книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

*2fc+l (0)

j "

qÀ (u) du = Vl

при n = 2k -r l,

k = 1, 2, ..

42fc(0)

Последовательность

{T„2 )

(0)} определяется

до тех пор, пока

впервые

4 2 )

(0) >

t\l).

Для

/ f

[0, t(i}]

положим

Vt

ЫІІ

( 0))

-

f

a2

(и)

da,

при

xfk

( 0 ) <

r

< T 2 2 f e + i

(0)

т (

2 ) (0)

^ 2 f t W

У2

(0

=

(* =

1,2,

. . . )

(1.5)

K2

( T f f t + i

(0))

+

j

[Q

(«)

-

a2

(u)]

da,

4fe+i<°)

при

Т $ + 1

( 0 ) <

t<T^+2(0)

(Ä =

0,

1, . . . ) ,

причем

V2(^l(0))

= Vn2-Vl

=

V„

Ѵ2(хШ+1

(0)) =

vs.

Ни

одно

из

чисел

т42) (0) не попадает в интервал [0, t\1'] в

случае

VM-Vl>l

qt(u)

du.

На

интервале

(41 > , 41 } ) Ѵ2(0 определяется

формулой

Ѵя (0

= Ѵ 2

( ^ ) -

j

q2{u) du.

(1.6)

.0)

Далее, процесс V 2 ( 0

задается

рекуррентным

образом

при

помощи

чисел

Для каждого

t^>0

существует

натуральное

число

k та­

кое,

что 41 '<С ^ <

4'+і- Если

k — нечетное

число, то

ѴЛ(І)

= ѴЖ)-

{q^u)du.

(1.7)

/ 1 )

'ft

Из (1.7) вычисляется V^{tk)

при четном

k — 2m.

Возможны

два слу­

чая: либо V2(t2l)>Vl

либо

Ѵг(і^)<Ѵн2.

1.

Пусть

V2(t2l)>Va2.

Определим

последовательность чисел т„ 2 ) (т):

%\2)

(яг)

j

q,(u)du

=

V2(t(2l)-Vl,

АП

l2m

(2),

,

j

[Q(u)-qi(u)]du

=VB2;

x

(2)

. >

2

„ _ i

(m)

(2)

+ i

, v

T 2

n

(m)

<72(w)tfu = Vf.

(1.8)

T(

2

2 „(m)

2.

Пусть

l / 2

( 4 m ) < V 2 .

Последовательность

чисел т[2) (m)

в

дан­

ном случае

задаем условием

j

[Q(«)-<7,(«)]

da =

l ^ - V a ( 0 .

(1.9)

Далее,

для

любого

t£(t2x)m,

4 т + і ]

У а

( 0 равно

У2 ( T < 2 n ( т ) ) —

j

° 2

(") du>

П Р И

* С (т|« {m), ті^+і (m)], л = 0,

1 , . . . ,

(2)

т 2 „ ( т )

если

1 / 2 ( T 2 2 „ V ) ) >

Vi;

*

4 ^ (m)

Ѵи2+

j

[Q (u) — q2

(и)] du, при t £ (xgU (/n),

т(22„ (m)],n

=

1,2,...,

о

2 n - l

<m>

(1.10)

t

V 2 ( 4 m )

+

J

[Q(«) - <72 («)]d«,

при

* 6 ( 4 & ,

т! 2 , (т)] ,

,(1)

если

F 8 ( 4 J i ) < V l

Итак,

для

любого

^ £ [ 0 , T]

процесс V2(t)

задается

формулами

(2.7) — (2.10). Описанная конструкция

применима

для

определения

процесса ІЛ,(0 и

т.

д.

А2 £ [0, Т]

образом. Точку х

Построим

множество

следующим

(л; 6 [0, Т])

относим

к множеству

А2 , если:

а)

либо

для некоторого

т > 1

*6(41п-ь 4т],

б)

либо

x 6 (4т, 4т+і] и в то

же время или х£ (4n_i (т) ,

T ( 2 n ( ^ ) ]

Для некоторого « >

1, ИЛИ 1 ^ 2 ( 0 < ^ 2 .

принадлежащую А2 , обозначим через tf\

следующую

после

^|2 )

точ­

ку

из А 2 — через 42)

и т. д.

По индукции метод дает возможность

определить шаг за шагом

от

і =

1 до і = N все процессы

Vt(ï).

Зная

числа

{4°}

и

процесс

Vt{t),

по формулам

(2.6) — (2.10) определяется процесс

Vc+i

(t). Для

этого

следует

в формулах

заменить индекс

/

на і,

а индекс 2

на

і +

1. Затем,

аналогично

построению

А2

строятся

множество

А £ + і

(і = 2, N— 1) и последовательность {4'+1)}-

Считаем, что Vt,

(t), Аг-, {4°}

известны.

Напомним,

что А* со­

стоит

из тех точек

интервала

[0, Т], в

которых

прибор

занят

обслуживанием первых

і объектов; {№}— последовательность чи-

сел, для которой t2h

(k = 0,

1, ...) являются

моментами

отключе­

ния

прибора

от

обслуживания

первых

і

объектов;

t2h+i

(k = 0,

1,

...)—моменты подключения

прибора

к

какому-либо из

первых і

объектов.

Vi(t),

З а м е ч а н и е .

Выше

при

определении

процессов

по­

следовательностей

{t{n}

и множеств Аі ( і=\,

N

мы никаких

огра­

ничений

на

функции

Q(t)

и

q%(t)

не накладывали. На самом

деле следует

наложить

на

них условия, при выполнении которых

последовательность

{№\

при всех

і

является

конечной. Следую­

щее первое условие

регулярности

функций qi(t)

тqt(t)dt<оо,

i=l,N,

0 < Г < о о

(1.11)

о

является достаточным для ?:онечности последовательности

{^л}

при всех і и выполняется

во

всех

практически

интересных

слу­

чаях. В дальнейшем условие (1.11)

предполагается выполненным

для всех 1=1,

N.

В. Периоды

занятости. Обозначим

через

ХА^Х) индикатор

мно­

жества

А,-, т. е.

1,

JCÇ Д „

* w

- u , i *

( 1 Л 2 >

Тогда общее время занятости прибора первыми і объектами на

отрез­

ке [О, Т]

равно

zl(T)

= jx&t(x)dx=

£

[іШ-t^-x],

(1.13)

интервалом Т—4&-ь

где 2k — 1 индекс

наибольшего из

чисел

tnl),

не

превосходящих Т.

При i = N имеем

общее

время занятости прибора

в

проме­

жутке [О, Т].

і-тым объектом за промежуток [О, Т]

Время занятости

равно

В Д 7 ) = 2 , ( 7 ) - 2 ^ ( 7 ) ,

i =

l,N, zo (T) = 0.

(1.14)

Положим

о#> = tn£) -

tn%

( n =

1, 2, . . . ) ,

or„l)

с нечетными нижними

индексами соответствует

длине

не­

первыми і объектами.

Так как Д*_і er А* и A , _ b

А* состоят

из конечного числа

интер­

валов, то множества

£>£ =

Д £ П Л Ѵ - і

= Л г \ Л ; - і

(1.15)

тоже

состоят

из конечного

числа

интервалов.

Начиная

с

нуля,

Ai)

занумеруем

в

порядке

возрастания

концы

интервалов

йп ,

образующих Di.

Таким

образом,

получим

последовательность

{d(n},

которая

имеет тот же смысл для

объекта і, что и

после­

довательность

{4''}

для

первых

і

объектов.

Последовательности

{<№},

і = 1 , N дают

локальную

картину

процесса,

происходящего

на

каждом

объекте в

отдельности.

Если

XDi

(х)

— индикатор

множества

Du то из

(2.15)

следует

Щ (x) =

Ui (х) — Хд,.! (х)

и общее время занятости прибора объектов і по формуле

(1.13)

совпадает с ранее найденным значением

(1.14).

Числа

ein — d2n—î {n =

1, 2, . . . )

дают

длины

интервалов

заня­

тости

прибора обслуживанием объекта і.

Г. Время ожидания. Чтобы получить

времена

ожидания

начала

обслуживания

объектом I,

вспомним,

что

на интервалах (t2m,

4m+i]

определялась

последовательность

чисел

{х(п (m)},

n, m =

1, 2,

i =

2~N.

Пусть

пт

= min ОД

Ѵ

(tri) >

4Г+,}.

(1.16)

Тогда

времена

ожидания

Wm начала

обслуживания объекта

равны

а #

=

max {0,

-

x $ m + i (m)},

m]— О, 1, . . .

(1.17)

Д. Оптимальная

структура управления. Обозначим

/ / ( Q ) =

inf

t =

2JV,

при

фиксированном

Q.

*е[о,гі

Задача заключается в выборе хотя бы одного такого «удов­

летворительного» Q, чтобы за промежуток

[О, Т] объем ни

одного

из

объектов

не

уменьшался

до

нижнего,

т. е.

f i ( Q ) > 0 .

Ясно, что наименьшее значение функции ѴІ{І) при фиксиро­

ванном Q достигается в точках t2k~x\

Учитывая работу [111], можно сказать, что сформулирована

задача управления движения с закрепленным левым

концом

и

ограниченными

координатами.

Так

как

уравнения

движения

(1.1) —линейные

относительно

управления

и

координат

V{(t),

то воспользуемся тем, что в таком случае оптимальное

управле­

ние

Q(t)—кусочно

постоянная

функция,

принимающая

всего

лишь

два

значения,

Qmm = 0

и

Qmax = Q-

Нетрудно

получить

те

значения Q, для которых fi(Q)>0,

t = l , N.

max q1(t).

Действительно, f1(Q1)

= Vu

если

Qx

Выбираем

Q2

таким

образом,

чтобы

/ 2 (Q2) >

0.

Для

этого достаточно

посчитать

Ѵ% (tin),

n=l,2,

...

по

формуле

(1.17).

Затем находим

такое

Q3 ,

чтобы

/з (Q a ) > 0

и т. д.

Наконец,

за

Q принимается

величина

Q

= max (Qv

. . .

, QN).

Модель легко реализовать на ЭВМ, конструируя

алгоритм

по

описанному решению. За конечное число шагов Q вычисляется

следующим

образом.

Выбирается

квант

б > 0 . Далее,

перебором

находим то минимальное k, при

котором

впервые

f2(Qi

+

kà) > 0 .

Тогда

Q2

= Qi + kö и т. д.

В дальнейшем будем называть управлением выбор очеред­

ности

обслуживания

я = ( і ь

iN)

объектов.

Производительность

прибора

считаем

выбранной

оптимальной. Число

в

записи

я

означает, что объект с номером 4 обладает приоритетом k.

Пусть

в начальный

момент

^о = 0 объекты

занумерованы

в

порядке

убывания

интенсивности

(скорости)

потребления

Qi(0)

(i=ÜN),

т.

е.

< 7 і ( 0 ) > ^ а ( 0 ) > . . . > < 7 д г ( 0 ) .

(1.18)

Предположим

для простоты,

что

q%{t)—непрерывные

функ­

ции. Обозначим через sx первый момент времени после

^о = 0, в ко­

торый найдутся і и / (i<j),

так что

<7HS0 <<7j(s i)-

Тогда в силу

непрерывности

Ог(0 будем иметь

>0 . Пусть в точке Si сущест­

венно

меняется

порядок

функций

qi(t),

qnit),

т. е. существует

е > 0

такое,

что

для всех r e [ s b

Si + e)

хотя

бы

раз

нарушены

неравенства

(1.18).

Тогда

существует

такая

перестановка

Я і = ( і ' і ,

tjv) индексов 1, N, что

9іЛ*)>ЯМ>

•••

>4tN(t)

Для всех

t£[sv

sx

+

e).

(1.19)

Затем,

существует

момент

времени

s 2 > S i ,

когда

существенно

меняется порядок (1.19). Вновь берется перестановка

я 2 ,

упоря­

дочивающая функции

Oi(s2 ) и т. д. Таким

образом,

на

интервале

[0,

Т]

находится

последовательность

точек

{sn},

0 =

s0<Si<s2<...

...

< s n

< s n

+ x < ....

На

интервале

{sh,

sk+i)

определен порядок

nk

(kv

. . . ,

kN)

функций q^t),

для

которого

Як, (t)

> <7ft2 (t) > ...

> qkN

(t)

при

всех t € [sk,

sk+i).

Потребуем,

чтобы

функции

qc(t)

удовлетворяли

в т о р о м у

у с л о ­

в и ю р е г у л я р н о с т и .

Для каждого

конечного

Т > 0

существует

конечное п,

при котором

s „ < 7 , < s n + i .

(1.20)

Обозначим

через

п(Т)

число п,

определяемое

условием

(1.20).

Можно показать,

что если

г?.(Г)=0,

то

оптимальный

порядок яо

есть естественный

порядок

(1, 2,

N),

причем

условия

(1.18)

удовлетворены

на

всем

интервале (0, Г). Предположим,

что за

мыми

длительностями г\[1) и г\21) сл. в. Г|і° и ці^ имеют ф. р. В[1)

(t)

и

B 2 l )

(t) соответственно.

Если вызов обслуживается сразу, то обслуживание длится

только

один этап

r\2l)(i=l,N).

Время

ожидания

і-вызова

не

должно превышать сл. в. ^ с ф. р.

1 — е ~ ѵ ^ ( ѵ £ > 0 ) ;

в

против­

ном случае вызов теряется. Если

прерывание вызова

произошло

на

втором этапе

обслуживания, то вызов

возвращается

обратно

обслуживанием заново.

Основная цель параграфа — получение асимптотики

времени

до первой потери вызова при быстром обслуживании.

Попутно

ной системы будет нужна следующая вспомогательная

система

обслуживания.

Ненадежный

прибор

обслуживает

один

вызов

(один

источ­

ник).

Времена

«жизни»

и

восстановлений

прибора

образуют

альтернирующий

процесс

восстановления

и

имеют

ф. р.

1 — е - с т ' ( а > 0 )

и E(t)

соответственно. Если

вызов

находится в

источнике, то время до его

поступления

на

прибор

распределено

по экспоненциальному закону с параметром

а > 0 . Если

в момент

поступления вызова прибор

неисправлен, то

вызов ждет до конца

восстановления.

Если время

ожидания

превосходит сл. в. £, где

P{Z,<Ct}

= 1—e~v t ( ѵ > 0 ) ,

то вызов теряется. В противном

слу­