книги из ГПНТБ / Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие

Аналогичное уравнение получим и для качательного движения

где М (t) — момент от возмущающей силы Р (t).

Допустим, что величина возмущающей внешней силы изме­

Отсюда следует, что перемещение колеблющейся системы со­ стоит из двух слагаемых. Одно из них изменяется по гармониче­ скому закону с частотой р собственных колебаний и амплитудой А; другое слагаемое, возникающее под влиянием импульса силы Р 0, также изменяется по гармоническому закону косинуса, но с ча­

стотой ю вынужденных колебаний и амплитудой ^2 ^ ю2 .

Выбрав начало отсчета времени t — 0, когда у — 0, получим

Таким образом, амплитуды этих колебаний отличаются только знаком. Колебательные движения будут совершаться по закону, характер которого зависит от соотношения р и со:

Выражая разность косинусов через произведение синусов, получим перемещение массы при воздействии на упругую систему возмущающей силы Р (t) = Р 0 cos соt:

20

Из этого выражения следует, что амплитуда Л х результиру­ ющего колебания — величина переменная:

Колебания с амплитудой, изменяющейся по гармоническому закону, называют биениями.

Из соотношения

т. е. амплитуда вынужденных колебаний при со —>0 равна де­ формации системы от статической нагрузки, равной Р й.

Если со = р, то амплитуда вынужденных колебаний теорети­ чески с течением времени стремится к бесконечности. Такое явле­ ние называется резонансом.

Частота вынужденных колебаний, равная частоте собственных колебаний системы, называется критической*

Для установления закона возрастания амплитуды при резо­ нансе исследуем уравнение (10) при р = со.

Раскрывая неопределенность, получим

21

Следовательно, для резонанса характерны гармонические коле­ бания с возрастающей амплитудой (при увеличении времени t):

Если частота со вынужденных колебаний больше частоты р собственных колебаний, то перемещение у имеет отрицательное значение. Таким образюм, при со > р деформация у и возбужда­ ющая сила Р (t) противоположно направлены. При дальнейшем увеличении частоты со вынужденных колебаний амплитуда умень­ шается и при со = оо А = 0. Отсюда следует важный вывод, что изменением со или р можно достичь заданной амплитуды колеба­ ния и заданного напряжения в материале, пропорционального деформации упругой системы.

Разделив числитель и знаменатель выражения для амплитуды А вынужденных колебаний на р2, получим

где ß = р2_ ю2-----динамический коэффициент амплитуды.

Таким образом, при изменении частот собственных р и выну­ жденных со колебаний меняется и деформация системы при ее колебании.

Определив коэффициент ß и статический прогиб уСТот силы Р 0, легко найти А, а следовательно, и динамическое напряжение

фцин ß ffcx -

Таким образом, при резонансе амплитуда вынужденных коле­ баний возрастает при отсутствии сил сопротивления пропорцио­ нально времени. В практике силы сопротивления всегда имеются, поэтому с течением времени, когда работа возмущающих сил равна работе всех сил сопротивления, увеличение амплитуды колебания прекращается.

Резонанс возникает и в случае, когда частота собственных колебаний кратна частоте вынужденных колебаний.

Наличие сил сопротивления всех видов (внешних и внутрен­ них) приводит обычно к быстрому уменьшению амплитуды соб­ ственных колебаний.

К внешним силам сопротивления относятся сопротивление окружающей упругую систему среды, масляного слоя в подшип­ никах и т. д. Внутренние силы сопротивления — это силы вну­ треннего трения в материале. Все эти силы изменяются во времени, а также при изменении деформации упругой системы.

22

§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ

При расчете таких систем на вибрацию пользуются методом сил или методом деформаций.

Сущность метода сил заключается в установлении зависимости смещения масс под действием сил инерции этих масс.

На рис. 6 показана невесомая балка с двумя сосредоточенными массами т 1 и т 2. При колебательном движении под действием сил инерции U1u U2 массы смещаются от равновесного положения

Рис. 6. Невесомая балка с двумя сосредоточенными массами т1 и т2

на величину.у 1 и у 2, причем деформации можно выразить через силы Ux и U2 и коэффициенты влияния 8п \

б„ — смещение массы т х от единичной силы, направленной по ходу смещения массы т 1

иприложенной в точке присоединения массы ту,

б12— смещение массы т х от единичной силы, направленной по ходу смещения массы т 2 и приложенной в точке присоединения массы т 2\

б21— смещение массы т 2 от единичной силы,

направленной по ходу смещения массы т х

массы т 2.

Таким образом, уравнения движения масс примут вид:

Уі ^ т і&пУі т Фѵ2.У2 — 0;

(18)

Уа + т А ІУ і + Щ б22у2= 0.

23

Выше показано, что груз, закрепленный на невесомой балке, совершает гармонические колебания, поэтому решение системы уравнений (18) имеет вид

Уі — Уѵп cos pt; y2 = y20cospt,

Решая эти уравнения относительно у 10 и у 20 и помня, что ко­ лебательное движение системы имеет место только, когда ампли­ туды у 10 и у 20 не равны нулю, найдем уравнение частот. Условие неравенства нулю у 10 и у 20 выполняется, когда определитель последней системы уравнений равен нулю:

(1 — М и Р 2) — tn,ß12p2

(19)

- тАіР2 (1 — ma522p2)

Отсюда получим биквадратное уравнение с искомой частотой р:

т\т.2 (Ö11Ö22— 612) р4— (шібц -f- m2622) р2 -\- 1 = 0 .

Найдя корни этого уравнения,

получим низшую /сі и высшую /с2 частоту собственных колебаний:

24

Сравнивая выражения (18) и (20), найдем связь между б и q:

Яп = ^11^22 — ^12

частоту /с собственных колебаний балки с несколькими сосредо­ точенными массами по формуле

На рис. 8 приведена схема с четырьмя сосредоточенными мас­ сами.

В этом случае

26

Этот метод можно использовать и для приближенного опреде­ ления низшей частоты собственных колебаний балки с распределен­ ной массой. В этом случае весомую балку заменяют невесомой, нагруженной сосредоточенными массами, которые равномерно распределены по всей длине балки; сумма всех сосредоточенных масс должна быть равна массе весомой балки. Дальнейший расчет аналогичен рассмотренному выше. При этом следует помнить, что чем больше число сосредоточенных масс, тем точнее результат.

§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССЫ

Выделим участок балки элементарной длины и рассмотрим его равновесие при колебательном движении с использованием прин­ ципа д’Аламбера (рис. 9).

На элемент длиной dx и массой qdx (где q — масса единицы

длины балки) действуют: перерезывающие силы Q и Q -f- -|j- dx;

сила инерции q d x ^ §- и изгибающие моменты М и М -\-- ^ - d x .

Пренебрегая бесконечно малыми слагаемыми 2-го и высшего порядков, получим

■ W - Q -

или

дМ Q дх

Дифференцируя последнее выражение по х

dQ _ д2М

дх дх2

и подставляя полученное значение в исходное уравнение, найдем

При изгибе

Е Ѵ = Е І ^ = М.

После двойного дифференцирования этого выражения получим

Следовательно,

или

я

Решение уравнения (27) имеет вид

4я, = сх sin k 01]

28

из которого определяем по справочнику, графически или методом подбора искомое значение р и, следовательно, k 0.

29