книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

со

Г e - s t Р 0 { t ) d t = '

-

^ + Д) і 1 — e (s + а) ф(s + а — а л (s)) —

J

s +

а

I.

о

— [1 —e(s

+

a)] X я (s)Y- ',

s - f a

J

a л (s)

задается

функциональным

уравнением

я (s) =

ß (s +

а — а л (s)),

R e s > 0 ,

| n ( s ) | < l ;

б)

существует

предел

/ ч і

-

I

4\

1

—a ß i

[ 1 - е ( a ) J s +

ae(a) [1 — <p (s)]

и (s) =

lim СО (s,

=

—

-

— — !

'

(7.7)

в)

t->x

1 — с (a) - f ae (a) ф!

s — a - f aß (s)

первые

два момента

времени

ожидания

равны

to

" ß 3

,

№ ] 2

•

Qß2

•

3 [ l - a ß J

^ 2 [ l - a ß J 2

2 [ l - f l ß J

, ae (а) (1 — a ß ^

f

<p3

,

Ф2

,

Фа

)

1 — e(a) +

a e ( a ) œ 1

1 3 [ 1 — a ß j

2 [ 1 — a ß j 2

2 [1 — aß x ]

/ "

(7.9;

З а м е ч а н и е .

Формулы

(7.7) и (6.8) для w(s) совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В. Вывод основной формулы. w(t)

озна­

1)

система

освободится от вызовов,

поступивших до момен­

та t, и

2)

прибор

будет

исправен.

Обозначим

через

Y>\(t)dt вероятность

того,

что

прибор

вы­

шел из строя в промежутке [t, t + dt]. Введением

дополнительного

события найдем соотношения, определяющие со (s, t).

Пусть s > 0

и независимо от функционирования

системы

на­

метром s. Вызов назовем

плохим,

если

во время

его обслужива­

ния происходит катастрофа (вероятность 1—ß(s)).

Очевидно,

что поток

плохих

вызовов — пуассоновый

с пара­

метром а ( 1 — ß ( s ) ) .

Докажем

следующее

соотношение:

t

e-e(i-P(s»t =

e-st о (S ( /)

+ J

Р0

(х)

<r-eO-ßW><^> d [1 — e~sx]

+

о

t

oo

— u)]d[l

— e~sx].

+ j P ^ e - a d - ß * 5 » « ' - " ) ^

j [ l — F(x

(7.10)

о

0

Пусть за время t в систему

не поступают

плохие

вызовы

(вероятность е - °о — ß ( s » ' ) .

Для этого

необходимо

и достаточно:

либо не должно быть катастроф ни за время

t

(вероятность

e~st), ни за промежуток

времени,

начинающийся

с

момента t и

бодна от вызовов, поступивших до момента t, а прибор

исправен

(вероятность

со (s, t));

либо

катастрофа

наступила

до момента

t,

скажем,

в

некото­

рый момент x (вероятность d[l—e~sx\),

в этот

момент

х система

свободна от вызовов, а прибор исправен

(вероятность

Р0(х)),

за

оставшееся время t—х

не поступали

плохие

вызовы

(вероятность

g - a ( l - ß ( s ) ) t f - x ) ) ;

либо

в момент

х

наступила

катастрофа,

прибор

неисправен

(вероятность d [ l — e ~ s x ] ) ,

выход прибора

из строя произошел в мо­

мент u(u^.t)

(вероятность P\(u)du),

восстановление

его

длилось

больше времени t—и (с вероятностью 1—F(x—и)),

за время

t—и

не поступали плохие

вызовы (вероятность

е - ° о — ß f c ) ) « - « ) ) .

Формула

(7.10) доказана.

Замечая, что

I

оо

Г Р1 (и) e-w-mw-u)

du

[1 — F (x — и)] d [1 — e~sx]

l - < p ( s )

j'" Px

(и) e-«o-ß<«»«-«> d [1 — e~su]

(7.11)

s

0

(во внутреннем

интеграле

производится

замена

х—и = ѵ),

на

основании

(7.10)

находим

выражение

для <a(s, t),

задаваемое

формулой

(7.5). В формуле (7.5) неизвестна

лишь

функция

Р\{х).

Г. Вычисление

P\(t).

Для вычисления Рі (0 можно восполь­

зоваться формулами

для w(s, t)

и Р 0 (0 -

Функция

expßs — а +

+ aß(s)]t}

при s> 0

по t

возрастает

до бесконечности

при

t-^oo,

так как при s> 0

функция /(s)=s—a + aß(s)

положительна

и воз­

растает по s. То, что f(s)

возрастает

по s, следует

из того, что

00

/ ' ( « ) =

1 + a ß ' ( s ) =

1 — а § te-sidB{t)>\—

а^>0.

о

Положительность

же f(s)

при s > 0 следует

из

того, что / ( 0 ) = 0 .

Так как при s>0, Ï^O

a>(s, t)

как вероятность

ограничена

и для

s > 0 функция

exp{[s—a + aß(s)]t}

по t

возрастает до

бесконечно­

сти приtf-»-+ oo, то из формулы

(7.10)

имеем

00

оо

^е - [ * - а + а 0 < № Pi

С e-[s-a+aß(snx

р 0 (x) dx +

1 ~JW

(х)

dx =

S ~ L .

О

О

(7.12)

В (7.12)

заменяем s

на

s + a— а л (s),

где

я (s) определяется из

функционального уравнения

n(s) = ß (s +

а —ал (s)), R e s > 0 ,

| я ( з ) | < 1 .

(7.13)

Тогда

на основании (7.13)

заключаем,

что s — a + aß(s)

заменится

на s.

Следовательно,

оо

оо

f <г« Р0 (x) dx +

1-Ф(« + « - а я ( « ) ) _

Рe _ s , р { х ) d x

=

.)

о к

s + a — an(s)

J

1 W

о

о

=

[s + a — an {s)]-1.]

(7.14)

(7.14) является лишь другой формулой записи (7.6).

Д.

Стационарное

распределение времени ожидания. Мы в со­

ной ф. р. времени ожидания co(s)=

lim и (s,

t).

/-»4-°°

(7.5)

Так как при t-*-+oo

правая

часть

представляет

собой

неопределенность типа 0/0 и, следовательно, к нему

применимо

правило Лопиталя, то из (7.5)

легко выводим

co ( s )= гРо» + РіП-Ф(*)1

.

,

(7.15)

ѵ '

s — a + a$(s)

po задается

формулой

(7.3),

а рх

можно

вычислить

из

(7.15).

Устремляем s \

0 в (7.15), что дает

Ро + Ф і " Р і = 1 — a ßi -

( 7 Л 6 )

Ввиду

того

что значение

ро нам

известно,

из (7.16)

вычисляет­

ся рі\

P l

= e (а) [ 1 -

a ß j

+ чѴ (а)}""'.

(7.17)

Формула (7.7)

доказана.

Е. Инверсионный

порядок

обслуживания. Формулу (6.15) из

гл. 2 можно

записать

через

функцию

P\(t)dt

и

вероятность

P2(t)dt

того,

что в

промежутке

[t,

t + dt)

началось

обслуживание

некоторого

вызова.

Тогда

со (s, t) удовлетворяет следующему

соотношению:

( S ,

0 =

Р 0 ( 0 +

j

Pi(u)rfu

j

e-(s+a-an(Smv+u-t)

dp

+

u = 0

v=t—u

t

ÙO

+

j P 2 ( « ) d «

j

r<»+«-««W№+«-0dß(o).

(7.18)

u = 0

v=t—u

Область

интегрирования

по и и

о изображена на

рис.

4.

Зная

Po(t) и Pi(t)dt,

можно

вычислить

P2(t)dt

на

основе сле­

дующих

соображений.

Пусть

в

момент

времени t

наступила

первая

катастрофа.

В момент

t

система

либо

свободна от вызовов, либо восстанавли­

вается,

либо

занята

обслуживанием

вызова. Запишем вероятности этих

трех возможных в момент t состоя­

ний системы через функции Ро(0>

Pi(t)dt

и

P2(t)dt.

1)

P0(t)d[l-e-°<];

Просуммируем

эти

три

вероятности

и

проинтегрируем по

t от О

до оо, что даст нам

единицу:

оо

оо

t

| Р 0 ( * ) г і [ ! - * - « < ] + j

d[l-e-°t]

j

P1(u)[l-F(t-u)]du

+

*=o

u=0

+ j

d[l—

e~st]

j Ря (ы)[1 — B(t — u)]du= 1.

(7.19)

/=o

u=0

оо

оо

оо

s•

Р 0 (t)dt +

( 1 -

Ф ( 5 )

j V * Р , ( / ) d t + ( 1

- ß ( s ) ) j V * ' P 2 ( t ) d t = l .

0

0

0

(7.20)

оо

Отсюда

и из

формул

(7.6) вычисляется

j "

e~siPz(t)dt.

V(t)

есть ф. р.,

определяемая

из

соотношения

v(s)

= G)(s)ß(s),

R e s > 0 ;

(8.10)

в) при

a ß i < l

первые

два

момента

длины

очереди

(точнее

числа

вызовов,

находящихся

в системе

в установившемся

режиме),

времени

ожидания

и времени

пребывания

вызова

в

системе

равны

соответственно

(в

установившемся

режиме,

т. е. при

п-^-оо):

S

kpk

=

P

, {

l )

=

ü ! a _ +

f l ß

+

J

^ E L Ü £ )

ер/

1 (8.11)

2(1—aßi)

M l

2

1— e (а) +

ae (а)

У ^ - Р , ( 1 ) + Р , / ( 1 ) =

+ Д 2

& + - ^ - х

X

3(1 — ар,)

3

1 —3

+

Г

ф %

Gßßii

+ Г І -

1 — « (a ) +2

ее (a ) <Pi

e (a) -f ae (a) фх

,

LL i1

-a—2 e

j'J

2

.

а

[Фз +

ЗРіф2

]

Г

ß-2

Г | е ( а )

а ф

2

+

a

ß i

r

i

+

_ £ ! ß L _ ] +

_ L r

^

] '+

_ L

a 2 fe

,

(8.12)

c o ^ a ^ P ^ l )

— ß l f

cû2

= a - 2 P " ( l )

— 2 ( 0 ^ — ß 2 ,

(8.13)

f i

=

« i + ßi>

У2

= со2

+ 2col ß l +

ß2 .

(8.14)

Б. Одно

вспомогательное

утверждение. Доказательству

теоре­

начал промежутков

занятости, а с другой стороны, необходима

при доказательстве

теоремы.

его, в систему поступят i

( t ^ l )

вызовов.

Положим

Ä ( 2 ) = £ r f c 2 * .

| 2 | < 1 .

(8.15)

Сформулируем

лемму.

Л е м м а 1.

Функция

R(z)

равна

/ g ( z ) = g — L

— + e

( a

)

Ф ( " > - - Ф ( а ) ,

(8.16)

1 — e (a) ф (a)

'

1

— e (a) q> (a)

'

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы .

Каждый

вызов считаем крас­

ным с вероятностью 2(0=^2^1)

и синим

с дополнительной

вероят­

ностью 1—z независимо от цвета остальных вызовов.

Тогда R(z)

—условная вероятность

того, что если после окон­

чания обслуживания некоторого

вызова

система стала свободной,

и заметив, что моменты как окончаний восстановлений

прибора,

так и промежутков обслуживания являются моментами

регенера­

ции (см. § 3 доп.).

ния служит неравенство a ß i < l

и

выводятся

уравнения (8.3)—•

(8.5),

которые после перехода

к пределу при

п-^+оо

превраща­

ются

в формулы (8.6),

(8.9), (8.7),

(8.10). Формула (8.8)

выводит­

ся из

(8.6) и леммы при

z-»-l.

обслуживается первым. Такая дисциплина оказывается

полезной

по разным причинам,

одна

из них — следующая. Пусть

ценность

информации, которую

несет

вызов, с ожиданием быстро

теряется,

распределение можно получить, не основываясь

на результатах § 4

настоящей главы.

Будем считать, что в момент времени t система находится в

одном из состояний Е0, ЕИ

Е2. Прибор в состоянии Е0

исправен,

а система свободна от вызовов. В состоянии Е\

имеет

место вос­

становление прибора. В состоянии Е2

обслуживаются

вызовы.

Ясно, что период регенерации — интервал

времени

между

двумя соседними моментами

перехода

системы

в состояние

Е0.

чавшийся

в

момент

^о = 0, не

закончился, а в момент t система

находится

в состоянии

ЕІ

(і = 0, 1, 2).

Положим

оо

(9.1)

о

Л е м м а

1. Функции

ki(s)

задаются

выражениями

- « ( « + « ) .

R

E S > 0 .

(9.2)

s-\-a

kl(s)

=

e(s

+ a)

1 - ¥ < * > . ;

R e s > 0 ;

(9.3)

a

( l - e ( s

+ a)) 1 — я

(s) + e {s + a)

x

s +

a

s

X

Ф М - Ф ( ' + " - « я М > _ ,

R e

s >

0 ,

(9.4)

s

где

я (s)

определяется

из функционального

уравнения

n{s) =

${s

+ a — an{s)),

R e s > 0 ,

| я ( в ) | < 1 .

(9.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы .

Доказательство

легко

прове­

сти введением катастроф. Например, формула

(9.4),

обе

стороны

которой предварительно помножим на s,

получается

из

следую­

щих

рассуждений.

Пусть первая катастрофа в одном периоде регенерации насту­

пила

в состоянии

Е2

(вероятность

sk2(s)).

Для

этого

необходимо

и достаточно, чтобы

либо

«обобщенный»

период занятости

(см. § 3)

начался

с об­

служивания вызовов, причем до его начала не происходили

ката­

строфы (вероятность —-— (1 — е (s + а)),

за

последующий

период

[s +

a

занятости

наступила

катастрофа

(вероятность

1—я(s));

либо

«обобщенный»

период занятости

начался

с

восстановле­

чания

восстановления

не

было

катастроф

(вероятность

е (s + а) [ф (s) —.ф (s + а—an

(s)]).

Остальные формулы доказываются совершенно аналогично.

Пусть G(t)—ф.р.

длительности

периода регенерации.

Вдаль -

оо

нейшем

нам

приходится

функция

g (s) =

J er-stdG(t).

Функция

g (s) была нами получена

в § 3.

о

Л е м м а

2.

Функция

g (s)

задается

формулой

g (s) = — (

1

— e(s

+ a)) я (s) +

e{a

+s)y(s+a—

an

(s)),

(9.6)

s-j-

a

_

1

1 -

e (a) +

е ( а ) Ф і ] .

(9.7)

Заметим,

что

нам

будут

нужны

не

сами

функции

ki(s)

(г —0,

1,

2) и

g (s),

а

вероятности

пребывания системы

в

состоя­

ниях

Е{

(і = 0, 1, 2)

(вероятности

состояний системы)

в

стацио­

Через Pi{t)

обозначим вероятность того, что в момент t систе­

ма находится в состоянии Eit и положим

р, = lim/>,(*)

(і = 0, 1, 2).

(9.8)

РІ — вероятность

застать систему

в состоянии

в стационарном

режиме работы.

Т е о р е м а 1.

Если gi<oo,

то вероятности

рі

равны:

р0

= ( 1 - а р \ )

? ~ ' ( д ) „

;

(9.9)

1 — е (а) + ае (а) ф х

P l

= (1 _ a ß i )

ïimi

;

(9.10)

P2 = a ß r

(9.11)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

теореме

Смита

(см. § 4 доп.)

РІ

1

^qt(t)dt.

(9.12)

ёі

о

Но

так как

\ql(t)dt

=

kt{Q)

=

\\mkl(s),

J

Н О

то

из

(9.12),

формул

(9.2) — (9.4)

и (9.7)

следуют

формулы

(9.9) —(9.11).

В.

Распределение

времени ожидания

и

времени

пребывания

в системе. Обозначим через W(t)

и

V(t)

ф. р. времени

ожидания

начала обслуживания и времени пребывания в системе

некоторо­

го вызова в стационарном режиме работы

системы.

Т е о р е м ы

2.

Пусть

(р[< + сю

и

a ß i < l .

Тогда

при

инверсион­

ном

порядке

обслуживания

вызова:

а)

имеют место соотношения

со( s )

= p 0

+ P l

1 + Ф ( * + а - Д я ( 5 ) )

(9.13)

о (s) = и (s) ß (s),

(9.14)

где

я (s)

определяется

функциональным

уравнением

(9.5);

6")

первые

два

момента

времени

ожидания и

времени пребы­

вания

в системе

даются

выражениями

o1 =

«>l + ßi;

(9.17)

оа = ш, +

2(0^, + ß r

(9.18)