книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

С помощью введения дополнительного события методом вло­ женных цепей Маркова составляются соотношения для произво­ дящих функций вероятностей состояний системы обслуживания. Указан прием вычисления стационарных вероятностей.

По мере развития теории одноканальных приоритетных си­

и после окончания обслуживания оставляет после себя k\ требо­

и пусть существует предел

Такой предел существует при выполнении условия ненасыщения системы. В работе [80] для СМО с относительным приоритетом (§ 17) было получено уравнение

тетов методом вложенных цепей Маркова вывел для производя­ щих функций РІ(Х) систему уравнений. При суммировании их вытекало уравнение (28). Возник вопрос: для какого класса одноканальных систем с ожиданием и г простейшими потоками урав­ нение (28) остается в силе. Введением дополнительного события

421

ожидающих в очереди требований в моменты окончаний обслу­ живании. Первый момент времени ожидания для системы с чере­

В конце 1969 г. Даниелян [47, гл. 3] разобрал однолинейные системы с чередованием приоритетов, «разогревом» и ненадеж­ ным прибором, обобщающие системы [70, 71]. Прибор предпола­ гался ненадежным в свободном, занятом состояниях, а также при «разогреве». Все распределения длительностей «жизни» и восста­ новлений прибора в этих случаях предполагаются произвольными.

Рассмотрены следующие два случая «разогрева».

1. «Разогрев» первого типа, когда требование, вызвавшее «разогрев», или какой-либо вызов того же приоритета начинает обслуживаться немедленно после «разогрева» (как и в [71]).

2. «Разогрев» второго типа, ф. р. длительности которого не зависит от типа вызова, его вызвавшего, а после «разогрева» обслуживается один из вызовов наивысшего приоритета из ожи­ дающих.

Следуя [80, 70, 71], исследование производилось методом вложенных цепей Маркова с использованием приема введения дополнительного события. Кроме первого момента времени ожи­ дания, получены характеристики, которые найдены в [70, 71].

1 Доказательство приводилось в выступлении И. М. Духовного на Второй Всесоюзной конференции по ТМО в г. Дилижане (1970 г.).

422

§ 11 гл. 2. § 12 посвящен вопросу получения характеристик вре­ мени ожидания вызовом k-того потока в установившемся режиме работы системы для системы с относительным приоритетом и абсолютно надежным прибором сведением системы обслужива­ ния к системе с двумя входными потоками относительным при­ оритетом и ненадежным прибором. В § 15, 16 изложены резуль­

новления прибора сразу поступает на прибор независимо от наличия в очереди вызовов более высокого приоритета. В § 18—20

вызовов более высокого приоритета. В § 18, 19 такая система изучается методом вложенных цепей Маркова. Длительность «жизни» прибора в свободном состоянии распределена по экспо­ ненциальному закону. Рассмотрен случай только неидентичного обслуживания заново вызова, прерванного выходом прибора из

тельным приоритетом, одним прибором, с отказами в свободном

423

Духовный [72] обобщил результаты работы [70]. Он рассмот­ рел смешанную систему обслуживания с ожиданием, чередова­ нием приоритетов и относительным приоритетом. Получены те ж е характеристики, что и в [70, 71].

В гл. 4 [47] разобраны все разновидности систем с абсолют­ ным приоритетом и ненадежным прибором (кроме случаев с идентичным обслуживанием заново), а также метод виртуально­ го времени ожидания для случая надежного прибора и дообслуживания прерванного вызова, который будет описан ниже.

Наибольшее число работ по приоритетам за последние годы основано на методе вложенных цепей Маркова.

Димитров методом вложенных цепей Маркова изучал одноканальную СМО с ожиданием и относительным приоритетом [65].

ф. р. длительности ожидания требований k-того приоритета и сред­ нее время ожидания в установившемся режиме. Заслуга Димит­ рова в том, что он первый заметил применимость метода вложен­ ных цепей Маркова к системе с указанным поступлением.

Независимо от Димитрова Матвеев рассмотрел менее общее поступление вызовов, при котором в один «вызывающий момент» могли поступать вызовы разных типов. Раньше обобщения отно­ сительно входных потоков для приоритетных задач ограничива­ лись предположением: вызовы І-ТОГО потока поступают лишь в «вызывающие моменты», образующие пуассоновый поток с пара­ метром а , - ( і = 1 , г). С вероятностью рм число вызовов приорите­

для исследования одной системы обслуживания с преимуществом [55], которую они назвали системой с изменяющимися приорите­ тами и «разогревом». На один прибор поступают г пуассоновых

обслуживаются в порядке поступления. Имеет место «разогрев»

424

одного и того же приоритета [56] и нашли стационарное распре­ деление времени ожидания для требований і-того потока.

2. В 1969 г. вышла в свет книга Коэна (650 стр.) [145], це­ ликом посвященная одноканальным системам. В ней изучаются приоритетные системы с одним абсолютно надежным прибором и с произвольными длительностями обслуживания требований. Сначала рассматриваются системы с абсолютным приоритетом и

ухода из системы требований приоритета 2 (в эти моменты в си­ стеме вызовы приоритета 1 отсутствуют). Сначала необходимо вычислить вероятности перехода за один шаг, что просто сделать,

ния промежутка до первого после этого момента поступления на

кое. Оказывается, для получения характеристик времени ожида­ ния к СМО с приоритетом и ожиданием можно приспособить метод виртуального времени ожидания. Тогда вместо многомер­ ных марковских процессов изучается одномерная характеристика Wk{t) — время, которое пришлось бы ждать вызову приоритета k> если бы он поступил в момент t.

425

В работе [145] для случая двух потоков находится виртуаль­ ное время ожидания для обоих потоков при абсолютном приори­

приоритета с дообслуживанием виртуальное время ожидания для

мого для окончания обслуживания вызовов обоих потоков, нахо­ дящихся в системе к моменту поступления данного вызова при­ оритета 2, при условии, что после этого момента вход в систему прикрыт, и из непрерывного промежутка обслуживанием вызо­ вов приоритета /, поступивших после данного вызова. Очевидно, что виртуальное время ожидания для вызовов приоритета 2 при абсолютном приоритете с дообслуживанием и относительном при­

Комбинация метода виртуального времени ожидания с прие­ мом введения дополнительного события делает этот метод более экономным, чем метод вложенных цепей. Более того, большинство однолинейных систем с приоритетом и ожиданием, исследуемые методом вложенный цепей, допускают исследование и методом виртуального времени ожидания. Для системы M | G111 оо Кли­ мов впервые в [80] привел этот метод в комбинации с введением дополнительного события. Даниелян [50, гл. 1] показал, что обоб­ щается метод виртуального времени ожидания с введением до­

систем, в которых возможны прерывания с потерей и обслужива­ нием заново. Это дает онование утверждать об ограниченности применения этого метода. На самом деле это не так. Достаточно обратить внимание на следующее обстоятельство. Разновидности одноканальных систем с абсолютным приоритетом и ожиданием

довало обосновать в случае относительного приоритета возможность объеди­

4 2 6

ожидания требований обоих типов. Кроме виртуального времени ожидания исследуются другие характеристики описанной систе­ мы: распределение длины очереди в момент переключения при­ бора с одного типа требований на другой, периода занятости, числа требований, обслуженных за период занятости. Для полу­

типа 2, за время меньше или равно х период занятости не закон­ чился и произошло k переключений, в момент последнего из этих переключений в системе было / вызовов.

Ясно, что при каждом фиксированном k и і просто выяснить, к какому потоку принадлежат эти / вызовов. Моменты переклю­ чений внутри периода занятости образуют марковскую цепь, вложенную в полумарковский процесс , вероятности переходов которого за один шаг просто определяются. Имея эти вероятно­ сти перехода, можно получить рекуррентные соотношения, опре­

сразу после окончания периода занятости системы с несколькими входящими потоками ненулевое время затрачивается на подго­ товку прибора для обслуживания требований определенного по­ тока

Существует еще термин «переналадка»2 , употребляемый для обозначения времени, необходимого для переключения прибора с

останется, независимо от наличия в системе требований типа 2 (1) (в этом смысле имеем систему и с «переориентацией»), немед­ ленно прибор ненулевое время затрачивает на подготовку к об-

427

обслужен». Вычисляются средние времена ожидания начала об­ служивания и числа требований обоих типов в системе.

Меверт [181] рассматривает несколько других правил пере­

обслуживается вызов типа 2, то ничего не происходит. В против­ ном случае в момент окончания периода занятости начинается «переориентация» прибора на обслуживание вызовов типа 2г.

3°. „Switch to 1" и т. п.

"* -*

Для системы М 2 | G 2 | 11 оо |/ 2 с правилом переключения / Ме­ верт [181] в преобразованиях Лапласа вывел распределение вре­ мени пребывания вызовов в системе и периода занятости, а

щим от типа требования, его вызвавшего. В терминах преобразо­

Системы с чередованием приоритетов в случае двух посту­ пающих потоков являются частными случаями систем, появляю­ щихся при составлении математических моделей движения авто­ мобильного транспорта у перекрестков3 .

Допустим, нужно найти распределение длины очереди в мо­ мент времени t. Джейсвел [169] показал, что основным в этом случае является изучение длины очереди внутри периода занято­ сти, далее воспользуемся некоторыми теоремами теории восста­ новления. Длину очереди внутри периода занятости Джейсвел (см. стр. 387) исследует введением дополнительных переменных.

428

дополнительное событие, что значительно упрощает вывод рас­ пределения длины очереди для некоторых одноканальных при­ оритетных систем. В главе 2 изучаются двухприоритетные систе­ мы с ожиданием: в § 1 система с относительным приоритетом и ненадежным прибором; в § 2 разновидности систем с абсолют­ ным приоритетомі . Этот метод нам кажется перспективным, а область его применимости — очень широкой: однолинейные систе­ мы с ограниченными очередями, многоэтапные системы с приори­ тетом и т. д. Указанный метод обобщается на системы с относи­ тельным приоритетом, циклическим обслуживанием, разновидно­

стемы с относительным приоритетом основаны на способах бло­

подразделяются на «поколения». В первое поколение в периоде

=lim Wt(t, x, y). В частности, найдены явные [выражения для пер-

t~~>-{-оо

429

LPT —к увеличению. Пусть имеется СМО с ожиданием и необ­ ходимо выбором дисциплины обслуживания уменьшить длину очереди на первых порах, не прерывая начатых обслуживании. Тогда для всех вызовов нужно принять дисциплину SPT. Факти­ чески в моменты освобождения прибора от очередного требова­ ния известны реализации длительностей обслуживания ожидаю­ щих вызовов. В то же время, если в эти моменты выбирать оче­ редное требование по дисциплине LPT, то такая стратегия приве­ дет к максимально возможному увеличению длины очереди.

В обоих случаях интересны основные характеристики систем. Например, по длинам очередей в этих системах устанавливаются пределы, в которых могут меняться длины очередей в любых системах с приоритетом с теми же входными потоками и ф. р. длительностей обслуживания. Допустим прерывание обслужива­ ния и предположим, что прерванное требование впоследствии дообслужится. Тогда дисциплина SPT дает минимум длины оче­ реди, если вновь поступившее требование может прервать обслу­ живания вызова на приборе, больше длительности обслуживания поступившего вызова.

Часто в СМО требуется определить вероятности критических ситуаций. Состояние системы — в общем случае — случайный эле­ мент, принимающий значения в некотором фазовом пространстве. «Нормальная» работа системы обеспечена, если точка в фазовом пространстве, изображающая состояние системы, не выходит за пределы некоторой заданной области. Выход из заданной области соответствует критической ситуации.

В качестве примера приведем информационные системы, в которых при слишком «долгом» ожидании сообщением, несущим информацию, начала обслуживания ценность информации падает ниже допустимого уровня.

В существующей литературе вопросы такого типа мало за­ трагивались ввиду трудностей аналитического характера. Часто обнаруживается, что задачи разрешаются в терминах преобразо­

на примере однокаиальной системы обслуживания с ожиданием, абсолютным приоритетом и дообслуживанием прерванного требо­

становка задачи принадлежат А. Д. Соловьеву. Тем же вопро-