книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

§ 5. Тождество Вальда

Рассмотрим сумму случайного числа случайных слагаемых

s v = Ii ~t~ • • • + iv -

Предположим, что

1)—взаимно независимые сл. в.;

381

Цепь Маркова называется неприводимой, если из любого состояния можно перейти в любое состояние за конечное число шагов, а именно:

пары натуральных чисел і и / наибольший общий делитель чисел

382

ся вполне монотонной, если она имеет производные ф("> всех по­ рядков и

Следовательно, функция и является производящей функцией ве­

383

1)w(a)=b,

§ 9. Некоторые свойства случайных величин

рр

i + . P { l . Ê h „ - ï l | > ^ } .

р { і ь - 8 і > £ } < т і ' { ' ' | ' - , | ' > н г } < т -

384

Поэтому

ô

аГ+...+aJt

1

(л)

Лемма доказана.

ОБЗОР ПРИОРИТЕТНЫХ СИСТЕМ

ВВЕДЕНИЕ

Теория приоритетных систем — интенсивно развивающееся направление теории массового обслуживания — к настоящему времени сильно разрослась. Появились сотни разрозненных жур­ нальных статей. Возникла необходимость создания математиче­ ски строгой теории, специфического аппарата исследования, ме­ тодов. Много результатов получено по одноканальным системам с ожиданием и приоритетом. Единственная, появившаяся за ру­

впервые был предложен Гавером и заключается в следующем.

Пусть процесс g(tf) описывает состояние системы массового обслуживания или определяет некоторую характеристику систе­ мы, например длину очереди в момент t, число обслуженных к

тить в таковой. Тогда возможно применить хорошо разработан­

длины очереди внутри периодов занятости различных приоритет­ ных систем. Для распределения длины очереди внутри периодов занятости в производящих функциях он получает уравнения в частных производных первого порядка при различных граничных условиях и решает их. Далее можно воспользоваться тем, что пе­ риоды занятости и промежутки свободного состояния прибора образуют альтернирующий процесс восстановления [85]. Следова­

стемам, вышедших до 1968 г., читатель может получить по книге

1 В библиографию включены и работы, упомянутые Джейсвелом, книга которого переведена издательством «Мир» и уже выпущена в свет.

Настоящий обзор преследует цель ознакомить читателя с ре­ зультатами по приоритетным системам, полученными советскими авторами, которые не нашли отражения в книге Джейсвела, а также с результатами как иностранными, так и советскими, по­ лученными в области теории приоритетных задач после выхода ее в свет.

и отличаться друг от друга. Если требования различаются, то возникает вопрос о выборе рациональной дисциплины обслужи­

лучается выигрыш по сравнению с обслуживанием без приорите­ тов. Величина выигрыша существенно зависит от параметров си­ стемы.

В зависимости от того, может ли требование, имеющее пре­ имущество перед обслуживаемым, замещать его на приборе или нет, системы обслуживания с приоритетом подразделяются на системы с прерыванием или абсолютным приоритетом и на си­ стемы без прерывания обслуживания.

вызовов низшего приоритета; вызов же, поступив на прибор, об­

вам этого потока, что означает следующее: вызовы других пото­ ков могут обслуживаться лишь после того, как в системе не останется вызовов приоритета s. После того как будут обслужены все имеющиеся в системе вызовы приоритета s, следующим об­

388

3. Система с изменяющимися приоритетами, в которой перед каждым периодом занятости производится розыгрыш приоритета среди г потоков, в результате чего устанавливается преимущество одних потоков перед другими на один период занятости. В ро­ зыгрыше можно принимать во внимание и интенсивность поступ­ ления вызовов и длительность их обслуживания. Например, дисциплина обслуживания, при которой очередность поступления

прерыванием, классифицируются по тому, как поступают с прер­ ванным вызовом.

ние поступившего вызова; когда система освободится от вызовов

прерванный вызов обслуживается заново. При этом следует раз­ личать два варианта обслуживания заново:

а) Идентичное обслуживание заново, при котором поступают так. Пусть длительность обслуживания, во время которой произо­ шло первое прерывание вызова, равна t. Тогда при новых поступ­

Как правило, во всех вышеперечисленных случаях рассмат­ ривается прямой порядок обслуживания вызовов одного приори­ тета. Некоторые авторы рассматривают также инверсионный порядок обслуживания и случайный выбор из очереди вызовов одного и того же приоритета.

СИСТЕМЫ С Н Е Н А Д Е Ж Н Ы М И П Р И Б О Р А М И

Ввиду усложнения обслуживающей аппаратуры увеличилась вероятность выхода ее из строя. Следовательно, при постановке задач по теории массового обслуживания нужно учитывать и это обстоятельство. С другой стороны, есть много общего между си-

389

стемами массового обслуживания с абсолютным приоритетом и системами с ненадежными приборами. Действительно, поток отказов приборов можно считать за приоритетный поток требо­ ваний, а длительность восстановления прибора за длительность обслуживания требований нового потока. Поэтому работы по за­ дачам с ненадежными приборами можно причислить к работам по приоритетным задачам.

В СССР опубликован ряд работ по системам с ненадежными приборами, принадлежащих в основном Б. В. Гнеденко и его ученикам [33, 41, 74—77, 98—100, 107, 120, 130, 131]. Тематика, предложенная Гнеденко, связала теорию массового обслуживания с теорией надежности.

Марьянович в работе [98] рассмотрел систему с потерями в таких условиях: на п приборов поступает простейший поток тре­ бований на обслуживание, приборы сами могут выходить из рабочего состояния и поступать на восстановление. Отказ обслу­ живающих приборов происходит только в состоянии работы. Требования теряются как в том случае, когда они застают все обслуживающие приборы в состоянии работы или ремонта, так и в момент отказа прибора. Стационарные вероятности возмож­ ных состояний находились в предположении, что длительность безотказной работы прибора равна Н(х), длительность восста­ новления G(t) и длительность обслуживания F(x). В работе ре­ монтных устройств для вышедших из рабочего состояния обслу­ живающих приборов имеется достаточное число, в результате очереди на восстановление не может быть.

Позднее Марьянович обобщил этот результат на тот случай, когда имеются резервные (в разных условиях) обслуживающие приборы.

Подобная же задача, но для однолинейной системы с оче­ редью была рассмотрена им же [100] в предположении стацио­ нарного пуассонового потока и произвольного распределения длительности обслуживания. Изучались случаи, когда выход при­ бора из строя возможен только тогда, когда он не занят обслу­ живанием требований. Длительность безотказной работы обслу­ живающего прибора имеет произвольное распределение; время восстановления имеет также произвольное распределение с конеч­ ным математическим ожиданием. Автор получил интегро-диффе- ренциальные уравнения для длительности ожидания начала обслуживания, условия конечной средней длительности периода занятости, подсчитал среднюю долю времени, в течение которого обслуживающий прибор находится в неисправном состоянии.

В той же работе автор распространил свои результаты на такие случаи: обслуживающий прибор теряет свою работоспо­ собность лишь в период занятости или теряет лишь частично. В том же плане изучались некоторые задачи теории надежности Томко [120].

390