле произвольной формы (рис. 209). Допустим, элемент витка длиной ds расположен на теле по кривой АОВ. Радиус кривизны поверхности тела на­ мотки по линии расположения элемента ds равен р.

На элемент ds действуют три силы: Т — натяжение ведомой

щаяся на единицу длины витка).

Из курса теоретической механики известно: если тело нахо­ дится в равновесии под действием трех сил, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке и лежат в одной плоскости.

Следовательно, силы Т; Т + dT и Rds лежат в одной плоскости Q. Так как элемент нити располагается на теле намотки по простран­ ственной кривой, то плоскость Q называют соприкасающейся.

Соприкасающаяся плоскость — это предельное положение плоскости Q, проходящей через две близлежащие точки кривой А OB элемента витка и касательную линию тт к этой кривой в точке О, когда точки А и В безгранично приближаются к точке О.

Рис. 209. Схема сил, действующих на элемент витка АОВ длиной ds

Оси координат и линии действия всех сил, лежащих в сопри­ касающейся плоскости, отмечены на рисунке крестиками.

Проведем через точку О элемента ds касательную тт и главную нормаль ѵѵ к кривой витка. Эти линии вместе с осью ßß образуют оси естественного трехгранника Otvß.

Кроме этой системы, возьмем другую систему координат Оптх, в которой ось On совпадает с нормалью к поверхности тела намотки. Так как ось On перпендикулярна к оси тт, то она лежит в плоскости нормалей vOß. В этой же плоскости лежит и ось От.

Разложим силу реакции Rds на две составляющие: силу Nds нормального давления элемента витка на тело намотки, направ­ ленную по нормали On, и силу трения Fds между этим элементом и телом намотки, лежащую в касательной плоскости (здесь N — сила нормального давления на единицу длины витка, a F — сила трения на единицу длины витка). Затем силы Nds и Fds спроекти­

324

руем на оси естественного трехгранника и запишем условия райновесия элемента витка ds:

2j Ffâ = 0; Nds sin Ѳ— Fds sin у cos Ѳ= 0.

Так как элемент ds очень мал, то углы между осью тт и силами Т и Т + dT также малы, поэтому можно принять

Кроме того, пренебрегая бесконечно малой величиной второго

порядка dT •— и учитывая, что ds — рdty, из условий равновесия

элемента ds получим

где (Л— коэффициент трения нити о тело намотки; у — угол между силой трения Fds и осью тт.

Чтобы получить первое условие равновесия элемента ds,

где (Rds)xx — проекция силы реакции Rds на ось тт; (Rds)w — проекция силы реакции Rds на ось ѵѵ.

325

Исследование последней зависимости с одновременным анали­ зом по рис. 209 показывает, что с увеличением угла геодезического отклонения Ѳ угол X уменьшается, а угол у увеличивается, т. е. вектор силы трения Fds поворачивается в сторону оси ßß.

При Ѳ = е полная сила реакции Rds совпадает с направлением

главной нормали ѵѵ, а угол у = -у рад. При дальнейшем увели­

чении Ѳ, т. е. при Ѳ> е, равновесие элемента нарушается и он стягивается вдоль оси т до тех пор, пока не расположится по такой кривой и не займет такого положения нателе намотки, для которых выполняется условие

Кроме того, элемент витка неподвижен на наклонной поверх­ ности до тех пор, пока угол наклона поверхности к горизонтали не превосходит максимального значения угла трения, т. е. пока выполняется условие

Таким образом, при намотке нити на тело с углом наклона образующей к оси, равным а, первое условие равновесия (323) принимает вид

Из последнего выражения видно, что равновесное состояние витков зависит не только от формы тела намотки, но и от формы кривой, по которой укладывается нить. От этих форм зависит угол геодезического отклонения Ѳ и угол а. Если указанные

3 2 6

формы таковы, что выполняется неравенство (325), то элемент витка находится в покое (равновесии). Это и есть первое условие равновесия витка — условие формы, которое формулируется так: соприкасающаяся плоскость, в которой лежит полная сила реак­ ции и которая проходит через касательную к витку в точке О, должна касаться или пересекать конус трения.

Выражение (329), обобщенная формула Эйлера—Амонтона, представляет собой второе условие равновесия отрезка витка — условие натяжения. Это условие формулируется так: отрезок витка находится в покое (не перемещается) до тех пор, пока натя­ жение Т 2 ведущей ветви не превосходит максимально возможного значения, т. е. пока выполняется равенство (329).

и формула (329) принимает частный вид, называемый в технической литературе формулой Эйлера.

327

На основании исследования условия формы (324) и условия натяжения (329) можно указать следующее.

1.Если коэффициент трения нити о тело намотки равен или близок к нулю, то натянутая нить на участке между двумя фикси­ рованными точками (допустим, А и В) принимает форму геодези­ ческой линии, т. е. занимает самое устойчивое положение.

2.Так как коэффициент трения р не равен нулю, то виток на всем его протяжении между фиксированными точками можно отклонить в ту или другую сторону от геодезической линии на

Рис. 210. Область равновесных положений витка А OB на цилиндре (АОВ — геодезическая линия; АСВ, АДВ — предельные кривые)

вполне определенную величину, и виток останется, благодаря на­ личию трения, в этом отклоненном положении.

3.Кривая, форму которой имеет виток, предельно отклонен­ ный от геодезической линии, называется предельной или гранич­ ной.

4.В предельно отклоненном положении виток находится во всех своих точках на пороге срыва.

5.Предельные кривые ограничивают некоторую область, внутри которой лежит геодезическая линия (рис. 210, 211). Виток, расположенный вне этой области, ни при каких условиях не может оставаться в покое (равновесии).

6.Кривые, для которых соприкасающаяся плоскость во всех точках кривой витка одинаково отклонена от нормали к поверх­ ности п, называют кривыми одинакового отклонения.

ние по всей его длине одинаково, а общая сила трения перпенди­ кулярна к направлению нити, т. е. перпендикулярна к касатель­ ной тт и совпадает с осью пг.

8. Если tg Ѳ < fi (соприкасающаяся плоскость пересекает конус трения), то, пока натяжение на ведущем конце возрастает

328

от Т ! до Т 2, нить натягивается, но остается в покое, т. е. сохра* няет свою первоначальную форму; при этом сила трения возра­ стает во всех точках витка до своего максимального значения. При дальнейшем увеличении Т 2 равновесие нарушается, виток

Рис. 211. Область равновесных положений витка ÂOB на цилиндре (А О В — геодезическая линия; AjOBlt А 2ОВ2 — предельные кривые)

начинает менять форму, стягиваясь к геодезической линии. При этом угол у уменьшается до нуля и виток располагается по геоде­ зической линии. Если и после этого натяжение Т 2 растет, то виток начинает скользить вдоль геодезической линии.

Таким образом, для того чтобы витки, навитые по расчетным кривым, не меняли своего положения, необходимо во всех случаях соблюдение обоих условий равновесия и в первую очередь усло­ вия формы.

Определение угла геодезического отклонения

Для практического использования полученных условий равнове­ сия необходимо установить в каждом конкретном случае связь между входящими в них параметрами. Наибольшую трудность представляет нахождение зависимости угола Ѳ геодезического отклонения от формы тела намотки и формы кривой витка.

Из курса математики (теорема Менье) известно, что (рис. 212)

откуда

329