лений |
прибора принимались за |
показательно распределенные |
сл. в. |
Исследование проводилось |
опять выписыванием уравнений |
равновесия и производящих функций, получаемых на основании этих уравнений равновесия.
Многоканальной системой с ожиданием, г входящими неза висимыми пуассоновыми потоками, одним и тем же экспоненци
альным законом длительности обслуживания |
для требований |
всех потоков, в которой возможно вытеснение |
обслуживаемого |
требования, занимался Брош Израэль [142]. |
|
Требование, поступив в систему и застав все приборы заня тыми, вытесняет с одного из г имеющихся приборов "требование с приоритетом ниже, чем у него. Причем вытеснению подлежит требование, поступившее последним из принадлежащих к потоку с наименьшим номером среди номеров классов, к которым при надлежат обслуживаемые требования. Если поступившее требо вание застает все приборы занятыми и имеет приоритет не выше, чем у требований, находящихся на приборах, то оно немедленно
ставится в |
конец очереди из |
требований |
приоритета |
не ниже его |
и впереди требований с более низким приоритетом. |
Вытесненное |
требование |
присоединяется |
к очереди и |
при новом |
поступлении |
на прибор |
дообслуживается. |
|
|
|
Найдено явное выражение среднего времени ожидания начала |
обслуживания для вновь поступившего |
требования |
приоритета |
іг). Указываются верхняя и нижняя оценки для среднего
времени, отсчитываемого от начала обслуживания требования приоритета i г) до выхода его из системы обслуженным.
Через это время ожидания требованием |
начала |
обслуживания |
могут быть выражены другие характеристики системы. |
|
Такой же многоканальной системе обслуживания |
посвящена |
работа [192]. В ней ищется распределение времени |
пребывания |
требования приоритета |
k(k=l, |
г) |
в системе |
и |
моменты |
этого |
распределения. |
Задача |
в случае |
одного |
прибора |
разрешена |
в [158]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для получения искомых |
характеристик |
автору [192] |
нужна |
стационарная |
вероятность Р (n, k) |
того, |
что |
вызов |
типа k в |
момент своего поступления застает в системе п вызовов приори тета выше k. Так как длительность обслуживания всех вызовов одинакова, то Р(п, k) просто следует из характеристик системы, подобной рассматриваемой, но при одном поступающем потоке вызовов. Теперь остается вычислить условную плотность распре деления времени пребывания вызова в системе при наличии в мо мент его поступления в систему фиксированного числа вызовов более высокого приоритета. Для этих плотностей из вероятност ных соображений выписываются рекуррентные соотношения, ко торые разрешаются в преобразованиях Лапласа при k=l. При произвольном k вычисление преобразования Лапласа от распре
деления времени пребывания |
вызова приоритета k в системе сво- |
26 Зак. S4 |
401 |
дится к решению |
системы линейных уравнений числом на едини |
цу больше числа |
приборов с тем же количеством |
неизвестных. |
Аналогичная система массового обслуживания, но |
без прерыва |
ния, рассмотрена |
в [149]. |
|
|
2. Систематическим изучением многоканальных систем зани |
мается в Штутгардском университете |
группа проф. А. Лотца. |
Остановимся на |
нескольких дошедших |
до нас |
работах этой |
группы. |
|
|
|
Приоритетные задачи возникают не только для систем с ожи данием, но и для многоканальных систем с потерей. Действитель
но, требование, |
поступив |
в систему и найдя все приборы заня |
тыми, замещает |
одно |
из |
обслуживаемых |
требований |
низшего |
приоритета, если |
же |
все |
приборы заняты |
требованиями |
более |
высокого приоритета, |
чем |
поступившее, то |
оно теряется. Поря |
док вытеснения требований более низкого приоритета может быть различным. Из всех этих дисциплин, допускающих прерывание, изучалась лишь та, которая позволяет выталкивать пришедший
последним |
вызов |
с номером |
класса, |
меньше номеров |
классов |
остальных |
обслуживаемых вызовов. |
|
|
|
|
Для систем с |
потерей детально изучены [171] три |
дисцип |
лины вытеснения |
требований |
с приборов |
В я-канальную систе |
му обслуживания |
поступают |
г ( г ^ 2 ) |
пуассоновых |
независимых |
потока требований |
с параметрами аи |
по |
аг соответственно. Дли |
тельность |
обслуживания распределена |
показательному |
закону |
с интенсивностью |
ц. Рассматриваются |
следующие |
три |
дисцип |
лины вытеснения |
требований |
низших |
приоритетов с |
приборов: |
1)«первый пришел — замещен последним»;
2)«последним пришел — первым замещен»;
3)«случайный выбор вытесняемого требования». Вытесненное требование немедленно теряется.
Для дальнейшего изучения системы автор вычисляет стацио
нарные |
вероятности |
рх |
(где х=(Х\, |
.... хг)) |
того, что Х\ |
приборов |
заняты |
требованиями |
приоритета |
1, ...; |
хг |
приборов — требова |
ниями приоритета г. Вектор х определяет |
состояние системы. Как |
известно, в случае |
одного потока |
имеет |
|
место |
формула |
Эрланга |
|
Рх, = |
~ |
, |
А 1 |
= 1 |
^ , |
х х К п , |
(5) |
которая, если принять во внимание, что требования приоритета 1 обслуживаются как если б не было требований других приорите тов, справедлива и для требований приоритета /.
1 Сжатое изложение |
результатов Кацнера, опубликованных в [171], |
мож |
но найти в материалах |
V I Международного конгресса по Теле/рафику |
[172] |
(1970). |
т |
|
Доказывается утверждение, интуитивно очевидное:
(х1 |
+ х2)\-^(А1 |
+ |
А2)Чі\ |
|
At = — , |
xx - j - x2 < |
n, |
i = 1, 2, |
(6) |
т. е. что формула Эрланга верна для, двух потоков требований—• приоритетов 1 и 2. Утверждение справедливо только при показа тельном распределении длительности обслуживания. Из (6) сле дует, что достаточно ограничиться изучением двухприоритетных систем с потерей, так как формулы Эрланга справедливы для произвольного числа i (is^.r) потоков, где за параметр берется число
|
А<І |
= |
А1-\- |
. . . + |
А„ |
Аі |
|
--= |
(/ = |
177). |
|
Основываясь |
на полученных |
вероятностях, |
Кацнер вычисляет |
следующие |
характеристики |
системы |
(в случае двух потоков) : |
|
Px{>t) |
—вероятность |
того, что |
требование, поступив в |
систе |
му, застало ее в состоянии |
|
(х—1) |
и |
обслуживалось |
время, |
боль |
шее, |
чем t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(>t)—вероятность |
|
|
того, что |
произвольное |
поступившее |
требование обслуживалось время большее, чем t; |
|
|
|
вероятности Ра |
( > 0 |
|
и |
Ps(>t) |
|
имеют |
тот же |
смысл, |
что и |
P(>t), |
но |
относятся |
только |
к требованиям, |
обслуживание |
кото |
рых было или не было прервано соответственно. |
|
|
|
Обычным |
методом |
выводятся |
|
дифференциально-разностные |
уравнения для |
Px(>t)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Переход к преобразованиям Лапласа
£X ( S ) - L { P X ( > T ) }
приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Для разрешения системы по формуле Крамера делается попытка вы числения определителей, являющихся многочленами по s. Полу чаются рекуррентные соотношения, позволяющие за конечное число шагов вычислить коэффициенты при всех степенях s этих многочленов. Остальные искомые вероятности выражаются через
Р* ( > т ) .
Вработе [171] приводится большое число графиков, харак теризующих качество функционирования подобных систем.
Дальнейшим обобщением многоканальных систем с приори тетами является предположение об ограниченной длине очереди, переход к анализу смешанных многоканальных систем с приори-
тетами. Одна из разновидностей таких систем при простейших предположениях рассматривалась в работе [141], более разверну тая в [140].
В я-канальную систему с s местами для ожидания поступа ют г независимых пуассоновых потоков требований. Внутри каж
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дого |
приоритетного |
|
класса |
принята |
дисциплина: |
|
«первым |
пришел — первым |
обслужен». |
Длительность обслуживания |
|
(всех |
требований)—экспоненциально |
распределенная |
сл. в. |
|
|
|
Приняты следующие условия. Приборы перенумерованы |
числами 1, n, |
а |
места |
для ожидания — числами |
п+1; |
n + s. |
Пусть |
число требований в системе равно /. Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Имеющиеся |
в |
системе |
/ |
штук |
требований |
занимают |
ме |
ста с |
номерами |
1,/. |
|
Требование |
наивысшего |
приоритета |
из |
всех |
требований |
занимает |
место с |
номером |
1, требование, |
следующее |
по важности |
(приоритету) — место с номером |
2 и |
т. д. до |
/. |
2) |
Если |
|
одно |
из |
требований, |
занимавшее |
|
место |
с |
номером |
ѵ ^ п , |
закончило |
|
обслуживаться, |
то место с номером ѵ |
освобож |
дается. Требования, |
занимающие |
места |
с номерами |
ѵ + 1 , |
/, |
пере |
мещаются |
каждый |
на один |
шаг на места с номерами |
ѵ, / — 1 . |
Требование из очереди, занимавшее место с номером п+1, |
|
пере |
ходит на п-й прибор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і. |
|
3) |
Пусть |
в |
систему прибыло |
требование |
приоритета |
Оно |
становится впереди требований приоритета ниже і и позади тре
бований приоритета і и выше, |
имеющихся в |
системе в момент |
его поступления. Если все n + s |
мест заняты |
требованиями при |
оритета і и выше, то поступившее требование теряется. В про
тивном случае требование |
приоритета і занимает место с |
номе |
ром ѵ ^ / непосредственно |
за требованиями приоритета t и |
выше, |
а требования более низкого приоритета, занимавшие до его по
ступления в |
систему |
места |
с номерами |
ѵ, /, отступают каждое |
на |
один шаг |
на |
места |
с номерами ѵ + 1 , |
Вытесненное с ме |
ста |
(номер n + s) |
требование |
теряется. |
|
Искомые характеристики системы делятся на четыре группы:
1) |
вероятности состояний системы, под которыми |
понимают |
ся вероятности |
<г Pj{t) |
того, что / мест в системе занято требо |
ваниями |
приоритета |
і и |
выше, |
и связанные |
с |
ними |
характе |
ристики; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
вероятности перемещений требования с места на место; |
3) |
распределение |
времени |
ожидания |
для |
|
требований |
каж |
дого приоритета; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
вероятность потери |
требования, как |
для |
вновь |
поступив |
шего, |
так |
и для |
присутствующего в системе, |
что возможно |
при |
поступлении требований более высокого приоритета, чем присут ствующее.
Для вероятностей |
состояний |
системы |
обычным методом |
(в моменты t и t + At) |
выводится |
система |
дифференциально-раз- |
ностных уравнений, сводящаяся в стационарном режиме к систе
|
|
|
|
|
|
|
ме линейных |
алгебраических уравнений. |
|
|
|
Вероятности состояний позволяют просто вычислить стацио |
нарную вероятность того, что место с |
номером і занято |
требо |
ванием приоритета j, среднее число мест, занятых |
требованиями |
приоритета |
і, |
и т. д. В то же время существует много характе |
ристик системы, которые одним лишь |
значением |
вероятностей |
состояний |
не определяются. Для исследования остальных |
харак |
теристик автор вводит принцип «случайного блуждания». |
|
Пусть необходимо определить вероятность Ej того, что тре |
бование, находящееся на месте с номером /, будет |
обслужено. |
Состояниями |
«случайного блуждания» |
будут номера мест, |
кото |
рое наблюдаемое |
требование занимает |
одно за другим. Два со |
стояния |
считаем |
поглощающими. |
«Случайное |
блуждание» |
наблюдаемого |
требования прерывается, |
как только |
оно попадает |
в поглощающее состояние, что происходит либо при вытеснении
требования |
из |
системы |
(состояние n + s+l), |
|
либо |
завершении |
обслуживания |
(состояние О). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
через Y(t) |
номер |
места, занимаемого |
наблюдае |
мым вызовом в момент t, и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р {Y(t |
+ А 0 = j/Y(t) |
= k} = ukJ&t |
+ 0 (M). |
|
(7) |
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+s+l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
Pl{Y(t |
+ Aty=l/Y(t) |
= k}=l. |
|
(8) |
|
|
|
/=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
Uk, j — интенсивности |
|
переходов |
«случайного |
блуждания» |
из состояния k в состояние /. |
|
|
например, что вероятность Zj(x) |
В |
работе [140] доказывается, |
достижения |
наблюдаемым |
|
требованием |
состояния О с |
состоя |
ния / за время, большее |
чем х, |
удовлетворяет |
системе |
дифферен |
циальных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z't |
W = |
j |
и/.fcz k |
(x) — Щ.іzi |
M . |
|
|
(9) |
|
|
|
|
|
fe=i |
= |
()) = £ , . |
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
Z,.(* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + s + l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uk,k= |
|
£ |
Uk,!. |
|
|
|
|
|
0 ° ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
/=0 |
|
|
|
|
|
|
Величины |
Ujtk |
в каждом |
отдельном |
случае |
просто |
находятся |
и вероятности |
(7) |
пригодны |
для |
нахождения |
различных |
харак |
теристик. В работе [140] рассмотрен |
также |
|
случай |
конечных |
источников |
требований. В |
этих |
исследованиях по многоканаль- |
ным системам с приоритетом весьма существенно |
предположение |
об одном и том же распределении длительности |
обслуживания |
для всех требований, так как это предположение позволяет поль зоваться уже известными результатами по многоканальным си
стемам |
без приоритетов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работы [176, 177] посвящены л-канальным приоритетным си |
стемам |
обслуживания |
с |
ожиданием, относительным |
приоритетом |
и постоянной |
длительностью |
обслуживания |
Т. |
Внутри |
каждого |
из приоритетных классов требование, пришедшее |
|
первым, |
пер |
вым же и |
обслуживается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А — оТ\ |
|
|
Пусть |
о — интенсивного |
суммарного |
|
потока |
|
и |
АИ |
А^І, |
А<І |
і |
имеют |
тот |
же |
смысл, |
что и А, |
но |
для |
t-того |
|
потока, |
первых |
потоков, |
первых |
(і—1) |
потоков |
соответственно; |
|
|
|
|
P(>t)—вероятность |
|
того, что |
вызов |
(любой) |
|
ожидает |
вре |
|
|
|
|
мя большее, чем |
t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(>0)—вероятность |
|
ожидания |
(любого |
вызова); |
|
|
|
f ( / ) = P ( > / ) / P ( > 0 ) — в е р о я т н о с т ь |
того, что |
|
вызов |
ожидает |
время |
|
|
|
|
|
|
больше, |
чем t, |
при условии, |
что |
он |
ожидает |
|
|
|
|
|
|
обслуживания; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
(йі •—среднее |
время |
ожидания |
(любого) |
вызова; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шх |
= |
«H/P О |
0) — среднее |
время |
ожидания |
для |
ожидающего |
|
|
|
|
|
|
вызова ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©п — среднее |
время |
ожидания |
|
вызова |
приоритета |
|
|
|
* |
|
і(і |
= 1, |
г); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соа = Щ\!Р ( > 0) — среднее |
время |
ожидания |
ожидающего |
вызова |
|
|
|
|
|
приоритета |
і(і |
= 1, г); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы < п , |
ûj<n, <Й<П, < Й < П имеют тот же смысл, |
что |
и (oiU |
&п |
(но |
для |
вызовов приоритета выше и равно /, или для вызовов |
|
приоритета |
вы |
ше і, соответственно). Так как |
длительность |
обслуживания |
всех |
вы |
зовов |
одинакова, то вероятность |
Р ( > 0) и средние ю*, щ |
ожидания |
поступившего вызова не зависят от порядка обслуживания |
вызо |
вов и, следовательно, совпадают с соответствующими |
характе |
ристиками в случае одного поступающего потока |
с |
интенсивно |
стью а, которые вычислены в |
[146, |
147]. Доказан |
очень |
интерес |
ный |
факт. |
|
|
|
|
|
времени |
ожидания |
|
для |
ожидаю |
Т е о р е м а . Распределение |
|
щих |
вызовов |
приоритета 1 совпадает с |
тем же |
распределением |
времени |
ожидания |
при |
условии, |
что вызовы |
остальных |
потоков |
в систему не поступают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда сразу следует, что на распределение времени ожида |
ния |
первых і потоков, а следовательно, |
и |
|
на |
|
<в<(-і, |
«О<ІІ, |
|
со< г і, |
вызовы |
более низких приоритетов |
не |
влияют. |
Значит |
эти |
величины могут быть получены из [146, 147]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь по формуле полной вероятности легко получить сред |
нее ожидание |
сопДействительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
(12)
В работе [23] Броди и Погосян методами полумарковских процессов получили стационарные средние для ряда характеристик СМО с относительным приоритетом, двумя эрланговыми входящими потеками и показательным рас пределением длительности обслуживания вызовов.
Трактовка приоритетных задач в простейших предположе ниях в терминах случайных блужданий оказалась плодотворной.
Кроме |
[140, |
141] существуют работы [45, 93, 206], в которых иссле |
дуются |
двухприоритетные |
задачи, |
трактуемые |
как случайное |
блуждание |
в четверти |
плоскости. |
|
|
В работе [93, гл. 6, § |
4] даются |
некоторые |
интерпретации |
случайного |
блуждания |
на |
языке массового обслуживания. В то |
же время |
многие задачи |
массового |
обслуживания |
исследованы |
методами случайных блужданий. Например, Громак [45] решил задачу вычисления производящих функций стационарных веро
ятностей состояний для одного конкретного случая |
одноканаль- |
ной двухприоритетной |
системы при простейших |
предположениях. |
Д л я различных двухприоритетных |
систем |
процесс функцио |
нирования |
системы |
исследуется [206] |
расчленением |
временных |
промежутков |
и изучением процесса |
сначала |
на |
промежутках |
простой структуры, потом на промежутках несколько более слож ной структуры и т. д., наконец, на отдельно взятых периодах занятости и одном промежутке регенерации процесса [85] с после дующим переходом при помощи теории восстановления к основ ному процессу функционирования системы. Причем на каждом
таком |
шаге |
используются методы случайного |
блуждания. |
В |
работе [206] рассматривается один прибор, |
на который |
поступают |
два пуассоновых независимых |
потока |
требований. |
Длительности обслуживания их распределены по показательному закону. Прибор переключается с обслуживания требований одного потока на другой в зависимости от длин очередей требо
ваний |
каждого |
потока. |
Состояние системы |
в |
фиксированный |
момент |
времени |
характеризуется точкой (x, у), x, |
у = 0, |
1, |
где |
x и у — число требований |
первого |
и второго |
потоков |
в |
системе |
соответственно. |
Из-за марковского |
свойства |
процесса |
поступле |
ния и обслуживания требований весь процесс можно представить как случайное блуждание по решетке на четверти плоскости. При поступлении требования типа / в систему делается шаг в положительную сторону по х-нанравлению, при поступлении тре бования типа 2 — по {/-направлению.
Ввиду того что в каждый момент времени может обслужи ваться только одно требование, то по отрицательным направле ниям возможен уход лишь в одну сторону. Промежутки между
соседними |
переключениями прибора |
назовем |
циклами. |
Сущест |
вует три |
типа циклов: промежуток |
занятости |
требованиями ти |
па 1, типа 2 и промежуток незанятости прибора. Период заня тости состоит из циклов первого и второго типов. Внутри первых двух циклов переходные вероятности не изменяются. В работе [206] методами случайного блуждания изучаются лишь процессы,
протекающие в цикле |
первого |
типа. |
|
|
|
|
|
|
О правиле переключения, зависящем от состояния системы, |
будем |
говорить, что имеет место переключение, |
когда |
случайное |
блуждание входит в некое множество |
точек. |
Это |
множество |
точек |
называется |
поглощающим |
множеством. |
В |
статье [206] си |
стема |
изучена при следующих правилах переключений |
(для зада |
ния правил |
переключения |
достаточно |
записать |
поглощающие |
множества) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
{(x, |
у) |
: х |
0; 0 < у і ; |
|
|
|
|
|
|
(13) |
б) |
{(x, |
у) |
: x |
0; |
0 < у < & |
или |
у = k; |
0 < х } ; |
|
|
(14) |
в) |
{(x, |
у) : x |
0; |
0 < |
у < k |
или |
у — x + k; |
0 < |
x) (k = |
1, 2, . . . ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
3. |
При разработке сложных современных систем связи, си |
стем |
передачи |
данных, |
|
систем |
управления |
промышленными |
объектами |
с |
применением |
управляющих |
вычислительных |
машин |
и при |
разработке вычислительных систем с разделением |
времени |
возникает |
ряд |
задач |
массового |
обслуживания с |
различными |
ограничениями и многими |
|
потоками. |
|
|
|
|
|
Исследование таких сложных систем имеет свою специфику, которая затрудняет применение известных методов теории массо вого обслуживания. Результаты (если их удается получить) для таких систем весьма громоздки: зачастую их формулировка зани мает больше места, чем доказательство. В замкнутом виде результаты редко удается получить, поэтому возникает необхо димость создания вычислительного алгоритма с развитием чис ленных методов. Анализ численных данных в каком-либо множе стве изменения значений параметров системы может привести к появлению приближенных формул, с достаточной степенью точ ности аппроксимирующих некоторые важные характеристики систем.
При наложении ограничений на длину очереди возможно рассмотрение систем с приоритетным обслуживанием. Требова
ния разных потоков могут образовывать раздельные |
ограничен |
ные очереди, а могут образовать и общую очередь. |
Требование, |
поступив в систему с общей очередью и застав ее заполненной, может потеряться, а может вытеснить из очереди требование более низкого (чем оно) приоритета. В СССР такими многока нальными приоритетными системами с ограниченной очередью систематически занимались Г. П. Башарин и его ученики.
Д ля упрощения дальнейшего изложения приведем классифи кацию СМО сложной структуры, предложенную в [8, 12]1 и яв ляющуюся обобщением классификации Кендалла [117], в соот ветствие с которой СМО представляется в виде а | Ь | с , где сим волы а и Ь, относящиеся к поступающему потоку и длительности обслуживания соответственно, принимают значения из множества {M, E, D, G}, а с, определяющее число обслуживающих прибо ров, может быть любым целым положительным числом или бес конечностью. Здесь
|
|
M — символ, означающий, |
что |
поток |
пуассоновый, |
либо дли |
тельность обслуживания распределена |
по |
показательному |
закону; |
|
|
Е — либо |
поток |
эрланговый, |
либо |
длительность |
обслужива |
ния |
распределена по закону Эрланга; |
|
|
|
|
|
|
|
D — либо |
|
поток |
регулярный, |
либо |
длительность |
обслужива |
ния |
|
константа; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G — либо |
поток |
рекуррентный |
(для |
обозначения |
рекуррент |
ного |
потока |
приняты |
символы |
Gl), |
либо |
длительность |
обслужи |
вания распределена по произвольному закону. |
символами M, Е, |
|
|
Обобщение заключается в следующем. Над |
D, |
G ставится |
стрелка, если |
соответствующая |
характеристика |
относится к многомерному случаю. Число |
общих |
мест для ожида |
ния обозначается символом s. Если рассматривается случай раз
дельных очередей, |
то символ s имеет индекс i (s^ |
для очереди |
|
|
—* |
из требований t-того |
потока. Если вместо а стоит, |
например, Мг, |
то в систему поступают г пуассоновых потока требований. Ин
декс г снизу |
у значения, |
принимаемого |
символом |
Ь, указывает |
на то, что длительности обслуживания требований |
разных |
пото |
ков неодинаково распределены. |
Если же |
они одинаково распре |
делены, то индекс г будем опускать. |
|
|
|
Дисциплина обслуживания |
требований |
в системе обозначает |
ся символом |
$==(і' = 0, |
1,2; |
/ = 0,2), |
который |
ставится |
при |
классификации после числа обслуживающих приборов. Нижний индекс характеризует дисциплину выбора требований из очереди на обслуживание: О — обслуживание любое бесприоритетное; 1 — с относительным приоритетом; 2 — с абсолютным приорите том. Верхний индекс символа / характеризует дисциплину поста новки требования в очередь: О — бесприоритетная постановка (требование, заставшее все места занятыми, теряется); 2 — с аб солютным приоритетом (требование, заставшее все места заня тыми, вытесняет из очереди одно из имеющихся в очереди требо ваний с наименьшим приоритетом); â\ означает бесприоритетную дисциплину выбора требований из очереди в порядке их поступ ления.
У символа / может быть |
два верхних индекса. Так, f 0 v |
озна |
чает, |
что при постановке в очередь приоритет не действует, |
т. е. |
1 |
Работа [8] |
докладывалась |
на секции исследования операций 23 |
сессии |
НТО Р и Э им. А. |
С. Попова 4 мая |
1967 г. |
|
при переполнении очереди теряется либо само вновь поступившее
требование |
(и = 0), либо |
требование того же вида, что и вновь |
поступившее |
( у = 1 — т о , |
которое ждет |
больше всех; |
ѵ — 2 — то |
которое ждет меньше всех и т. д.). |
приоритета і(і=\, |
г—1) в |
Если при поступлении |
требования |
момент переполнения очереди оно вытесняет из очереди одно из
имеющихся |
в |
очереди |
требований |
с наименьшим |
приоритетом |
/ ( і < / ^ г ) , |
то |
будем обозначать |
этот алгоритм через f2w, |
где вто |
рой индекс |
w приводится при |
необходимости |
указать, |
|
какое |
именно требование приоритета / |
вытесняется |
из |
очереди |
(первое, |
последнее, любое). Второй нижний |
индекс tnyf |
может быть |
только |
в случае абсолютного |
приоритета |
и указывает, |
что делать |
с вы |
тесненным |
требованием. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Остановимся на работах по |
приоритетным |
системам |
группы |
Г. П. Башарина. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система |
с относительным |
приоритетом |
при |
ограниченном |
числе мест для ожидания впервые была рассмотрена в [9]. Мат ричными методами исследовались системы
М 2 I M I 1 < с < оо j S,, S, <Г о о /1.
т. е. случаи общей очереди и раздельных очередей при двух поступающих потоках. Составляются уравнения равновесия, выво дятся рекуррентные формулы, позволяющие вычислить стацио нарное распределение вероятностей состояний (0), (i, n, т) системы.
Обобщением работы [9] является работа [82], где методом [9] исследуется система
М Л | М ! l < c < o o | s < o o j / ? .
Авторы [82] интересуются вероятностью потери требования, сред ней длительностью ожидания и длиной очереди требований при
оритета i |
(і=\, |
г). Для получения средних значений |
для |
вызовов |
і-того потока |
можно |
произвести |
объединение первых |
і—1 |
пото |
ков й последних г—і. Поэтому составляется |
уравнение |
равнове |
сия |
для вероятностей |
состояний |
(с, П\, п2, |
я 3 ) , |
что |
|
означает: |
все |
с приборов заняты, в очереди |
находятся |
п\ вызовов |
первых |
і—1 |
потоков, |
/г2 вызовов |
приоритета і |
и /г3 |
вызовов |
последних |
г—і |
потоков. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
Qa — состояние |
с u заявками |
в системе |
и мы не |
будем |
различать заявки, то вероятность P(QC+S) |
|
потери |
вызова |
опре |
деляется по формулам Эрланга. Для стационарных |
вероятностей |
состояний |
(с, |
п ь я 2 , Пз) получены |
рекуррентные |
соотношения, из |
которых эти вероятности |
последовательно |
вычисляются. |
Имея |
распределение |
вероятностей состояний, |
можно |
вычислить М | І С , |
