П р и м е р 2. В схеме со структурой обслуживания вызовов, описываемой графом (рис. 13), имеется три типа вызовов. В систему с входящим потоком поступают вызовы либо типа 2, либо типа 3:
F(z) = q^ + q3z3, <7г + <7з=1;
после окончания обслуживания вызова типа 2 в бункер с вероятностью <7гі поступает вызов типа 1, а с дополнительной вероятностью ^гз = 1—<?2і вызов типа 3:
F2 (z) = qnzx + q23z3;
вызовы типа 1 и 3 после завершения обслуживания не порождают заявок на обслуживание новых вызовов:
F1(z)^Fs(z)^l;
в схеме обслуживания с абсолютным приоритетом возможно прерывание обслуживания лишь вызова типа 3 при поступлении в систему вызова типа 2,
при прерывании в бункер поступает |
вызов того |
же типа 3: |
|
U3(z)^z3. |
Рис. 13 |
Полное время пребывания вызова на приборе. Под полным временем пребывания вызова типа ѵ на приборе будем понимать период занятости прибора самим вызовом типа ѵ, и всеми вызо вами, порождаемыми как вызовом типа ѵ, так и всеми его преем никами.
|
П р и м е р |
1. |
В |
рамках многоэтапной |
системы обслуживания |
гл. 10 это |
понятие совпадает |
с |
введенным |
в § 3 |
гл. 10 и, |
естественно, |
сохраняются все |
полученные там результаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
2. При структуре |
обслуживания, |
описанной |
графом |
на рис. 13, |
имеет место следующая система уравнений |
для определения |
преобразований |
Лапласа—Стилтьеса от функций |
распределений |
полного |
времени |
пребывания |
на |
приборе вызовов |
типа 1, 2, 3 (bi(s), |
bz(s), |
&з(«)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M « ) = ßi(s), |
|
|
|
|
|
|
|
62 (s) = |
ß 2 (s) ^2 (b (s)) = |
ß 2 (s) [g2 1 ßi (s) + |
q23b3 |
(s)], |
|
для |
абсолютного |
приоритета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bs{s) |
= $3(s-\-a-aF(б*, |
|
l))F . (b(s)) + |
|
|
|
|
+ [ l - ß 3 |
|
|
|
|
|
a\F(\) |
— Ft№, |
1)1 |
£/«(6(8))=- |
|
( s + a - f l F ( 0 3 , |
l ) ) ] - ^ - 1 |
- ^ |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
s + a — aF{Q2, |
|
|
|
|
|
|
= |
|
ßs (s + a2) + |
[ 1 - |
ß 3 (s + |
a,)] |
- ^ — b3 (s); |
|
|
для |
относительного приоритета |
|
|
|
s - 7 - a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M s ) = ß s ( s ) .
Решение этой системы следующее: для абсолютного приоритета
|
M * ) = ß i ( * ) . |
|
и , л « / \ Г |
о , V |
, |
(s + g2 ) ß 3 ( s + a2 ) |
|
b a ( s ) = ß a ( s ) |
feßi(s) |
+ |
fe , „ о , • „ •, |
L |
|
|
* + ^ ß s (s + |
62) |
3 4 1
|
и , ч |
< д + а а) Рз (Д + |
"г) . |
|
|
s + a2 ß3 (s + a3 ) |
|
для |
относительного приоритета |
|
|
|
|
|
|
M«) = |
ßi(s), |
|
|
|
*2 (s) = |
Рг (s) ІЯгА |
(s) + |
feß3 |
(s)], |
|
|
Ms) = |
ß»(s). |
|
|
|
В общем случае значения bv(s), |
ѵ=\,Лй |
получаются из систе |
мы |
уравнений: |
|
|
|
|
|
для абсолютного приоритета |
|
|
|
6Ѵ (s) |
= |
ß v (s + a - |
aF (О-1, |
H |
^ + 1 ) ) |
Л, (ô (s)) + |
+ |
[1 — ßv (s + |
a — aF (Ô^-1 |
, |
I ^ - v + i ) ) ] x |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fv |
{b (s)) = |
Fv |
(éx (s), |
ô, (s) |
|
|
(s)), |
|
f/v |
(6 (s)) s |
f/v |
(s), |
b2 (s), |
. . . , |
bjr (s)), |
если прерывание некоторого вызова типа |
ѵ невозможно, то 1—F(0V ~1 , |
1-*°-ѵ-Н) — о и второе слагаемое в (3.2а) |
пропадает: |
для относительного приоритета |
|
bv(s) = ßv(s)Fv(b(s)). |
(3.2о) |
Так как функции F4 (z) и Uv (z) линейные, то при каждом фиксированном s для определения значений frv(s) имеем систему линейных алгебраических уравнений:
для абсолютного приоритета
bv |
(s) = <7ѵо ß v |
(s + o v - i ) + [ 1 — ßv (s + стѵ_і)] |
° ѵ ~ ' Рѵо + |
|
|
s + |
б ѵ - 1 |
Ж' |
|
|
+ 2 |
{<7vt ßv (s + |
ov-i) + [1 - ßv (s + av_i)l 8+~* |
Pvt} 6, (s); |
для относительного приоритета
&ѵ (S) = ßv (S) <7vO + ßv (s) 2 <7ѵт ftt (5).
Д ля определения моментов также получается система ли нейных уравнений. Например, для среднего полного времени пребывания вызова на приборе имеем:
|
для |
абсолютного |
приоритета |
|
|
|
|
|
|
- |
6v l |
m by (s) | s |
= 0 = |
ß v (a |
- |
aF |
( 0 ^ , |
|
1^-v-H)) J i _ |
F v (6 (s)) | s = 0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
+ |
[1 — bv |
(a—aF |
(Ov-1, |
|
|
|
U4(b(s)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(3.3a) |
|
|
|
|
|
|
a — a F ( OVv—I1, ~1JV°—V+l\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
1 — T 7 ^ - 1 , |
l ^ - ^ + ^ ^ O , |
т. е. |
допускается |
прерывание |
обслу |
живания |
вызова типа |
|
ѵ, в противном |
случае |
|
|
|
|
|
|
Ьѵ\ |
= ß v l • |
|
d |
Fv(b(s))\s=0 |
|
|
(3.4a) |
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, |
подставляя |
значения |
Fv(z) |
и |
|
Uv(z), |
|
|
|
|
|
bv\ |
= |
ß v i + |
X Çvxbxi, |
|
|
если 0 v _ i |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
T = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kl = |
— - — [1 — ßv (0V - l)] |
+ |
V { ß v ( < 7 v - l ) <7v |
|
|
|
|
° v - l |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
+ |
[1 — |
ß v ( o v _ i ) ] |
PVT} bxU |
если 0 v - i |
¥ = 0; |
|
для |
относительного |
приоритета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bv\ |
= ßvi |
|
7- Л> (ô (s)) |s=o |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
as |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ßvl + |
|
^ Ѵ ѵ т А і - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
|
Сохраняется система рассуждений гл. 10 при выводе и дру гих характеристик рассматриваемой системы. Приведем еще не
сколько соотношений. |
|
|
|
Период занятости системы. Для определения |
преобразова |
ния Лапласа—Стилтьеса от |
функции |
распределения периода |
занятости системы |
вызовами |
типа ѵ и более высокого приоритета |
и преобразований |
Лапласа—Стилтьеса |
от функций |
распределения |
периода занятости системы вызовами типа ѵ и более высокого
приоритета, |
при |
условии, что он |
начинается с |
обслуживания |
вызова типа |
р, |
р ^ ѵ , |
|
в частности, |
имеют место |
соотношения: |
|
|
0 |
Ѵ |
nv (s) = ^ aT nV T (s), |
(3.5) |
|
|
|
|
t = i |
|
|
|
|
|
|
|
nvx |
= |
Ggx(nv(s), |
|
1 |
s), |
т < ѵ , |
|
|
|
(3.6) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ggx |
( я ѵ |
(s), |
|
s) = GgT (яѵ і |
(s), |
|
я ѵ 2 (s), |
. . . , |
я ѵ ѵ |
(s), |
1, |
. . . , |
1; s) |
|
П р и м е р |
2. Для структуры |
обслуживания, |
описанной |
графом |
на рис. 13, |
уравнения |
(3.6) принимают вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
абсолютного |
приоритета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% ( «) = ßxCs). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rt-2i (s) = ßi (s - f a2 — а 2 я 2 2 (s)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я 2 2 |
O) = |
ßä (S |
+ й 2 — а 2 Л 2 2 (S )) (?21 rtîl (S) + |
fe) . |
|
|
|
|
|
|
rtsi (s) = |
ßi (s + a3 + |
|
a3 — а 2 я 3 2 |
(s) — а 3 я 3 3 (s)), |
|
|
|
|
|
|
Л 3 2 |
(s) = |
ß2 (s -г a 2 + |
«a — а2 я3 2 (s) — а 3 я 3 3 |
(s)) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
(<72iJt31 |
(s) -f- <723 я 3 3 |
(s)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я 33 (s) = |
ßs (s + |
|
« 2 + а з — <%я3з (s)) + |
|
|
|
|
|
+ |
[1 - |
ß3 (s + a2 |
+ aa |
- а 3 я 3 3 |
(s))} |
|
|
3 2 V |
|
|
л3 3 (8); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s + |
a2 - |
j - а 3 я 3 3 (s) |
|
|
|
для |
относительного |
приоритета |
сохраняются |
все |
уравнения, |
кроме по |
следнего: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я 3 3 (s) = |
ß3 (s + а2 — а 2 я 3 2 (s) + а3 |
— а 3 я 3 3 |
(s)). |
|
|
|
Д л я определения первых моментов имеют место следующие системы ли |
нейных |
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
абсолютного |
приоритета: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я і п = ßn > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я211 = ßll (1 + ö 2lt2 2l) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л221 = |
ßai (1 + |
02^221) + |
<72іЛ2ц, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я 311 — ßll |
( 1 "f" а 2^321 Ч" а |
З Я З З і ) > |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я321 = Эгі (1 + ^гЛзгі + |
|
О з Я 3 3 1 ) + |
fe^n |
+ <?2зл ззі. |
|
|
|
|
|
|
|
Яззі = |
[1 — ßs (а з)1 ( Л 3 2 1 + |
- |
+ |
Я 3 3 Л ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"2 |
|
/ |
|
|
|
|
него: |
для относительного приоритета сохраняются все уравнения, кроме послед |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л 331 = |
ßsi G + |
а2^321 + |
а з я з з і ) • |
|
|
|
|
|
Таким же образом нетрудно выписать систему |
уравнений |
для определе |
ния |
вторых и более |
высоких моментов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В заключение параграфа отметим, что и для рассматривае мых систем условие эргодичности сохраняет форму
£ j афѵХ < |
1, |
v=l |
|
или |
|
-a^-F(b(s))\s=0<:l. |
(3.7) |
as |
|
§ 4. Неординарный поток вызовов, ненадежный прибор
А. До этого момента нами рассматривался лишь простейший пуассоновый поток вызовов. Но методика рассмотрения различ ных моделей допускает исследование всех ранее описанных си стем фактически теми же приемами и для неординарного квазипуассонового потока вызовов.
Как и ранее, предполагаем, что вызовы могут поступать в систему лишь в вызывающие моменты, которые образуют пуас соновый поток с параметром а, а > 0 , но в каждый вызывающий момент в систему поступает пачка вызовов различных видов, причем в каждой пачке с вероятностью
q{k) = q(klt k2, ... |
, kN) |
поступает k\ вызов первого вида, k2 |
вызовов 2-го вида и т. д. |
Если следовать изложению предыдущего параграфа, то считаем,
что в каждый |
вызывающий |
момент с вероятностью |
|
|
q(k) = q(klt ... , |
kjr) |
поступает k\ |
вызов |
первого |
типа, |
k2 |
вызовов 2-го типа и т. д. |
Распределение вероятностей |
{q(k)} |
зададим производящей функ |
цией |
|
|
|
|
|
|
|
fc>0 |
|
v=l fcv^O |
|
|
F(Ï)=L
Кроме того, считаем, что после окончания обслуживания вызова типа v в бункер с вероятностью
<7v(k) = <7v(kv ... , км°)
поступает k\ вызов первого типа, k2 |
вызова |
второго типа и т. д., |
распределение вероятностей {qv(k)} |
задаем |
производящей функ |
цией |
|
|
Fv (z) = £ qv(k)zk, |
Л , ( Г ) = 1 , |
fe>0 |
|
|
где Fv (0) — вероятность того, что после окончания обслуживания вызова типа ѵ в бункер не поступает ни один вызов; после пре рывания обслуживания вызова типа ѵ в бункер с вероятностью
рѵ (k) = pv(klt ... , kjv°)
поступает k\ вызов первого типа, k2 вызова второго типа и т. д., распределение вероятностей {р^ (k)} будем задавать производя щей функцией
UAz)=%pAk)zk.
fe>0
При таких обозначениях на системы обслуживания с квазипуассоновым потоком переносятся результаты предыдущего § 3.
Так, преобразование Лапласа—Стилтьеса периода занятости прибора вызовом типа ѵ и производящая функция распределения числа вызовов, поступивших в бункер за период занятости при бора вызовом типа ѵ, определяются стандартным образом через
Gov(2; s);
qv (s) = Gqv (T; s),
Gv (z) = G<7v(z; 0),
для которых остаются в силе соотношения (3.1.а) и (3.1.о). Преобразования Лапласа—Стилтьеса от функций распреде
ления полного времени пребывания вызова на приборе удовлет
воряют |
системе уравнений |
(3.2.а) |
или |
(3.2.о), |
только |
эти |
систе |
мы уже |
нелинейны в общем |
случае, |
так как функции |
|
Fv(z) |
и Uv(z) |
не |
обязательно |
линейны, |
а системы |
уравнений |
(3.3.а), |
(3.4.0) и (З.З.о), которые также остаются |
в |
силе, |
определяют |
первые |
моменты |
(среднее |
полное |
время |
пребывания |
вызова на |
приборе) и сохраняют линейность относительно |
Ьѵи |
ѵ=1,*/У°. |
Повторяя цепь рассуждений гл. 10, можно определить и дру |
гие характеристики системы обслуживания с |
квазипуассоновым |
потоком. Заметим |
только, |
что период |
занятости |
системы |
удов |
летворяет системе |
уравнений |
(3.5) — (3.6) |
гл. 11, а |
условие |
эрго |
дичности можно выразить неравенством (3.7) |
гл. 11. |
|
|
квази |
Особенностью исследования систем обслуживания с |
пуассоновым |
входящим |
потоком |
является |
вывод |
соотношений |
для определения времени ожидания вызовом |
первого |
поступле |
ния на прибор. Вместо уравнения |
(10.1) гл. 10 имеет |
место |
соот |
ношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р^(\У-\ |
Zv, ï > - v ) = |
|
|
|
|
|
|
= |
Рѵ „ (Г) щп ( a k |
- a,zv) Gv |
|
zv > |
H ° - v |
) T v (zv ), |
|
|
|
|
|
|
0 < Z v < l , |
V ~ ( Ä , |
1), |
|
|
|
|
|
где сомножитель Tv(zv) учитывает возможность одновремен ного поступления в систему в пачке нескольких вызовов типа ѵ. Если одновременно в систему поступает не более одного вызова типа v, то Tv(zv) = 1.
Используя понятия окрашивания вызовов, которые приме нялись при выводе соответствующего соотношения гл. 10, можно считать, что 7V (zv ) е с т ь вероятность того, что все вызовы ти па v, поступившие в систему одновременно с n-м вызовом и ожи дающие в очереди первого поступления на прибор, когда n-й вы
зов уже побывал на приборе, являются |
красными. |
Если |
в систе |
му поступило |
одновременно / вызовов |
типа ѵ, то считаем, что |
возможность |
поступления |
каждого из |
них на прибор |
первым, |
вторым, |
1-ш— равновероятна. Обозначим |
через |
|
|
<7(ѵ, /)= |
£ S ° ( Ь Ѵ . . . , |
/ , . . . , M = |
7 T " 5 " F ( T v _ 1 ' °' T ^~v ) |
|
11= |
1 |
ft„>0 |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятность того, что в систему одновременно поступает |
/ вызо |
вов типа v, и имеем |
|
|
|
|
|
|
Т * <*> = 1, — g\ (vm,0) S ? ( V ' / } |
T |
l Si - ^J |
= |
|
|
|
|
J2»l |
|
i = l |
|
|
|
|
1 — g(v, |
5 > ( v , / ) - i |
; |
1 - 4 |
|
|
|
|
0) |
|
|
|
|
Это следует из таких соображений: пусть вызов типа ѵ после |
поступления |
на прибор оставлял в бункере разве |
лишь |
красные |
вызовы типа ѵ, поступившие с ним одновременно в систему. Для
этого необходимо и достаточно, чтобы при |
условии, что |
в |
вызы |
вающий |
момент |
поступил хотя |
бы |
один вызов |
типа |
ѵ |
(вероят |
ность [1—q(v, 0)]) |
и |
поступило |
именно |
/ ( / = 1 , |
2, 3, |
...) |
вызовов |
типа |
v (вероятность |
q (у, |
/)) |
и, |
если |
это |
/,-тый вызов в пачке из |
/ вызовов |
( і = 1 , /) |
(вероятность |
1//), |
то |
он |
оставляет |
после |
себя |
/—і |
красных |
вызовов |
|
типа ѵ |
(вероятность |
гѵ ~'). |
|
|
|
|
Дальнейшая логика рассуждений при выводе o)fe(s) в гл. 10 |
сохраняется |
полностью |
и |
формула |
(10.4) |
гл. 10 |
принимает |
вид |
|
(ùk (s) |
= |
|
|
|
сСх |
|
|
|
|
Pv |
(1) Гѵ (1 - |
|
|
|
|
|
|
Gv ( Г ^ 1 , |
1 - |
s, |
|
|
|
|
s) |
|
|
|
|
|
1—air's | < 1, |
v ~ ( A , |
1), |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тѵ{1-айх$)=- |
|
|
J — s r £ ? ( v , |
|
ls |
|
l)^-[\-{\-aTxsy\. |
|
|
|
|
1 — g ( v , 0) л-і |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. Рассмотрим систему обслуживания, в которой прибор не надежен и может выходить из строя, причем интервалы времени, в течение которых прибор работает безотказно, являются случай
ными |
величинами. |
|
|
|
|
|
|
Предположим, |
что находящийся в рабочем состоянии |
прибор |
может |
выйти из строя за случайное время с функцией |
распреде |
ления |
E(t) = \—e~Bt |
|
(такую |
поломку прибора |
называем |
отклю |
чением |
прибора) |
и требует для ремонта (подключения |
прибора) |
случайное время |
с |
функцией |
распределения |
& |
(t). Кроме того, |
прибор |
может отказывать и по причинам, |
зависящим |
лишь от |
конкретного состояния системы. Так, прибор, находящийся в сво бодном состоянии, может выйти из строя за случайное время с
функцией распределения EQ(t) |
и требовать для ремонта |
|
случай |
ное время с функцией распределения ^ 0 (t); |
прибор, |
обслужи |
вающий вызов типа V, может |
выйти |
из строя |
за случайное время |
с функцией распределения E v (t) и требует для ремонта |
случай |
ное время с функцией распределения |
cFv (0- |
|
|
являют |
Все факторы, влияющие на выход прибора из строя, |
ся независимыми, при этом возможны разные |
способы |
организа |
ции обслуживания вызовов. Вызов, обслуживание которого было
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прервано |
из-за |
выхода прибора из строя, может либо |
теряться, |
либо |
вернуться |
в бункер |
и при |
поступлении |
вновь |
на |
прибор |
требовать |
обслуживания |
заново, |
начиная с |
прерванного |
этапа, |
либо |
оставаться |
на приборе во время ремонта |
и, если |
в систему |
не поступят вызовы, обладающие абсолютным приоритетом перед находящимся на приборе вызовом, последний продолжает пре рванное обслуживание после восстановления работоспособности прибора.
В некоторых системах имеет смысл рассматривать комбина ции таких способов обслуживания. Во всех случаях применяе мыми в настоящей работе методами можно получить значения характеристик системы. Проследим, как на базе результатов гл. 10 проводится исследование такой системы при определении временных характеристик. Рассмотрим случай, когда при выходе из строя прибора находящийся на нем вызов возвращается в бун кер, при схеме обслуживания с относительным приоритетом.
Будем обозначать через e0 (s), ev(s)—преобразования Лап ласа—Стилтьеса от функций распределений времени выхода при
бора |
из строя в свободном состоянии и при обслуживании вызова |
типа |
V соответственно; а через f(s), fo(s), /ѵ |
(s)—преобразования |
Лапласа—Стилтьеса от функций распределения времени ремонта прибора после отключения прибора, выхода прибора из строя в свободном состоянии и при обслуживании вызова типа ѵ соот ветственно.
Кроме того, обозначим |
через |
оо |
и |
ОО |
еѵ (s) = j* d B v |
{и) J e~s< |
dEv(t) = j" e~st[\ — ß v (*)] dEv (t) |
ô |
о |
ô |
функцию, |
которую |
можно |
интерпретировать |
как |
вероятность |
того, |
что за время |
обслуживания |
вызова |
|
типа |
ѵ прибор |
выйдет |
из строя по причинам, зависящим |
лишь от обслуживания |
вызова |
типа |
v, |
и |
за |
это |
время |
не |
произойдет |
катастрофа; |
|
|
тогда |
£ v ( s + e) |
обозначает |
вероятность того же |
события, совмещенного |
с отсутствием |
отключений |
прибора |
за |
учитываемый |
интервал |
времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Pv(s)= |
|
|
[e-st[l-Ev(t)]dBv(t) |
|
|
|
|
обозначим |
функцию, которую трактуем, |
как вероятность |
того, |
что за время обслуживания вызова типа |
ѵ прибор не выйдет из |
строя |
по причинам, |
связанным |
с обслуживанием вызова типа ѵ, |
и не |
произойдет катастрофа; |
|
тогда фѵ (s+e) — вероятность |
того |
же события, совмещенного с отсутствием отключений прибора за
учитываемый интервал |
времени. |
|
|
|
|
|
|
Через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O v ( s ) = |
ооf dB? (и)и| е - * ф — Ev(t)]d(l |
— e~st) |
= |
|
|
b |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= j er-.*' [1 — fîv {t)\ [1 —£ v (f)] d (1 — |
e-s 0 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначим функцию, которая есть |
вероятность того, что за время |
обслуживания вызова типа ѵ прибор будет |
отключен, за это вре |
мя не произойдет |
|
катастрофа, |
и прибор не выйдет |
из строя по |
причинам, связанным с обслуживанием вызова типа ѵ. |
Функции |
ev (s), |
<pv(s) и Ov(s) |
есть аналитические |
функции "при |
Re (s) > О и |
убывающие |
функции |
действительного |
неотрицательного |
аргумента, для которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еѵ(0) + |
Фѵ(0) = 1, |
|
|
|
|
|
|
еѵ |
(e) + |
фѵ (e) + |
сц, (0) = |
1, |
|
|
что сразу следует из вероятностных |
соображений. |
|
Наряду |
с моментами |
преобразований |
Лапласа—Стилтьеса |
рассмотрим |
величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a v * |
= |
( - |
l)k |
~7Т a* (s ) |
= ( - |
!)* « v ' (0). |
|
|
|
v = |
0, JP, |
Ä = |
1 , 2, . . . , |
|
|
|
|
|
в частности |
av ! |
= — сц, (0). |
|
|
