Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4534 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Для	Р ѵ ( 1 ) и Рѵѵ(1) получаются		выражения по формулам типа
(9.12) гл.	10
	М П	-,	^

ц=1

где

а)

для

абсолютного

приоритета

/С(я,1)ѵ =

ап'

^(п,1) =

0, /((я,Г) = 0,

^С(я,1')Ѵ =

ІА(и,1)Ѵ f

^(n,l')v] [1

ßY(",l) (0~Л-І) ß(«,l)(0'«-l)] =

P Y ( n ,i)(c r n _ i ) P (n,i ) ( 0 / i - i)

^C(n,p) = K(n,p-\)

ß(n.p-l) (On-l) + /С(я,/а—l)v ßY(«,P-l)

ß(«,p-l) (0"л-і).

#(я,р)Ѵ =

^<л,Р)Ѵ [1 —

ßV(«,P) (On-l) ß(rt,p) (^я - і)]

/C(«,p)[l — ß(r t ,P )(an _i)],

или

K<I».P) =

(p >

2),

* ^ = > < J V i )

[ ß ^ K - . ) " 1

] '

( p

> 2

) :

для относительного

приоритета

^(n.l)V — ап'

^C(ra.I) = =

К(п,\')

О,

ß Y ( „ , l ) ( ° „ - l )

/с(п,р)Ѵ

ß Y ( „ , p ) ( C T „ - i )

[1 — ß(n i P _i) (a«_i)],

^(Л,р) =

a nß(«,p - D ( а « - і ) -

Обозначим

/С =

[Кѵ

-fXvv]-

v=l

Тогда

для

абсолютного

приоритета

\KY(„ßY/„»)(oi P

«_r)

- 1

ß(*,p)(0

*-l)

• ßY(n,p)(0n _l)

л=1

" р=1

р=2

(2.16а)

331

для	относительного		приоритета
			N
					ß Y < f l , p ) K - l )
		У]	ß(n,p)	(°n-l)	ß Y ( „ , p + i ) ( o „ - i )		(2.16о)
		У]	ß(n,p)	(°n-l)	ß Y ( „ , p + i ) ( o „ - i )
		р=1				N
						N
Таким образом,			Р (0) =	—	1 — У " A i		(2.17)
						п=\
			Л
для	абсолютного	приоритета
	Ріпл>)ч	(1)	= - ^ - [	ß	^ ^ J	ß ^ ^ , )	1
						1	( P > 1 ) ,
					ß < « , p ) ( 0 « - i )		( P > 1 ) ,
					ß < « , p ) ( 0 « - i )
			я( я .р,(Г) =		- ^ - ,	( P > 1 ) ,
					А
для относительного			приоритета

ЛL ß Y ( „ , i ) K - i )


		д я И — ß ( n , p - i ) ( g B - i ) I				( P > 1 ) ,
						( P > 1 ) ,
		a "ß(n , p — 1)		( q n — l )		( P > 1 ) ,
	Л«.Р)(1)					( P > 1 ) ,
что позволяет	из (2.14), используя			(2.17)	и	(2.16),	определять по
следовательно	шаг за	шагом	для JPy,Jf°,		1	единственным			образом
функции Рѵ (2)	и Pvv(z),	v=l,JP,		\| z \| < l ,	\| P v ( z ) ! < l ,			\| P v v ( z ) j < l .
Время ожидания		первого поступления				на прибор.		Основное
соотношение	для определения cùfe„(s) — преобразования								Лапла
са—Стилтьеса	от функции		распределения		Whn(t)		времени		ожида

ния до первого поступления на прибор п-ш вызовом вида k, для нашей системы примет вид

Mfe,l)vn V 1 > Z v > 1 ;

«ft« (а*		г ѵ , l " v )
= Л б ; і ) т п ( 1 ) о А ( А — aftZv)G(ft,i)v U v		г ѵ , l " v )
0 < z v < l ,	V ~ ( * , 1 ) Y -

332

Повторяя рассуждения § 10 гл. 10, можно получить выраже ния для cùft(s)—преобразования Лапласа — Стилтьеса от функ ции распределения времени ожидания до первого поступления на прибор вызовом вида k в установившемся режиме, если выпол нены условия эргодичности (2.13)

wfe (s)

0 ( й

ѵ ( 1 Ѵ - ' ,

l - O f t - ' s ,

l^l -V )P(fc,l)Y (1)

і 1 )

| l

- i S | <

l ,

\~(k,

1)Y

и далее

a"1

P ( 0 )

+ 2

{ ^ ( 1 ) [ 1 - О ц ( - ѵ ) ] - | - Р д ѵ < 1 ) [ 1 - О Ѵ д ( - ѵ И }

<0ft(s)

C P ( f c I i ) v ( 1 ) t s - a * [ l - G Y ( f c l i , ( - v ) n

(2.18)

где

Bfe_i (s) =

s + оу-і — af t _inf e _i (s),

( • v ) =

( n f

c _ i i (S),

. . . , Я(г_і v _ i v ( s ) ,

1 — CL^S,

T 2 = r - V

) i

V ~ ( £ , 1)Y-

Принимая

во внимание, что для абсолютного

приоритета

GYV( - V) =

Ä& (S),

оц(- ѵ) = ßn (а я _ 0 4- [1 -

ß( i (a„_1 )]

( 0 „ _ ! -

6f e _, (s)) ß/jM (Ѳк _, (s)),

G Y H ( - ( X ) S ßY|i(o-«-i)G^(-V )

-!- [1 - ß Y ^ K - O ] ^ K - i - 0 f t _ i ( s ) ] ,

ѵ ~ ( / г ,

1)Y,

Р ) . М - > Ѵ ,

получаем окончательно

ОЙ (s) =

{pw©fc_i (s) +

a„ {[ѲЙ_І (s) — a„_i] x

n=ft+l

r«

(P=I£ V,P)1

[ßP(n.P) (0 fc-l (s )) +

Оп-\ЬУ(п,р)і]

" I "

ÔY(n,l)l)

+ (Kn-rn)}/[s-ak(l-hk(s))],

(2.19)

где

Ѳ Й-І(А), pN,

Kn, hk(s)

определены выше.

Следовательно, справедлива

333

Т е о р е м а

6.а.

Для

схемы

обслуживания

абсолютным

приоритетом,

если

£ а А і <

ß v i <

f о о ,

ß p v i <

О О ,

ßYvl

о о ,

то

а)

существует

предел

l i m

Wkn(t) =

Wk(t);

П->оо

где

Wh(t)

есть функция

распределения;

функции

б)

значения

преобразования

Лапласа—Стилтьеса

распределения

Wh(t)

определяются

по

формуле

( 2 . 1 9 ) ,

в)

первый

момент

функции

распределения

Wh(t)

равен

гп

®kl

= 2 p f e p f e _ t

[Pft2 +

5] а п

b(tl<p)X

(2ßP(„,p)l f-

ßP(n,p)2)

Для

относительного

приоритета

G Y V ( ' V ) = « V

(S),

оц('ѵ) =

ßn К - і )

[ßn ( Ѳ ^ , (S) -

ß^ ( 0 „ _ , ) ] X

[ ß P ( i

(0f c _,

( s ) ) ] 1

- 6 ^

, p . - (">?) .

G Y ^ ( • v) ^ ßY„ K - i )

0ц ( - v) + [1 -

ßYM (<*„-.)] -s^—

K - i

Ѳй _! (s)],

©fc-i (s)

= s +

af c _i — af t _iJtf t _i

(s),

что

дает

tök

(s ) =

{ріѵѲй—і (s) +

an [by(n,\)i

Ѳй _і (s) —

n=fe+l

/•„—1

[ß(«,P> (Ѳь-i (s) -

ß(«,P)

К - . ) ] ßP(«> P ) (Ѳ& _ѵ (s))

Р=І

ß<«.'n> (Öfc-1

— ß(«.p) (On-l)]

f_! (S)

&Y<n,P+Dl [1

P=l

+ S [ l - ß ( „ , P ) ( a „ _ , ) J + l ] } / [ s - a A ( l - h k ( s ) ) ] .

( 2 . 2 0 )

P=I

Таким образом,

справедлива

334

Т е о р е м а б.о.	Для схемы обслуживания	с	относитель-
н ы м приоритетом,	если

£А Л І < І ,

ßvl < + о о , ßPvl < Лг о о , ßYvi < + о о ,

mo а)	существует предел
			lim Wkn(t)	= Wk(t),
			П—>оо
где	есть	функция	распределения;
б)	значения	преобразования		Лапласа—Стилтьеса		функции
распределения		Wk(t) определяются		по формуле	(2.20);
в)	первый	момент	функции	распределения	Wp,(t)	равен

		n=fe+l	p=l
+	t2 ß(n,P)l	ßP(n,p)\ + (1 — ß ( n , p ) ( O n - \ )		ß P ( n , p ) 2 ] \| \| -
	P=l
Время	полного	обслуживания	отдельного вызова. Если
dk(s) преобразование		Лапласа—Стилтьеса от		функции распреде

ления времени полного обслуживания вызова вида k, то справед

ливы

утверждения:

Т е о р е м а

7.а. Для

схемы

обслуживания

абсолютным

приоритетом

dk{s) =

(s - I -CTfe_i)ßY(fe.i) (s +

of e _i)

X-

P=2

{ 6 f e _ , (s) +

a^n^s)

ß Y v ( s +

crf e _,) [1 -

(1 -

ß v (s +

0 f e _ i ) ) ß P v < e f e - i < s ) ) »

P=I

(2.21)

v ~

(&, p),

0f c _i (s) =

s +

aft _i — Ok-ink-\

(s),

^fti —

nPfe-i — hkv

kdk4

—

k2>

k l

a n

î d e

/z/u w hk2 определены

в теореме

З.й.

335

Т е о р е м а

7.о. Для

схемы

обслуживания

относитель

ным

приоритетом

, ч

(S +

°fe-l) Hk,rk)

(s +ак-\) ß(fe,rt ) ( s )

efe_!

(s) + О ^ Я ^ !

(s) ßY(fe,rk ) ( s

- i - CTfe-l)

+ Gfe-i)ßY(fe>P,)(s +

ofc-i)

• 0f e -i

(s) +

*k-\4-\

(s ) ßY(n,P) (s - i - Ofe-i)

X ß ( f c , P ) ( S +

в/ г _!

(S) +

gft^^fe,! (S) ßV( f e > p + l) (S) ,

^e-l)

(* +

Ofc_i)ßY(f c l ^.i)(H-Ofe-i)

[ ß ( M )

(Ѳ*., ( s ) ) - ß ( f t i r

(s -!- a,-,)] ßp( f e ,p ) (0f e _l

(s))j,

(2.22)

(s) =

afc_i — (ТЙ_1Яй _1 (s),

bfei

Pfc—il .

, Pfc—il .

"ftl =

b(k,rk)l

«Ai H

°(fc,rfc)l.

9k-\

Pfc-i

rffc2 =

ß(fc,rFC)2 +

^ ' ^ '

( 1 +

—

\ — ß(fe,/-.)l ай _іяй _і2 +

Pft_i

Pfc-i J

- f

ftM

P f c

ß(fc,/-ft), +

Af t 2 ,

где /îfei u hk2 определены

pfc-1

5.0.

теоремой

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Легко

проверить,

что

для

абсолют

ного

приоритета

dk(s)

hk(s),

а для

относительного

приоритета

(s) =

(s),

Р і і ^ ^ + Ѵ і - в ы Ѵ і И )

где /îfe(s) —есть функции, определенные в теореме 3.

Действительно, при абсолютном

приоритете

время

полного

обслуживания отдельного вызова совпадает с периодом занятости системы данным вызовом вида k и вызовами более высокого при оритета, поступившими в систему после первого поступления на прибор вызова вида k. При относительном приоритете учитывае мые этими понятиями интервалы времени отличаются только тем, что время полного обслуживания вызова вида k учитывает на последнем этапе своего обслуживания лишь время самого обслу

живания, что дает	множитель ß(fc,rfc> (s) для преобразования
336	dk(s), а период занятости системы вызовом
Лапласа—Стилтьеса	dk(s), а период занятости системы вызовом

вида k и поступившими в систему вызовами более высокого при


оритета учитывает еще и время		обслуживания			всех	вызовов
вида k, поступивших за время		обслуживания			последнего rh-ro
этапа. Это дает /гА (s) множитель		ß(fe,rfc) (s + ok_\		— crfe_iJt^—i		(s)).
Число поступивших	в систему		вызовов	за	время	полного
обслуживания отдельного	вызова.		Для определения производя

щей функции распределения числа вызовов, поступивших в систе

му за время полного обслуживания вызова вида

k(Dh(x)),

спра

ведливы

соотношения:

для

абсолютного

приоритета

(х)

= (а — okx) ßvcfe.i) (а — okx)

(а — af t _ix)

ß(f c p) (a

°kx)

[® (*) + <*k-i%-\

ßY(fe p) (a -

°kx)}

X -

p=2

{Ѳ (х)-\-ак_іФк_1{х)

p Y ( f c f P ) ( a _ o * j : ) [ l - ( l - p (

f e i r t ( a -

о*дс)) ßp( f e ,p ) (9

(x))])

Ѳ (x) = a — akx

— af e _iOf c _i (x),

Фи(х)

определена

была

ранее;

для

относительного

приоритета

(а — 0*х)

ßY№ ,rf t ) ( а — ° k x

)

ß(k,rE ) ( а

— «*)

* W

Ѳ (*)

Ofr.iOfe.! (x) ß Y

( f

e i r f e )

(а -

о**)

х П '

( a - g * * ) ß Y ( f t i i P ) ( f l - g ^ )

р=\

(ß( f e р ) ( а _

)

e<*)

+ a b = g ^ W Рѵ№,„ ;»)<«-<"*>.

(f l —

ßY ( f c ) p + i ) (а —

[ßtt.rt (Ѳ (x)) -

ß(fc ,rt

(а - Л ) ]

ßp( f e ,P )

(Ѳ (*))},

Ѳ (*) = а — okx

— af c _iOf e _i (x).

§ 3. Системы с разветвленной структурой обслуживания

При моделировании реально существующих процессов, как систем массового обслуживания, очень часто приходят к таким задачам, о которых можно сказать, что они имеют сложную структуру обслуживания. В работе [80, § 37] рассматривается постановка задачи для решения ее методом статистических испы таний, в которой вызов обслуживается различными приборами. При этом геометрия перемещения вызовов от одного прибора к

22 Зак. 64

337

другому, или структура обслуживания вызова задается направ ленным графом ,[80, § 36]. Аналогичную структуру обслуживания представляют и те системы, когда обслуживание происходит на одном приборе, который может выполнять различные операции, эквивалентные работе разных приборов.

Примером может служить система многоэтапного обслужи вания. В этом случае структура обслуживания вызова опреде ляется указанием последовательности этапов обслуживания, ко торые должен пройти вызов. В гл. 10 рассматривалась детерми нированная структура обслуживания, последовательность выпол няемых этапов обслуживания была вполне определенной, если не принимать в расчет возможности прерывания обслуживания из-за поступления вызова более высокого приоритета. В § 1 и 2 на


стоящей		главы структура обслуживания зависела от состояния
системы: в § 1 обслуживание вызова начинается с разогрева						при
бора,	если система		была свободна; в § 2	в последовательность
этапов	обслуживания		вызова вклиниваются	этапы	прерывания	и
настройки		прибора на обслуживание вызова, если система была
вынуждена		прервать	непрерывное обслуживание		вызова.

Рождение новых вызовов после окончания обслуживания.

Рассмотрим однолинейную одноэтапную систему массового об служивания с ожиданием, приоритетом и простейшим входящим потоком. Кроме того, пусть после окончания обслуживания вызо ва, либо после прерывания его обслуживания в систему могут поступать новые вызовы независимо от входящего потока вызо вов. Для упрощения рассуждений будем считать, что вызов, обслуживание которого прервано, всегда теряется. Другими сло вами, окончание обслуживания вызова, либо прерывание его обслуживания может порождать заявки на обслуживание новых вызовов.

Для того чтобы свести к такой системе многоэтапное обслу живание, достаточно считать, что поступающий в систему вызов требует обслуживания лишь на первом этапе, а после окон чания этапа поступает вызов, требующий обслуживания, эквива лентного последующему этапу многоэтапной системы. Окончание обслуживания вызова, соответствующего последнему этапу, не порождает новых заявок на обслуживание вызовов.

Можно свести к одноэтапной системе обслуживания с появ лением новых вызовов после окончания обслуживания как систе

мы с разогревом,	так и системы с прерыванием	и настройкой
прибора.

В такого рода систему обслуживания вписывается и много этапная система обслуживания с возможным понижением при оритета вызова при переходе к последующим этапам.

Предположим,		что	после окончания обслуживания		вызова
либо	его прерывания		(если же использовать понятия	гл.	10,	то
после окончания периода занятости прибора вызовом)				в	систему
может	поступить	один	из нескольких вызовов. Вероятность			по-

338

ступления того или иного вызова задается распределением веро ятностей. Это эквивалентно сложной разветвленной структуре обслуживания вызова многоэтапной системы обслуживания. Гео метрию обслуживания вызова на различных этапах можно пред ставить направленным графом с возможными разветвлениями в некоторых вершинах графа, соответствующих этапам обслужи вания. Пусть вершина ѵ соответствует обслуживанию вызова типа v, либо этапу обслуживания ѵ. Если из вершины ѵ выходит дуга в вершину графа р, то этой дуге поставим в соответствие переходную вероятность q^ из распределения вероятностей

где J\P — число различных типов	вызовов в системе, a ^ѵо соот
ветствует ситуации, когда ѵ есть	последний этап	обслуживания
вызова.
Продемонстрируем, как можно рассматривать эту систему в
рамках одноэтапной системы	обслуживания	с порождением

заявок на обслуживание новых вызовов после окончания периода занятости прибора, сохраняя по возможности результаты и обоз начения гл. 10.

В систему поступает ром а > 0 . В каждый из в систему вызов одного вызова типа ѵ равна qv =

пуассоновый поток вызовов с парамет вызывающих моментов может поступить из ЛР типов. Вероятность поступления

си, fa, *

£qvzv = F(z).

		ѵ=1
	Рассматривается система с приоритетом.					Вызовы	типа ѵ
имеют более высокий приоритет, чем вызовы						типа р, если ѵ < р .
Период занятости		прибора	вызовами	типа ѵ		охватывает	интер
вал	времени с момента поступления			на	обслуживание		вызова
типа	v до первого	момента,	когда вызов		покинет прибор		(см. оп

ределение гл. 10 § 6). После окончания периода занятости при

бора	вызовом	типа ѵ в систему может поступить один из	вызо
вов,	причем	распределение вероятностей поступления	новых

вызовов может зависеть от некоторых факторов. Например, если

окончание периода занятости прибора вызовом		типа ѵ	совпадает
с завершением обслуживания этого вызова, то		в бункер с ве
роятностью qvx, т = 1 ,	, поступает вызов типа	т и с	вероятно
стью q о не поступает	вызов,

£ <7ѵт = 1.

т=0

22*

339

Распределение вероятностей {дѵх} задаем производящей функцией

Fv (г) = <7ѵо + £ qvxZi.

Распределение вероятностей поступления вызовов в бункер после окончания периода занятости прибора вызовом типа ѵ, если это окончание вызвано и совпадает с прерыванием обслуживания вызова типа ѵ, будем задавать функцией

	JV°		_
\UV (z) =	р ѵ 0 + £	P VTZT,	Uv(l) =	1.
Период занятости	прибора.	Так	же, как	и ранее, можно

определить преобразование Лапласа—Стилтьеса от функции рас пределения периода занятости прибора вызовом типа v(g v (s) ) и производящую функцию распределения числа вызовов, посту

пающих в

бункер

за

период занятости

прибора,

включая и вы

зов,

поступающий

в момент окончания периода занятости при

бора,

( G v ( 2 ) )

через

функцию

Ggv(z;

такую, что

gv(s)

E=Ggv(\;

s),

Gv(г)

== Ggv (z;

0).

Для абсолютного

приоритета

Ggv

(z;

s) = $v(s

+ a^aF

( Ö v ~ \ z)) F v

(z) +

[1 -

ß v (s + a -

aF ( O - 1 ,

z))}

*VV>-H^\

*)Y- щ

{ z ) .

s + a — aF ( 0 V _ 1 , z)

(3.1a)

для относительного

приоритета

Ggv

(z; s) = ß v

(s + a — aF (z)) Fv (z).

(3. lo)

Здесь,

как и ранее, ßv (s)

есть

преобразование

Лапласа—

Стилтьеса

от

функции

распределения

времени

обслуживания

вызова типа

ѵ.

П р и м е р

В схеме

многоэтапного обслуживания гл. 10

Fv(z)

= zl~^P-rk\

v M f c ,

р).

Р + 1 ) ,

Uv(z)

zv,

<xFi$P-\

z) =

а Ѵ ^ Л >

ц=ѵ

л°

af(z)

= £

aov zv

= az

v=i

и приходим к результатам гл. 10 § 6, лемма 1.

340

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4534 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20236.09 Mб11Применение радиоизотопной техники в коксохимическом производстве..pdf
#
19.10.20234.59 Mб7Применение ЦВМ и средств вычислительной техники в геологии и геофизике [сборник]..pdf
#
29.10.202310.85 Mб14Применение электронагрева при склеивании древесины..pdf
#
22.10.202315.08 Mб49Применения лазеров..pdf
#
22.10.202311.09 Mб16Принципы и методы регулировки усиления в транзисторных усилителях..pdf
#
25.10.202315.93 Mб14Приоритетные системы обслуживания..pdf
#
22.10.202312.28 Mб5Природно-мелиоративное районирование территории перспективного орошения Нижнего Поволжья..pdf
#
23.10.20236.47 Mб4Природные сорбенты цеолитовой структуры..pdf
#
23.10.20237.05 Mб21Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций.pdf
#
30.10.202320.39 Mб13Притула В.А. Защита заводских подземных трубопроводов от коррозии.pdf
#
27.10.202322.91 Mб30Приходько Б.Г. Грузоведение и складское дело учебник.pdf