где |
lie — случайное число вызовов |
приоритета і |
в |
очереди, |
если |
заняты все с |
приборов. |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВЫ |
|
1 |
|
|
(16) |
где |
con — среднее время ожидания |
для |
вызова і-того потока |
при |
условии, что |
он не |
потерян, а |
а* — параметр t-того |
потока. |
|
|
В работе |
[17] |
исследована |
система |
М21 М2 |
] с =• 1 | s <^oo'/î. |
Решена система уравнений равновесия. Приведены рекуррентные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулы |
для |
расчета |
стационарных |
вероятностей |
состояний |
(i, |
n, |
т), |
где |
і— тип требования, |
находящегося |
на |
приборе, |
а |
п и |
m — соответственно |
число |
требований первого |
и второго |
потоков в |
очереди. Получен явный вид |
функции |
распределения |
времени ожидания для требований приоритетного потока. Резуль таты доложены на Первом Всесоюзном научно-техническом сове
щании по |
автоматической |
коммутации |
в 1968 г. [18] и |
обобщены |
Бочаровым |
для системы |
—* |
~* |
! с = |
о |
помощью |
М2 |
1 Е2 |
1 ' s < оо | Д [19] с |
матричных методов [9]. Внутри каждого потока вызовы обслужи
вают в порядке поступления. В компактной |
форме |
приводится |
алгоритм |
вычисления |
стационарного |
распределения. |
|
Пусть |
через р |
(і, |
/, n, |
т) |
обозначена в |
установившемся ре |
жиме вероятность |
состояния, |
при |
котором |
в очереди |
имеются |
п вызовов |
приоритетного |
потока, m |
вызовов |
неприоритетного, а |
на приборе на /-том этапе обслуживания находится вызов при
оритета ï ( ï = l , 2); Р(0) |
—вероятность |
того, |
что система |
свобод |
на |
от вызовов. Здесь распределение времени ожидания в отличие |
от |
[18] для |
требований |
приоритетного |
потока |
удалось |
получить |
не |
в явном |
виде, а через преобразование |
Лапласа—Стилтьеса |
|
|
|
2 |
ni |
s - l |
|
|
( |
J~)nni[P((; |
І, |
П, |
-)~P(i, |
j,n,S-n)]\, |
(17) |
где ѵ,- и nt определяют плотность |
распределения |
Bt |
(t) длительности |
обслуживания |
вызова |
приоритета |
/; |
|
|
|
|
|
B'i (t) = |
f |
' e~vi |
v, = |
n f l t |
(/ = |
1,2); |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я ( 1 ) = £ Я ( - , |
-, s — m, m) — вероятность |
потери |
вызова; |
a точкой |
заменен символ, по всем возможным значениям которого произведено суммирование.
Вычислен первый момент « ц времени ожидания начала об
служивания вызовом приоритета / и вероятность того, что в |
си |
стеме имеется а ^ О вызовов независимо от приоритетности |
их. |
Рассмотрен численный пример. |
|
|
Случай раздельных очередей для системы |
|
М 2 | М] 1 < с < о о |
О < sx < о о |
|
|
fx |
|
разобран в [68]. Марковский процесс, описывающий эволюцию систе
мы, |
задан в следующем |
фазовом |
пространстве: |
|
|
& = |
а = 0, |
с — 1 ; |
(с; |
n, m), п — 0, s{, m > 0}, |
(18) |
где |
а — число |
занятых |
приборов: |
n, m — число требований |
при |
оритетов / и 2 в очереди. Как обычно, выписана система урав нений равновесия. Находятся формулы, выражающие вероят ность потери, функцию распределения времени ожидания и сред нее время ожидания начала обслуживания для требований при
оритета 1 в явном виде, среднюю длину очереди для |
требований |
приоритета |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В той |
же работе |
[68] |
приводится анализ |
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MJ М21 1 0 < st |
< о о |
fx- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 = |
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Над |
пространством |
состояний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; |
|
0, 0) = (0); (k; |
n, |
m); |
k = |
1, 2; п = Щэ^, m > |
0, |
|
|
|
называемых микросостояниями, |
определен |
марковский |
процесс, |
описывающий |
функционирование |
системы. |
Здесь |
состояние |
(k; |
n; m) |
|
означает, |
что |
на |
приборе |
находится |
требование |
при |
оритета |
k |
(k=l, |
2), |
а |
в |
очереди |
имеются |
п требований |
приори |
тета |
1 я |
m |
|
требований |
приоритета |
2. |
|
|
|
|
|
макро |
|
|
Приводятся уравнения равновесия для вероятностей |
|
состояний |
|
Р (k; |
п, |
•) |
и |
Р (k; |
-, |
m) |
(k=l, |
2), |
где Р |
(k; |
n, |
•) |
и |
Р |
(k; |
-, |
m) |
|
есть |
суммы |
вероятностей |
микросостояний |
(k; |
n, |
m) |
по |
всем |
возможным |
пит |
|
соответственно. Из |
уравнений |
равно |
весия для Р (k; п, |
•) |
(k = \, |
2) просто |
получаются соотношения |
|
|
|
|
Р ( 2 ; п, |
• ) = |
( |
— Y P |
( |
2 ; |
0, •) |
( 0 < n < S l ) , |
|
(19) |
|
|
|
|
|
P(2; |
S |
l , |
•) = |
( |
"L |
|
У1 |
^ - P ( 2 ; 0, |
•), |
|
|
(20) |
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
P(2; n, |
-) = |
P(2; |
-, |
•) = ( |
1 + ^-)P |
(2; 0, |
•), |
|
(21) |
где ai, а2 — интенсивности входящих |
потоков, ц,ь р 2 |
— интенсив |
ности обслуживания требований первого и второго потоков. |
Далее, в уравнениях равновесия |
для вероятностей |
Р (k; -, m), |
переходя к производящим функциям, устремляя аргумент преоб
разования к единице и воспользовавшись нормировочным |
усло |
вием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(0) + Р ( 1 ; О, 0) + Р(2; 0, 0) = 1, |
(22) |
вместе с (21) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(2; 0, |
•) = |
02 |
|
|
|
|
Û1 + |
P-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Удается |
определить |
Р (1; |
-, |
|
•) и |
из формулы (22) |
вычис |
лить Р(0) . Теперь просто получить искомые характеристики. |
Для дисциплины относительного приоритета при выборе на |
обслуживание из ограниченной |
очереди |
мы не касались |
случая |
абсолютного |
приоритета |
при становлении |
вызовов в очередь, т. е. |
когда при переполнении |
системы |
|
требования низшего приоритета |
вытесняются поступающими требованиями более высокого при
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оритета. |
Подобные |
задачи |
возникают, |
например, |
при |
анализе |
дисциплин |
диспетчеризации |
алгоритмов |
в |
управляющих |
цифро |
вых вычислительных машинах в зависимости от времени |
задерж |
ки требований и вероятности их потерь. |
|
|
|
|
|
Впервые приоритетная система |
M J M j |
1 < с < оо 10 < s < о о | f\ |
введена Вагнером в |
работе[200], где предложен метод |
вычисления |
вероятности потери требования в установившемся |
режиме рабо |
ты системы. В математическом |
отношении |
метод |
|
Вагнера не |
безупречен. Та же система, что и в £200], |
рассмотрена |
в [82], где |
кроме вероятности потерь найдены: уравнения для вероятностей состояний системы в виде рекуррентных соотношений, среднее время ожидания и средняя длина очереди для требований при
оритета t'(i = l , |
г). Вагнер нашел также среднее время |
ожидания |
требования приоритета /. |
|
|
|
|
Кокотушкин |
и Михалев |
[82] |
сводят |
изучение |
системы |
M r ! M | l - < c < I o o | 0 < s < ; o o ] / i |
к |
случаю |
двух поступающих |
потоков, воспользовавшись тем, что необходимо найти лишь сред ние характеристики, а длительности обслуживания требований из разных потоков неотличимы.
|
Башарин |
[10] в установившемся |
режиме |
работы |
системы |
M f t | M | 1 ^ с < о о |
I s = cx3|/! получил безусловные и |
условные мате |
матические |
ожидания |
числа |
требований |
в |
очереди. |
Системой |
Жк I M I 1 I s < o o I |
/2 |
занимались |
Кокотушкин |
и |
Михалев |
[83, |
84]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В работе |
[11] анализируется |
система |
М 2 | М 2 | 1 | 0 ^ s < o o |f2 |
со следующими двумя |
алгоритмами потери: |
|
|
|
|
1) |
любое вновь |
поступившее |
требование, |
заставшее |
в оче |
реди s |
требований, |
немедленно теряется, т. е. |
дисциплина |
/°; |
2) |
если |
требование приоритета |
і |
2) |
при |
поступлении в |
систему застало все места занятыми требованиями |
приоритета, |
отличного от і, то оно теряется, если же в очереди |
есть |
требова |
ние приоритета і, то замещается требование |
приоритета |
|
і, кото |
рое ожидало |
больше |
всех. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятности состояний системы не зависят от того, какой из |
этих двух алгоритмов выбран. При |
выводе |
ф. р. времени |
ожида |
ния начала |
обслуживания |
автор |
применяет |
первый |
алгоритм |
потерь. Требования |
одного |
и того же приоритета |
обслуживаются |
впорядке поступления.
Вфазовом пространстве определяется марковский процесс
|
|
|
Q-----{(/г, т), |
О < n + |
m < |
s -{- 1}. |
|
Выписываются |
уравнения |
равновесия, |
которые |
удается ре |
шить. Решается |
задача вычисления |
двумерного |
распределения |
сл. в. |
(г|і, |
г]2 ), |
принимающей |
значения |
(n, т) с |
вероятностью |
P (n, т). |
Эти вероятности удается найти. |
|
|
Ф. р. времени |
ожидания |
начала |
обслуживания |
для требова |
ний |
приоритета |
1 |
найдена в |
явном |
виде. Башарин |
показал, что |
в этом случае имеет место формула Литтля [178] |
|
|
|
|
|
а1{1-Р(^+і)}<о11-^Щ1, |
|
|
(23) |
где а\ — интенсивность первого потока; соц — среднее время ожи дания для требования приоритета У; Mqi — средняя длина оче реди из требований приоритета /;
|
&s+i = |
( J (я. т). |
|
|
|
Этим |
самым опровергается |
утверждение |
Литтля |
[178] |
об |
условиях, |
при которых справедливо соотношение |
типа |
(23). |
Ба |
шарин приводит некоторые результаты для средних значений при неограниченной очереди.
Во второй части работы [11] матричные |
методы |
использо- |
ваны для изучения систем М 2 | М 3 ] |
1 < |
sx |
< |
оо /2 , |
т. е. изу- |
|
1 < |
sa |
< |
оо |
|
чается случай раздельных очередей. Потеря требования приори
тета 1 происходит, |
когда |
в момент поступления в системе имеет |
ся уже |
Si + 1 требований |
приоритета 1, |
а потеря требования при^ |
оритета |
2, — когда |
прибор |
обслуживает |
требование приоритета 1 |
и имеется s2 требований приоритета 2, или когда прибор обслу живает требование приоритета 2 и в системе находятся s 2 + l требований приоритета 2. Вытесненное требование (приоритета 2)
возвращается |
в очередь, если в очереди менее чем s2 |
требований |
приоритета |
2. |
Если же число ожидающих |
требований приорите |
та 2 равно |
s2, |
то возможны два варианта. |
В первом |
вытесненное |
требование теряется, а во втором одно из требовании |
приорите |
та 2 замещается |
вытесненным. С точки зрения стационарных |
вероятностей эти варианты не вносят |
разнообразия. |
|
Оба алгоритма |
потерь возможны |
и для случая |
раздельных |
очередей. Указан алгоритм вычисления стационарных вероятно стей состояний. Случай общей очереди рассмотрен (137].
Методы, развитые Башариным, позволяют продолжить изу чение приоритетных систем с ограниченной очередью при нало
жении других ограничений'на характер становления в |
очередь и |
обслуживания |
потоков |
требований. В [68] разобрана |
система |
—* |
—» |
|
|
|
|
|
|
М 2 |Мг| 1 | 0 ^ S i < o o |
I |
с раздельными очередями, |
где для тре- |
|
5 2 |
= ° ° І/а |
|
|
|
|
|
бований приоритета 2 различаются два случая: |
|
|
|
1) когда |
приходит |
приоритетное |
требование, |
неприоритет |
ное, находящееся на приборе, немедленно теряется; |
|
|
|
2) при прерывании |
обслуживания |
неприоритетного требова |
ния |
происходит его |
возвращение в очередь с последующим до- |
обслуживанием. |
|
|
|
|
|
|
Находится производящая функция числа требований приори |
тета 2 в системе. |
|
|
|
|
|
|
Одноканальная пуассоново-эрланговая система с г входящи |
ми |
потоками |
требований, абсолютным |
приоритетом |
и |
дообслужи- |
|
|
|
|
|
—> —* |
|
|
ванием с прерванного |
|
этапа, т. е. система Mh)Ek| |
с = 1 \s = оо | / 2 Ь |
рассмотрена в работе [10]. |
|
|
|
|
Марковский процесс, описывающий эволюцию системы, мо |
жет |
быть задан в пространстве состояний |
|
|
|
|
|
|
Q = {m, m > 0}. |
|
|
|
~» |
|
|
|
|
|
|
Здесь т = ( т ь |
mr), |
а т-,. — суммарное число оставшихся эта |
пов обслуживания для требований приоритета і, находящихся в системе.
Составляются уравнения равновесия |
и |
делается |
переход к |
•производящим функциям |
|
|
|
|
|
|
F V) = 1>(^і, |
• • • - mr )zT |
• • • z?r |
(\zc | < 1, i = 177). |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система |
уравнений для производящих |
функций |
имеет вид |
F (г) ( £г |
a, zli - |
а ) + г£fa( 7^7 - |
1 ) l F <0' |
|
^ ~ F ^ |
*+« » = 0 |
І=І |
' |
(=і |
* 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(і = ~г), |
|
|
(24) |
где а,-—параметр |
t-того |
потока, |
a |
(nt, ѵ( ) |
задает |
распределение |
Эрланга |
длительности |
обслуживания |
вызова |
приоритета г, |
(0' zt) = (0, |
. . . , 0, |
z^^j). |
і |
раз |
r—і раз |
Из уравнений (24) получены как безусловные, так и условные математические ожидания для ряда стационарных характеристик системы.
Рассмотрим полнодоступную систему из с приборов, на кото рую поступают г пуассоновых независимых потоков требований с интенсивностями, зависящими от состояния системы. Пусть требования приоритета і создаются Ni источниками и в системе могут ожидать s требований всех приоритетов, a k — число тре бований приоритета і в системе. Возможные состояния системы принадлежат выпуклой области
Q = |/ f = 0, 1, . . . , min (N{, R), i = 17>; 2 < Я} . i
r
где R = s + с. Отметим, что R < £ W f , причем случай равенства со-
1
ответствует неограниченной емкости системы.
С интенсивностью gi(h) требования приоритета і покидают систему («нетерпеливые» требования). Пусть длительности обслу живания имеют показательное распределение с разными средними для разных потоков, зависящими также и от длины очереди рас
сматриваемого |
потока. |
Такую систему |
обозначают |
через |
|
|
М Й ( М , | С |
+ s < £ A U / £ |
|
(n = 0, 2). |
|
|
|
|
i |
|
|
|
В работе [8] |
исследуются системы |
|
|
|
|
|
М2 ! М2 1 с + s < min |
(Nlt |
N2) | f2 |
(25) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
M a | M 8 ! c + s < i V 1 |
+ i V a | ^ . |
|
Для обоих |
случаев выводятся уравнения равновесия. В первом |
случае считаем |
g\(h) |
=hil\. |
|
|
приоритета 1 |
Во втором |
случае |
для принятых |
|
требований |
рассмотрено стационарное распределение времени ожидания при следующих предположениях:
1) требования приоритета / не покидают систему до завер шения обслуживания;
2)в состоянии ÙR, Т. е. все места заняты, вновь пришедшее требование теряется;
3)требования приоритета 1 обслуживаются в порядке их поступления;
4) интенсивность обслуживания приоритетных требований не
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависит |
от состояния |
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
первой |
системы |
(25) |
при |
г |
( г ^ 2 ) |
поступающих |
пото |
ках вопрос о распределении времени |
ожидания и |
его |
моментах |
для требований |
приоритета |
t (t = 1, |
г) |
пока |
не |
решен, |
причем в |
случае |
ß |
решение |
осложняется тем, |
что |
требования |
низших |
приоритетов могут вытесняться из очереди требованиями |
более |
высоких |
|
приоритетов. В работе [8] затронуты |
также |
вопросы |
оптимизации СМО |
с отказом |
от |
предположения |
о |
линейном |
штрафе |
за |
ожидание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упомянем |
еще |
численное |
|
исследование |
системы |
M 2 I Djj| 1 j s < o o | / i , |
которое |
проводилось при |
помощи |
цифровой |
вычислительной машины «Минск-22» [20, гл. 3 § 6]. |
|
|
|
Для |
значений общей |
нагрузки |
системы |
0 , 6 ^ р ^ 1 , |
2 |
иссле |
довались зависимости вероятности потерь требований приоритет-
ного |
потока |
Яі |
от |
различных параметров |
системы, |
и |
произво |
дилось сравнение |
с |
аналогичными |
зависимостями |
потерь |
при |
бесприоритетном обслуживании, т. е. при дисциплине |
/о. |
Уста |
новлено, |
что при |
равных |
нагрузках |
рі = р2 |
и больших |
соотноше |
ниях |
интенсивностей |
|
обслуживания |
у = |
- ^ - > s |
вероятность |
потери |
яі2 ) |
резко возрастает и приближается к вероятности |
по |
тери |
при бесприоритетном обслуживании. |
Применение |
|
дисцип |
лины |
/? |
|
наиболее |
|
эффективно |
по |
сравнению с |
дисциплиной |
/о при малых значениях |
|
y<s. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Одноканальные приоритетные |
системы |
|
|
|
|
|
1. Попробуем отказаться либо от предположения о пуассо- |
новости |
поступающих |
|
потоков, либо |
от того, что длительность |
обслуживания распределена по эрланговому закону. |
|
|
|
|
Пусть |
длительность |
обслуживания |
распределена |
по |
закону, |
не сводящемуся к смеси эрланговых законов. Одним из основных методов, получивших наибольшую известность при исследовании
одноканальных |
систем с приоритетом и ожиданием, |
является |
метод вложенных |
цепей Маркова, применение |
которого к |
приори |
тетным задачам |
значительно упрощается при |
его комбинации с |
введением дополнительного события. Введение дополнительных событий придает многим соотношениям наглядный вероятност ный смысл [174, 200]. Во всей полноте прием введения дополни тельного события используется Климовым [80].
Работа [80] представляет удачную попытку создания с мето
дически единых позиций цельной теории |
систем |
обслуживания. |
Она |
послужила толчком для |
большого числа публикаций, также |
и по |
приоритетным системам. |
Заслугой |
Климова |
является не |
только то, что он модифицировал прием дополнительных событий
к производящим функциям и применил его для изучения приори тетных систем, но и вероятностная трактовка преобразований Лапласа. Он наметил дальнейшие пути изучения приоритетных систем. Исследования Климова по приоритетным системам про должили его ученики: Матвеев, Владимиров, Гергей, Барковец, Даниелян и др.
Изложим кратко суть приоритетной части работы [80].
Пусть в СМО с ожиданием поступают г |
пуассоновых незави |
симых |
потоков |
вызовов с параметрами аи |
аг |
соответственно. |
Длительность обслуживания вызовов &-того |
потока есть случай |
ная величина с |
ф . р . Bk(t) {k—\, г ) . Длительности |
обслуживания |
(всех) |
вызовов |
в совокупности независимы. |
|
|
Основные характеристики таких систем:
1) период занятости системы обслуживанием вызовом при
оритета |
k и выше (с ф. p. |
ILk(t)), т. |
е. длительности |
промежутка |
времени, |
начинающегося |
с момента |
поступления |
в свободную |
систему, вызова приоритета k и выше, заставшего систему сво
бодной от вызовов, до следующего момента |
освобождения систе |
мы от вызовов приоритета k и выше; |
|
|
|
k |
2) распределение |
времени |
ожидания вызовом |
приоритета |
(т. е. вызовом &-того потока) |
начала |
обслуживания; |
k |
3) распределение |
времени |
пребывания |
вызова |
приоритета |
в системе, т. е. промежутка |
времени |
с момента |
поступления |
в |
систему вызова приоритета k |
до следующего момента ухода его |
из системы; |
|
|
|
|
|
|
4)распределение числа вызовов в системе;
5)распределение числа обслуженных вызовов и т. д.
Для одноканальных систем с абсолютным и относительным
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приоритетом |
в § |
13 |
[80] |
получены |
рекуррентные |
соотношения, |
позволяющие |
шаг |
за |
шагом от |
& = 1 до k = r |
вычислить в |
преоб |
разованиях |
|
Лапласа—Стилтьеса |
ф . р . Tlh(t). |
Для |
вывода |
Щ ( 0 |
оказалось |
необходимым |
попутно |
получить и функции Hh(t) |
—• |
ф. р. длины |
|
промежутка времени, начинающегося с момента по |
ступления |
вызова |
приоритета |
k, |
заставшего |
систему свободной |
от вызовов, |
|
до следующего момента освобождения |
системы |
от |
этого вызова |
и вызовов приоритета выше, чем k. Иными словами, |
Hh(t)—ф.р. |
|
промежутка |
времени |
между любыми |
двумя |
сосед |
ними поступлениями на обслуживание (впервые) вызовов при оритета k внутри периода занятости. При условии ненасыщения системы вычислены первые три момента периода занятости си
стемы |
(П(і) = П г ( г ) ) для относительного |
и |
абсолютного приори |
тета с |
дообслуживанием прерванного вызова, первые два момен |
та для |
случая абсолютного приоритета |
с |
потерей прерванного |
вызова и первый момент для случая абсолютного приоритета с неидентичным обслуживанием заново. При выводе уравнений используется прием катастроф, т. е. вероятностная трактовка пре образований Лапласа. Тем самым, не требуется доказательства
возможности перехода к преобразованиям Лапласа, вопроса о существовании не возникает.
«Окраска» вызовов, т. е. вероятностная трактовка произво дящих функций, используется в § 14 для вывода уравнения, определяющего число обслуженных за период занятости вызовов в случае одного поступающего потока. Но идея вывода приме нима и для приоритетных систем.
В § 15 изучаются системы с ненадежным прибором, отказы
вающим как в свободном, так и в |
занятом состоянии. Метод |
исследования •— метод |
вложенных |
цепей Маркова |
с |
введением |
дополнительного события. Имея |
под рукой результаты § 15, |
легко получить стационарное распределение времени |
ожидания |
начала обслуживания |
требованием |
приоритета |
k |
(k=\, |
г) для |
всех разновидностей |
абсолютного |
приоритета. |
Действительно, |
суммарный поток вызовов первых k—1 приоритетов, являющийся пуассоновый, можно считать за выход прибора из строя с дли
|
|
|
|
|
|
|
|
тельностью восстановления, |
распределенной |
по |
закону |
k |
ïlh-i(t). |
За ф. р. длительности |
обслуживания вызова приоритета |
прини |
мается функция Hk(t). |
А вызовы |
приоритета |
k+l, |
г не |
влияют |
на характеристики й-того потока. |
|
|
|
|
|
В § 17, кроме случаев |
абсолютного приоритета, |
разобран |
случай относительного |
приоритета |
методом |
вложенных |
цепей |
Маркова. Модифицировав доказательство Кестена и Ранненберга, Климов получил рекуррентные соотношения, определяющие про изводящие функции числа требований в системе в моменты окон чания обслуживания вызовов. В установившемся режиме в тер минах преобразования Лапласа вычислено распределение вре мени ожидания для требований приоритета k и первые два мо
мента. |
Порядок |
обслуживания |
требований |
внутри |
каждого |
приоритетного класса предполагается прямым. |
|
|
|
|
|
Из |
рассмотрения в § 22 однородного |
марковского |
процесса |
|
|
|
£ ( 0 |
= |
М 0 , |
о (0, |
l(t)\ |
|
|
|
|
|
в случае одного входящего потока и |
ненадежного |
прибора, |
где |
v{t)—число |
требований |
в |
системе в |
момент |
t; |
a{t)—случайная |
величина, |
принимающая |
значения 0 и 1 и показывающая, в ка |
ком состоянии |
(исправном |
или |
состоянии |
восстановления) |
нахо |
дится система в |
момент |
t, |
а величина |
g (г) |
в |
зависимости |
от |
v(t) |
и a (t) |
есть или |
остаток |
времени |
обслуживания, или |
остаток |
вре |
мени «жизни» прибора, или остаток времени восстановления при бора, получен ряд стационарных вероятностей состояний систе мы: вероятность свободного состояния прибора, вероятность вос становления его, вероятность обслуживания требования в данный
момент. Для |
нахождения же распределения времени ожидания |
начала обслуживания в терминах преобразования |
Лапласа при |
инверсионном |
порядке обслуживания требований |
необходимо |
лишь знание стационарных вероятностей состояний |
системы. |
27* |
|
419 |
Тот же алгоритм позволяет распространить полученный ре зультат на случаи абсолютного приоритета '. В § 33 [80] изучает ся система обслуживания с преимуществом, рекуррентным пото
ком требований и экспоненциональным временем |
обслуживания, |
к которой мы вернемся при рассмотрении такого |
рода систем. |
Во многих случаях перед каждым периодом занятости опре деленное время затрачивается на подготовку прибора к обслужи ванию требований. Это время, в общем случае с произвольным распределением, называется «разогревом» прибора и зависит от типа требования, с которого начинается период занятости. Это
обстоятельство учтено Владимировым и Матвеевым |
[39], где рас |
смотрена |
одноканальная система с ожиданием, |
Относительным |
приоритетом и «разогревом», зависящим от типа |
требования, |
вызвавшего |
его. Кроме характеристик, полученных |
в § 17 [80] |
(не вычислен лишь второй момент времени ожидания), в работе [39] найдена формула, определяющая число требований, обслу
женных за период занятости с учетом «разогрева». |
|
Оказывается, что результаты, верные при ординарном |
пуас- |
соновом |
потоке, удается распространить на случай неординарных |
потоков. |
Барковец [5] приводит результаты вычисления |
первых |
двух моментов времени ожидания начала обслуживания требо ванием &-того потока в установившемся режиме работы системы для случая относительного приоритета с неординарным пуассоновым входом.
|
|
|
|
|
|
|
|
Иногда |
приходится |
терять |
время не только |
на |
«разогрев» |
прибора, |
но и на так называемую |
«переналадку», |
|
перестройку |
прибора, |
при смене типа |
требований на приборе |
при переходе от |
обслуживания |
требований |
одного |
приоритетного |
класса к другому. |
В работе |
[3] для одной приоритетной системы |
с |
ожиданием, |
двумя входящими потоками и переналадкой получены уравнения,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяющие производящие функции числа требований в |
систе |
ме в |
моменты |
окончания |
каждого обслуживания, но решить |
уравнения не удалось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гергей |
[40] рассмотрел |
задачу, когда на один прибор посту |
пают два пуассоновых потока требований. Длительность |
обслу |
живания требования t-того |
типа случайная |
величина |
с ф. p. |
Bi(t). |
При переключении |
прибора |
с требования |
типа |
1 (2) |
на |
обслужи |
вание |
требования |
типа 2 (1) |
затрачивается |
случайное |
время |
с ф. p. C\2(t) |
(C2\(t)). |
Все перечисленные случайные |
величины не |
зависимы. |
Требования типа |
1 и 2 становятся |
в |
отдельные оче |
реди. Если прибор обслуживает требование типа |
|
то |
переклю |
чение происходит в том случае, когда в очереди |
типа / |
требова |
ний нет, а в очереди типа |
2 по крайней |
мере |
п2 |
требований, и, |
обратно, если в очереди типа |
2 требований нет, а в очереди ти |
па 1 |
ожидают |
по крайней |
мере пх требований |
(п{^.\, |
п 2 ^ 1 ) . |
1 |
Результаты |
§ 22 содержатся и в работе [81]. |
|
|
|
|
|
