книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

свести их функционирование к процессам «гибели и размножения». Поэтому во многих работах поступающие потоки предполагаются пуассоновыми, а дли­

при выполнении которых, например, пуассоновый поток является единственно возможным [14, 66, ПО].

При простейших предположениях относительно входящих потоков и рас­ пределений длительностей обслуживания требований системы с приоритетом описываются однородными марковскими процессами с конечным или счетным

раических уравнений. При таких простейших предположениях результаты для

вый поток требований имеет абсолютный приоритет перед вторым. Прерванное

по схеме систем с ожиданием. Все характеристики первого потока легко впи­ сываются, если воспользоваться соответствующими результатами такой же системы с потерями и одним лишь преимущественным потоком вызовов. Дей­ ствительно, ведь вызовы преимущественного потока обслуживаются так, словно

в[108]. В установившемся режиме работы системы найдены вероятность сво­

бодного состояния системы; вероятность того, что в системе k(k~^\) вызовов; вероятность потери вызова; распределение времени ожидания и среднее число занятых приборов.

Оптимизация приоритетных систем

Первой работой по оптимизации приоритетных систем, опуб­ ликованной в СССР, является статья Бронштейна, Райкина, Рыкова [24], в которой рассмотрена однолинейная система мас­ сового обслуживания (СМО) с потерей. На прибор поступают г независимых простейших потоков требований с интенсивностью поступления требований t-того потока ( і = 1 , г) и показательными распределениями длительностей обслуживания требований каж­ дого потока, различными для разных потоков. В установившемся режиме работы системы изучены два случая: с абсолютным приоритетом и без приоритетов. Производится анализ системы.

391

Найдена стационарная вероятность РІ того, что обслуживается требование t-того потока.

Авторы работы [24] руководствовались следующими сообра­ жениями. Как с практической, так и с теоретической точек зре­ ния представляет интерес изучение управляемых СМО. В про­ стейших же предположениях модель такой системы вкладывается в понятие однородного управляемого марковского процесса или цепи, и следует определить оптимальное управление для таких процессов. Но эта задача поддается аналитическим расчетам лишь в некоторых частных случаях. Поэтому возникает потреб­ ность поиска управлений, близких к оптимальным, в более узком классе систем.

ции доли полностью обслуженных, причем за ценность каждого требования принималась числовая величина а. В работе [25] рас­ смотрена система, аналогичная [24], но с ожиданием. За единицу времени ожидания начала обслуживания требованием І-ТОГО по­ тока назначался штраф а<. В связи с этим и возникал вопрос о минимизации функционала

дания начала обслуживания требованием из ï-того потока. В слу­

случае неравноценных заявок, а именно вопрос минимизации (1). Причем теперь согі означает вероятность того, что заявка из t-того потока будет полностью обслужена. Полученное необходи­

бергу [114], называется система, в которой правило выбора тре­ бований на обслуживание в моменты смены их на приборе опре­ деляется разбиением пространства состояний на области и своим управлением внутри каждой области. Анализ системы без пре­ рывания с динамическими приоритетами и ожиданием [114] про-

392

состояний системы в установившемся режиме дифференцирова­

обыкновенными приоритетами в классе систем с динамическими приоритетами.

Вопрос об оптимальных абсолютных динамических приори­

системы обслуживания. В конце 1967 г. появилась статья Брон­

вания требования і-того потока. Потоки требований перенумеро­

нетронутым обслуживанием требованием £-того типа. В противном случае перед ним имеет преимущество как тронутое, так и не­

393

нии оптимальных правил назначения приоритетов для уменьше­ ния потерь по тому или иному критерию, в выражение для кото­ рого входят лишь средние значения, ищут только средние значения характеристик. Обобщением указанной выше матема­

просами выбора в некотором смысле наилучшего приоритетного правила в однолинейных системах многоэтапного обслуживания с ожиданием. За управляемый параметр берется так называемый

времени пребывания в системе, которые затем и исследуются на оптимальность.

В работе [36] продолжается изучение систем с динамически­ ми приоритетами. Рассмотрена /г-канальная система, куда посту­

дать, авторы доказали, что следует всегда независимо от состоя­ ния, от интенсивностей поступления и от средней длительности обслуживания брать на обслуживание из числа ожидающих тре­

сти обслуживания и определил условия выигрыша при введении относительных и абсолютных приоритетов по сравнению с бес­ приоритетной системой, а также условия выигрыша при замене дисциплины относительного приоритета на абсолютный. Количе­ ственные оценки зависимости величины выигрыша от различных параметров системы находятся для двухприоритетной системы. Автор [87] проводит исследования, пользуясь выражениями для средних значений, взятых из [117] и [135].

До сих пор говорилось лишь о системах с простейшими вхо­ дящими потоками. Предположение о простейшем характере вхо­ дящих потоков не всегда соответствует действительности (напри­ мер, если число контролируемых объектов невелико), а каждый

394

объект может находиться в одном из двух состояний (в нормаль­ ном и требующем восстановления). В этом случае следует рас­

«объектов». За единицу времени простоя объекта из і-той группы

систем приведет к системам с конечными источниками и приори­ тетами.

В статье Правоторовой [112] рассмотрена задача о станках. Длительности исправной работы станков из разных групп экспо­ ненциально распределены с разными параметрами. Длительности ремонта станков из разных групп различны и распределены по произвольному закону. В моменты {th} окончания ремонта каж­ дого станка принимается решение: если ремонта ожидают станки из разных групп, то из какой группы выбрать станок на ремонт.

же это требование случайное время, распределенное по показа­

если заданы потери от простоя обслуживающего прибора и от ожидающих требований обоих типов.

Изучению систем с конечными источниками и приоритетами большое внимание уделено в книге Джейсвела [169].

395

Желание оптимизировать СМО по какому-либо критерию приводит к появлению новых математических моделей. Из-за отсутствия априорных знаний характеристик входящих потоков приходится организовать приоритеты уже в ходе работы системы. В таких случаях предлагаются автоматные модели организации работы СМО. Например, в [105] приводится одна такая модель.

СМО состоит из L источников и k каналов. Время дискрет­ но с шагом А^. За интенсивность входящего потока принята ве­

требования из t'-того источника в непрерывном времени. Этому

требования. Если длительность обслуживания поступившего тре­ бования из і-того источника меньше некоторого N, то автомат Л,

ному требованию, тем большим приоритетом это требование сле­ дует наделять.

В [34] рассмотрена модель, в которой автоматы поставлены в соответствие обслуживающим приборам. Тогда число номеров срочности (приоритетов) не превосходит числа приборов, а номер требования, имеющего право на приоритет, соответствует опре­ деленному прибору.

. Оптимальные приоритеты по критерию (1) при пуассоновых входящих потоках в случае абсолютного приоритета назнача­ лись в предположении экспоненциальное™ распределения дли­

живания, поэтому ограничения должны налагаться лишь на пер­

396

что в случае двух поступающих потоков оптимальное правило приоритетов сохраняется в классе относительных, абсолютных и смешанных (в смысле работы [26]) приоритетов. При г ^ 2 можно сделать вывод только о первом потоке. Высший приоритет сле­ дует отдавать потоку с максимальным отношением - p - ( і = 1 , г).

Рп

Так как среднее время дообслуживания в системе с абсолютным

момента, что имело место при пуассоновых входных потоках, то

рии эффективности, но для произвольного г, получен Шраге [190]. По обобщенному приоритетному правилу возможно как пре­ рывание обслуживания требования, так и отказ от прерывания.

место к данному моменту прерываний обслуживания этого вызо­

В одноканальную СМО поступают требования, относящиеся к г

Вызовы внутри каждого класса обслуживаются в порядке по­ ступления.

начинается с той точки, на которой обслуживание было прервано.

397

служивания вызовов разных классов наложены ограничения, что

потоками и произвольными распределениями длительностей об­ служивания требований.

Поступающее в систему требование приоритета і замещает на приборе требование приоритета /, если уже затраченное на

обслуживается. В очереди требования приоритета і при і < / рас­ полагаются впереди требований приоритета /. Задача состоит в вычислении в установившемся режиме средних длин очередей и

1 Вопрос выбора Т с целью минимизации функционала типа (3) со стои­ мостью прерывания равным нулю при двух поступающих потоках затронут и в книге [169, гл. V I , п. 4] .

398

вычисления средних значений времени ожидания для данной си­ стемы. Заметим, что Бронштейн и Розенталь получают все необ­

ний, например при обслуживании судов в портах, организации ремонта обо­

тока. Делается следующий вывод: при малой нагрузке системы влияние конеч­ ного числа требований незначительно, по мере насыщения оно прогрессивно возрастает.

Духовный [69] нашел правило выбора оптимальных приори­ тетов в с-линейной системе с г входными пуассоновыми потоками и показательным законом распределения длительности обслужи­

при поступлении переполненную очередь, вытесняет оттуда тре­ бование с наименьшим приоритетом из имеющихся в очереди. Выбор на обслуживание из очереди осуществляется по правилу

требований, a тіи — вероятности потери требований приоритета k ( £ = 7 7 7 ) .

Вопросам оптимизации СМО, включающем в себя системы с относительным приоритетом и с чередованием приоритетов, по­

ограничиться лишь задачами выбора рациональной дисциплины обслуживания по критериям типа (1). Это подтверждается необ-

39Э

ходимостью искать и нелинейные критерии, по которым произво­ дится оптимизация систем, учитывающие, например, дисперсию времени ожидания, изменение штрафа за единицу времени пре­ бывания требования в очереди в зависимости от длины очеред­ ности, от момента времени, прошедшего либо с начала функцио­ нирования системы, либо с начала последнего периода занято­ сти, либо с момента поступления вызова в систему и т. д.

Креденцер [89] проводит анализ двухприоритетной системы с ожиданием, где длительности обслуживания вызовов обоих пото­

стеме. Так как длительность обслуживания всех вызовов одина­ кова, то объединением потоков в один суммарный находится среднее число всех вызовов в системе, а следовательно, и среднее число вызовов приоритета 2. Полученные средние значения использованы для определения стратегии назначения интенсив-

400