я (0) = |
[ß2 (ст) + |
(1 - |
fc (а)) Ф (a)] |
[1 - |
(1 - |
|
h (g)) Ф (v)I |
|
( 2 . 7 ) |
|
|
|
|
|
• [ф (v) - |
ф (a)] ß x |
(ст) (1 - |
|
ß 2 (ö)) - ф (v) (1 - |
ß x |
(ст)) |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
( Л ) |
= |
[ст • ф (a) + |
a (1 - |
ß 2 (ст)) ф (g) + |
a ß 2 |
(ст)] [1 - |
(1 - |
ß t (ст)) Ф |
(v)] |
+ |
|
|
|
(a + |
a) \ 1 - |
— |
[ |
Ф (v) - |
ф (a)] |
ß x |
(ст) ( 1 - |
ß 2 |
(a)) |
- |
|
|
|
|
|
|
' |
a a |
|
• № ( v ) - c ( o ) J ß 1 ( o ) . ß s ( o ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
- ф ( ѵ ) ( 1 - р \ ( о ) ) } |
|
|
|
|
|
(2.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
через |
U(t) |
условную |
ф. р. периода занятости, если не |
произошло потери |
вызова. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
1. |
Ф.р. |
П(^) |
определяется |
|
соотношением |
|
|
|
|
n(s)=-^— |
|
- iïii2L + _? |
|
îîIfL, |
|
|
|
(2.9) |
|
|
|
|
|
|
ст + |
a |
я х (0) |
ст |
|
- j - |
a |
я 2 ( 0 ) |
|
|
|
где |
ni(s), |
tt2(s), |
яі (0), |
яг(0) |
задаются |
формулами |
(2.2), |
(2.3), |
(2.6) |
и |
(2.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е. Число периодов |
регенерации |
до |
первой потери |
вызова. |
Периодом |
регенерации |
|
процесса |
назовем |
промежуток |
времени |
между двумя соседними моментами времени, когда прибор пере ходит в свободное и исправное состояние, если за этот проме
жуток времени не наблюдалась потеря вызова. |
|
|
|
|
Пусть G(t) |
•—ф. р. периода |
регенерации. |
Очевидно |
|
|
|
|
|
G (t) = [1 — е-(°+а»] |
* П (t) |
и P (А) |
= G (оо). |
|
|
Так |
как |
|
Р(Л) |
есть |
вероятность |
того, |
что |
за один |
период |
регене |
рации вызов не потерян, то [Р(Л)]т а [1—Р(А)] |
— вероятность |
пер |
вой |
потери |
вызова |
на |
(п-И)-том |
периоде |
регенерации |
(л = 0, 1, |
2, ...). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
К — число |
шагов |
(периодов |
регенерации) до |
потери |
вызова, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МЯ, = |
£ |
пР{Х = п) = |
£ |
п[Р(Л)]"->[1— Р(Л)] =1/(1—Р(Л)). |
|
(2.10) |
|
лэа |
|
|
|
л2=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ж. |
Длительность |
периодов |
регенераций |
до |
первой |
потери |
вызова. |
Обозначим |
через |
G(t) |
ф.р. периода |
регенерации |
при |
условии, что за этот период не произошла потеря вызова. Оче видно, что
def |
|
G{t) = [1 — е-(о+в)<]^. П(0 = Р { а < 0 |
(2.11) |
24* |
371 |
Ma — — 1- я,.
a - j - a
Если т — суммарная длительность периодов регенераций до первой потери вызова (включается и период регенерации, за ко торый вызов был потерян), то
x = â 1 + . . . + a x , |
|
(2.12) |
где а.і(і—\, 2, ...)—независимые, |
одинаково |
распределенные |
сл. в. с ф.р. G(t). По формуле Вальда (см. Доп. § 5) . |
|
Мт = Ша • MA, = |
i/fa+fO + |
rti, |
(2.13) |
|
1 — Р (Л) |
ѵ |
' |
3. Асимптотика времени до первой потери вызова при «быст ром» ремонте. Истинное значение времени Ѳ до потери вызова .. заключено между суммами
0 ^ 4 - . . . |
+ о ь _ і < Ѳ < а 1 + . . . + а я = т. |
(2.14) |
На основании (3.14) можно выяснить асимптотическое пове дение длительности работы системы до первой потери вызова при быстром ремонте (ремонт считается быстрым, когда щ мало). Из неравенства 1—e~s x ^.sx (s>0, х>0) следует
|
|
|
|
|
1 — Ф (s) < sep,,. |
|
|
|
|
|
Поэтому при фі-й) равномерно по s в любом конечном |
интер |
вале изменения |
s |
имеем ф(х)->-1. Тогда |
|
из |
(2.8) |
вытекает |
Р(Л) - >1, а из (3.10) |
находим МА,->оо. По теореме |
Пуассона |
[41, |
§ 15] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>х\ |
>е-*. |
|
|
|
(2.15) |
|
Из |
формул (2.2), |
(2.3), (2.6), |
(2.7) и (2.9) легко |
получить |
|
|
я |
<«) |
-th |
+ |
T T Ï Ï { ß |
2 ( ü ) + |
<1 |
- |
Р» < s + f f » } ' |
|
откуда |
вычисляется |
g (s) = Me~sa |
при фх - > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s + a + a { g |
+ a |
[ ^ ~ |
ß |
a ( |
g ) ^ ] } - |
( 2 Л 6 ) |
Отсюда |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последовательность сл. в. jâ„} удовлетворяет усиленному закону больших чисел.
lim 1 "т " '—^~а м _ j с вероятностью 1. |
(2.18) |
Неравенства (2.14) позволяют выписать для [вероятностей сле дующие соотношения:
Из (20) и доп. |
§9"вытекает |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Р 1—^— |
> |
x l = |
е-*. |
|
(2.20) |
ил« |
в более удобной |
для применений форме |
|
|
|
|
|
|
Р { Ѳ < х } ~ |
1 — е |
м « і *. |
|
(2.21) |
Знак ~ означает |
асимптотическую |
|
эквивалентность при |
фі->0. |
Из |
(2.13), (2.14) или из (2.21) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
М Ѳ |
~ |
+ |
+ |
при ф, -> 0. |
(2.22) |
|
|
|
|
1 — Р(Л ) |
г |
Т |
1 |
4 |
' |
|
И. Обслуживание |
N источников. Через Л І - І |
обозначим |
интер |
вал |
времени, |
начинающийся |
с |
момента |
начала |
восстановления |
или первого обслуживания вызова какого-нибудь источника с номером 1, г—1 до первого следующего момента, когда прибор становится доступным для обслуживания вызовов с номерами і, N при условии, что за этот период не наблюдалось потери вызовов 1, і—1. Положим
Результаты для вспомогательной модели дают возможность определить период занятости системы из N источников, вероят ность безотказной работы за время Т и получить интересные асимптотические результаты.
Положим
o-j == 0; ОІ = ах + . . . + щ-і (і = 2,N+ 1). |
(2.23) |
Д ля получения характеристик ï-того источника за выход прибора из строя считаем не только отказ прибора, но условно и появле ние вызова с номером, меньшим чем і. Поэтому интервал доступ ности прибора для і-того вызова распределен по показательному закону с параметром О І - І , Э интервал недоступности длится слу чайное время я;_і (î—l, N). Таким образом, мы получили вспо
могательную систему, |
вписываемую внутрь |
общей |
системы. |
Т е о р е м а |
3. |
Функции |
.ti(s) |
вычисляются |
рекуррентным об |
разом |
по |
формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л, (s) |
= |
|
Я іі |
(s) |
|
(s) |
, |
і = 2, N, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°<+і |
яц(0> |
|
я й ( 0 ) |
|
|
(2.24) |
|
|
|
|
|
|
л1(5)= |
|
&l)(s), |
|
|
|
«ii(5) |
= |
— |
|
|
-\nt-i(s+at) |
|
1 |
O i l |
|
( l - ß i ° x |
|
|
Д (a;, flj, V,-, s) { |
|
|
|
s - r O i |
|
|
|
|
|
|
|
ai |
|
|
|
|
|
X |
(s - |
a,)) Я І _ І *s + |
v,)j 4 |
[ Л І _ ! (s — \ { ) • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oi — V i |
|
|
|
|
|
- n , _ , ( s |
a,)] ß{'> ( s ~ o < ) ß < 2 " ( s - |
|
|
|
"«<s) = -r7 |
! |
r { ß " 4 |
|
|
|
[ l - ß 2 ° |
X |
A(a,-, a,-, Vj, s) I
y (s -:- о,)] Я І _ І (s — а,)\ |
|
|
|
|
• ( l - ß i ° x |
|
(2.25) |
|
|
07- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (S -;- 0L)) Я , _ і ( S — V , ) |
|
|
|
|
|
|
|
A (a„ |
a,, |
v„ s) = |
1 — |
|
o-i |
|
ßl° (s ~ |
ot) X |
|
|
|
|
|
O i - f - S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X [ l - ß 2 ° ( s - - a , ) ] |
<4 |
[Я; _ і (S H- V , ) — Я і - i (s — a,)] — |
|
|
|
|
|
|
|
|
?i |
ri |
«<0 |
|
|
я<_, (s-f-v,). |
|
|
|
|
|
|
[ l - ß S " ( s - r - a , ) ] |
|
|
Соотношения (2.24) и (2.25) получаются |
из (2.2) и (2.3) |
при замене |
ff (s), a, a, |
v, |
ß; .(s) |
( / = 1 , 2 ) |
на |
Я І _ І (s), |
a(, \ t , ah |
ß<-° (s) |
соответст |
венно. |
Ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Через |
обозначим |
событие, |
заключающееся в том, что на |
одном периоде занятости |
я* не потерян |
і-вызов, |
при условии, что |
за это время не потерян |
ни один из вызовов с номерами |
1, і—1. |
Тогда Р(АІ) |
задается |
формулой |
(3.8) с вышеуказанными |
замена |
ми параметров о, |
a, |
ѵ и |
функций |
q>(s), |
ßi(s), |
ß 2 ( s ) . |
|
|
Т е о р е м а 4. |
|
а) |
Р {Ѳ > Т ) = П р (ѳ< > П |
(2-29) |
б) |
при быстрых обслуживаниях |
|
|
Р | Ѳ > Г } ~ е х р { - £ ; ! ^ . 7 } . |
(2.30) |
|
»=і |
|
Формулой (2.30) можно пользоваться при не очень больших значе ниях N, при которых пт все еще" мало по сравнению с параметрами І М - ь 1/а„ 1/ѵ,.
Д О П О Л Н Е Н И Я
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
1. Пуассоновый |
поток |
|
|
Рассмотрим |
поток |
однородных |
событий, |
вызовов. |
Пусть |
U, h,-- — моменты наступления |
событий: |
k~^\. |
Поло |
жим Zu — tu—th-u |
k^l, |
^o = 0. |
Если |
сл. в. Zu, k^ï |
независимы в |
совокупности, одинаково распределены с ф. р. |
|
|
|
Л ( 0 = |
1— e~at, |
а > 0 , |
t>fi, |
|
(1.1) |
то говорят о пуассоновом потоке вызовов; при этом а называют параметром пуассонового потока. Само распределение (1.1) на зывают показательным. Сл. в. |, имеющая показательное распре деление, т. е.
р « < о * ( 1 ~ е ~ а і ' t > 0 > |
а > 0 ' |
|
1 |
О, |
t<0, |
|
|
обладает следующим очень |
важным свойством. Для любого т > 0 |
P{l-x<t,l>T)^P{l<t}. |
отсутствия |
последействия, |
Это свойство, называемое |
свойством |
применительно к пуассоновому потоку означает, что время ожи дания до поступления нового вызова не зависит от того, сколько времени прошло после последнего поступления вызова.
Приведем |
несколько важных свойств пуассоновых потоков |
(с параметром |
а) |
(см. напр., |
[42]). |
|
|
|
|
1°. Обозначим |
через |
Pn{t), |
п ^ О |
вероятность |
поступления |
ровно п вызовов |
в промежутке [0, і]. Тогда |
|
|
|
|
|
P n i t ) |
= |
JElïLe-at. |
|
|
2°. Если Pn(to, |
t) есть |
вероятность |
поступления |
ровно п вы |
зовов в промежутке |
[г'о, U + t], |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(aty |
-at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это свойство |
также |
характеризует |
пуассоновый поток. |
3°. Поступают п независимых пуассоновых потоков с пара |
метрами ai, |
ап |
соответственно. Тогда суммарный поток тоже |
пуассоновый с параметром |
ап |
— аі+ |
... |
+ап. |
|
|
4°. Каждый вызов пуассонового потока с параметром а неза висимо от остальных с вероятностью р просеивается, а с допол нительной вероятностью 1—р остается. Тогда поток просеянных
вызовов — пуассоновый с параметром |
ар. |
|
-* |
|
|
Действительно, пусть Pn(t)—вероятность |
того, что за про |
межуток длины t поступило п вызовов |
просеянного потока. Тогда |
Р Л ' ) = £ Р , ( * ) Р " ( 1 - Р ) ' - * = |
^ е г " , |
что и требовалось доказать.
§ 2. Рекуррентный поток
Рассмотрим ПОТОК ОДНОРОДНЫХ СОбЫТИЙ. ПуСТЬ ^1=^2^5 •••—
моменты наступления событий. Положим Zh = tk—th-u k ^ l , to^O. Если сл. в. 2 д независимы в совокупности и одинаково распреде лены, т. е.
|
|
A(t) |
= |
P{zk<t}, |
|
(k>l), |
|
|
|
то соответствующий поток называется рекуррентным или простым |
потоком |
восстановления. Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
a(s) |
= Me~szk |
(k>l), |
|
|
|
|
|
an(s) |
= M.e-st" |
( я > 1 ) . |
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tn |
— zi + • • • + zn |
|
|
|
|
и zv . . . |
, zn |
независимы |
в |
совокупности, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
an(s) |
= |
[a(s)]". |
|
|
|
(2.1) |
Введем производящую функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ( 2 , *) = |
£ |
2»Р„(0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л ^ О |
|
|
|
|
|
где Pn(t)—вероятность |
поступления |
ровно п вызовов за время t. |
Используем прием введения дополнительного события. |
|
Пусть zNPn(t)—вероятность |
|
того, что за |
время t поступят |
лишь п |
вызовов, причем все п вызовов — |
красные; |
|
|
P (z, |
t) |
— вероятность |
того, |
что |
в [0, |
t] синие |
вызовы не |
по |
ступят. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
f ) d [ 1 - е - » ' ] —вероятность того, что |
|
|
|
J P ( 2 , |
до |
катастрофы |
синие |
о
вызовы не поступят.
|
Введем события: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А — до |
наступления |
катастрофы |
синие |
вызовы |
не поступят; |
Ап |
— катастрофа |
впервые |
наступит |
в |
промежутке |
|
(tn, |
tn+i) |
и первые п |
вызовов будут красные. |
С одной |
стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ( Л ) = £ |
Р(Л„), |
|
|
|
|
|
(2.2) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(An) |
= z"[an(s)-an+l(s)]; |
|
|
п > 0, |
|
a0 (s) |
= |
l , |
|
(2.3) |
a с |
другой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(Л) = |
|
fP(z, |
|
— е - 8 |
' ] - |
|
|
|
(2-4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
(2.1) и (2.4) |
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(z, |
S) = |
|
|
i - i |
, |
|
|
|
|
(2.5) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jt(z, |
s) = |
J V s |
' P ( z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
книге |
встречается |
также |
случай, |
когда |
Лі(t) = |
P{22fc+i^0> |
Л 2 (0 = P{z2 ft+2^0> &^=0. |
Соответствующий |
таким |
сл. в. поток |
называется |
альтернирующим, |
|
потоком |
|
восстановления. |
|
|
|
|
|
|
§ |
3. |
Регенерирующий |
процесс |
|
|
|
|
|
Пусть |
|
(Q, Л, Р) |
— |
вероятностное |
пространство, |
Т=[0, |
о о ] , |
it — случайный процесс со значениями |
в R n |
. Пусть |
существует |
состояние |
l°ŒRn |
процесса |
it такое, что если |
в некоторый момент |
feT процесс |( |
попал |
в |
состояние |
|° |
(т. е. принял |
значение І°), |
то |
дальнейшее |
изменение |
процесса |
не |
зависит |
от |
того, |
каким |
образом это произошло. Моменты, в которые процесс it прини
|
|
|
|
|
|
|
|
мает значение |
і°, называются |
моментами |
регенерации |
процесса it, |
а промежутки |
между |
двумя |
соседними попаданиями |
процесса it |
в состояние І° — периодами регенерации. |
|
|
|
§ 4. Функция восстановления. Теорема Смита |
Пусть |
задана сл. в. І ^ О |
с ф.р. F(x), |
F ( 0 ) < 1 . Функция |
|
|
М(х) |
= G(x) |
+ ^ |
G(x)*[F(х)К |
|
называется |
функцией |
восстановления, |
соответствующей ф.р. F(x) |
с запаздыванием |
G(x). |
Здесь |
G(x) тоже |
некоторая ф.р . Извест |
но, что М(х) конечна при любом конечном х. |
|
Предполагаем существование
оо |
|
а = J*[l — F(x)]àx< |
- f - o o . |
о |
|
Тогда справедлива узловая теорема восстановления или как ее
иначе |
называют |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а С м и т а . |
Для |
любой |
неотрицательной |
функции |
Q(t), |
заданной |
при |
любом |
t^sO, |
невозрастающей |
и |
интегрируемой |
на [О, |
оо), и |
функции |
восстановления |
М(х) имеет |
место |
|
|
|
|
t |
— u)àM |
|
оо |
|
|
|
|
|
lim |
[Q(t |
(и) |
- — Г Q (t) |
dt. |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
Нетрудно |
заметить, что |
если |
имеется |
рекуррентный |
поток |
вызовов с |
ф. р. F(x), то функция |
восстановления М(х) |
при G(x)=F(x) |
|
даст нам среднее |
число поступивших на интервале [0, х] вызовов. |
|
|
|
Из теоремы Смита выводится одна важная теорема, также |
связываемая |
с его именем. |
|
|
|
|
G(t) |
|
Пусть имеется |
регенерирующий |
процесс |
и |
— ф. р. |
длительности |
периода регенерации; |
в каждом периоде |
регенера |
ции независимо от остальных о вероятностью, не зависящей от номера периода регенерации, может осуществиться событие А .
Обозначим ЩА (t)—вероятность |
того, что период регенерации, |
начавшийся в |
момент |
t0=0, |
до момента |
t, не закончился и к мо |
менту t, событие А уже осуществилось; |
р А (t) — вероятность того, |
что к моменту t событие А уже осуществилось. |
Положим |
|
Р(Л) = |
1 і т р л ( 0 |
|
|
стационарная |
вероятность события А . |
|
Т е о р е м а . |
|
|
|
|
|
|
9(A) |
= —[qA(()dt, |
(4.1) |
|
|
|
|
о |
|
где при уі = оо |
предел |
равен |
нулю. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем
|
|
t |
|
|
РА (t) = |
qA(t) |
+ lqA(t |
— и) dM (и), |
(4.2) |
|
|
о |
|
|
где M (t) |
= |
|
|
Так |
как |
qA{t)<\—G |
[t) - * О, |
|
можно применить узловую теорему восстановления.
